22.1 函数 课件（内嵌视频） 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十二章函数22.1函数的概念人教2024先来了解一下函数的发展简史吧伽利略(Galileo1564—1642)用数学可以探秘自由落体运动、抛物体描绘出的路径笛卡尔(Descartes1596—1650)创立了解析几何，将几何曲线与代数方程联系起来，为用代数方法研究变量关系奠定了基础.莱布尼茨(Leibniz1646—1716)首次提出函数一词(1692年)，可以用函数表示曲线上的点变动的量.先来了解一下函数的发展简史吧伯努利(JohannBernouli1667—1748)将函数定义为"由变量和常量组成的解析表达式"欧拉(Euler1707—1783)函数理论的集大成者.引入了函数符号f(x)，区分了显函数和隐函数，认为函数必须是连续的.牛顿(Newton1643—1727)在微积分中大量使用流量的概念，即随时间变化的量，这本质上是函数.先来了解一下函数的发展简史吧柯西(Cauchy1789—1857)如果某些变量间存在一定关系，当给定其中某一变量的值，其他变量也随之确定，那么其他变量就可称为函数.狄利克雷(Dirichlet1805—1859)现代函数的奠基人，给出了至今通用的定义:如果对于给定区间上的每一个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么y就是x的函数.傅里叶(Fourier1768—1830)在研究热传导时，证明了不连续函数也能用三角级数表示，打破了函数必须连续的旧观念，极大拓展了函数的研究范围.先来了解一下函数的发展简史吧黎曼(Riemann1826—1866)论证了复变函数可导的必要充分条件.借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理，成为函数的几何理论的基础。提出并研究了黎曼ζ函数.康托尔(Cantor1845—1918)创立了集合论，为函数提供了严格的集合语言描述.函数的概念常量和变量一般地，在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.几个例子：(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶，汽车行驶时间t(h)时路程是s(km)(2)电影票的票价为40元/张，第一场售出80张票，第二场售出105张票，第三场售出180张票.三场电影的票房收入是多少？设一场电影售出x张票时，收入y元(3)水中的涟漪，圆形水波慢慢扩大.在这一过程中，圆的半径为r时，圆的面积为S(4)体积为1000cm3的长方体，底面积为S(cm2)时，长方体的高是h(cm)上述四个例子中，常量有哪些？变量有几个？分别是哪几个？给定其中一个变量的值，另一个变量的值会如何？函数的概念常量和变量例1.指出下列问题中的常量和变量：(1)某市居民生活用水的价格为5元/t.记某户的月用水量为xt时，月应缴水费为y元.(2)在某地乘坐公交车，刷公交卡每次收费1元.李明在公交卡中存入30元，记此后他乘坐公交车n次，公交卡中的余额为w元.(3)向一个水池注水，注水速度为0.1m3/min.记注水时间为x(min)时注水量为y(cm3).(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉放入y本.(5)张华在操场跑步.已知操场一圈为400m，记她跑的圈数为n，跑的路程为s(m).(6)用20m长的绳子围一个矩形，记矩形一边为x(m)时，其面积为S(m2).(7)一个平行四边形的底边长是5，高为h时面积为S.变量通常用字母表示.给定其中一个变量的值，另一个变量的值会如何？函数的概念例2.指出如下问题中的常量和变量：(1)我国"十四五"期间每年的国内生产总值如下表所示.常量和变量年份x20212022202320242025国内生产总值y/亿元11492371204724129427213480661401879(2)北京天安门广场的国旗每天随日出升起.某年国庆七天假期每天的升旗时刻如下表所示.日期x1234567升旗时刻y6:106:116:126:136:146:156:16函数的概念例3.指出如下问题中的常量和变量：矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点P从A点开始沿着矩形按逆时针方向移动一周，速度是每秒1个单位.连接PA、PD，记点P运动时间是t秒时的面积为S.常量和变量请举一些例子，并说明例子中的常量和变量.函数的概念函数在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数.在前面的例子中，分别判断一下问题中的自变量以及函数.注：自变量和函数的要求不一样自变量：每一个确定的值函数：唯一确定的值函数的概念函数例1.判断下列问题中的两个变量y和x之间是不是函数关系(x是自变量，y是函数).x12345y57911或者1013(1)(2)y是实数x的绝对值(3)x是实数y的绝对值是函数关系时，y随x的变化而变化函数的概念函数例2.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系，如果是，指出其中的自变量与函数.(1)记小于自然数n的质数的个数为m，m随n的变化而变化.(2)一个三角形的底边长为5，面积S随底边上的高h的变化而变化.(3)n边形的对角线有m条，m随n的变化而变化.我来总结一下判断实际问题中是否存在函数关系：(1)两个变量(2)自变量和函数的要求不一样：自变量：每一个确定的取值函数：唯一确定的值(3)函数随自变量的变化而变化函数的概念函数解析式用关于自变量的代数式表示函数与自变量之间关系的式子，叫做函数的解析式.例1.汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的剩余的油量y(L)随行驶路程x(km)的增加而减少.已知该汽车平均每千米耗油0.1L.写出表示y与x的函数关系的函数解析式，并指出自变量x的取值范围.例2.购买一些铅笔，单价为0.4元/支.总价y(元)随铅笔支数x的变化而变化.写出函数解析式，并指出自变量x的取值范围.写函数解析式时，要考虑实际问题中自变量的取值范围.函数的概念函数解析式例3.有按某种规律排列的一列数：7，11，15，19，23，27...设它的第n个数字是an，求函数解析式.x12345...y-3051221...例4.观察下表中y与x之间的关系，写出y关于x的函数解析式.函数的概念自变量的取值范围例.写出下列函数关系中自变量的取值范围.(1)y=2x+31(2)y=(3)y=(4)y=(5)y=我来总结一下考虑自变量的取值范围：(1)函数关系所涉及到的实际问题(2)函数解析式要有意义函数的概念函数值y是x的函数时，若当x=a时，y=b，则称b是当自变量为a时的函数值.例1.求下列函数当自变量x=5，11时的函数值.(1)y=2x+31(2)y=(3)y=函数的概念函数值例