8.3.2　独立性检验 课件

8.3.2独立性检验1.理解利用2×2列联表可以检验两个随机变量的独立性（数学抽象）.2.掌握运用2×2列联表的方法解决独立性检验的简单实际问题（数学运算）. 课标要求最新研究发现，花太多时间玩电脑游戏的儿童，患多动症的风险会加倍.

青少年的大脑会很快习惯闪烁的屏幕、变幻莫测的电脑游戏，一旦如此，

他们在教室等视觉刺激较少的地方，就很难集中注意力.研究人员对1323

名年龄在7岁到10岁的儿童进行调查，并在孩子父母的帮助下记录了他们

在13个月里玩电脑游戏的习惯.同时，教师记下这些孩子出现的注意力不

集中问题.统计获得下列数据：情境导入是否玩电脑游戏注意力是否集中合计注意力不集中注意力集中不玩电脑游戏268357625玩电脑游戏489209698合计7575661

323从这则新闻中可以得出哪些结论？有多大把握认为你所得出的结论正确？知识点一独立性检验的理解01知识点二有关“相关的检验”02知识点三有关“无关的检验”03课时作业04目录知识点一独立性检验的理解01PART问题

有人说：“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟和患肺癌

有关，是指每100个吸烟者中就会有99个患肺癌的.”你认为这种观点正确

吗？为什么？提示：观点不正确.犯错误的概率不超过0.01说明的是吸烟与患肺癌有关

的程度，不是患肺癌的百分数.【知识梳理】1.

分类变量X和Y独立：如果{X＝0}与{Y＝0}独立；{X＝0}与{Y＝1}独

立；{X＝1}与{Y＝0}独立；{X＝1}与{Y＝1}独立.我们就称分类变量X

和Y独立.2.

独立性检验（1）利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检

验，读作“卡方独立性检验”，简称

⁠；

独立性检验

3.

对于零假设H0：分类变量X和Y独立，基于小概率值α的检验规则：（1）当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯

错误的概率不超过

⁠；（2）当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y

⁠

⁠.4.

χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828α

独

立

【例1】

（1）〔多选〕某机构通过抽样调查，利用2×2列联表和χ2统计

量研究患肺病是否与吸烟有关，计算得χ2＝3.305，经查对临界值表知P

（χ2≥2.706）≈0.10，P（χ2≥3.841）≈0.05，现给出四个结论，其中正

确的是（

AD

）ADA.

因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患

肺病与吸烟有关”B.

因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺

病与吸烟有关”C.

因为χ2＞2.706，故依据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们认为“患

肺病与吸烟无关”D.

因为χ2＜3.841，故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺

病与吸烟无关”解析：

因为χ2＝3.305，且3.305＞2.706，由临界值表知，P

（χ2≥2.706）≈0.10，所以依据小概率值α＝0.1的独立性检验，认为“患

肺病与吸烟有关”，则A正确，C不正确；因为临界值3.841＞3.305，则依

据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为“患肺病与吸烟无关”，即B不

正确，D正确.（2）为了解某城市居民对冰雪运动的关注情况，随机抽取了该市100人进

行调查统计，得到如下2×2列联表：性别冰雪运动合计关注不关注男451055女252045合计7030100则下列说法正确的是（

A

）A

附表：α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828A.

依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别有

关”B.

依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为“关注冰雪运动与性别无

关”C.

在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别无

关”D.

在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“关注冰雪运动与性别有

关”

【规律方法】根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出

结论.训练1

〔多选〕某研究所为了检验新开发的疫苗的预防作用，对1

000名

注射了疫苗的人与另外1

000名未注射疫苗的人的一年的健康记录进行比

较，并提出假设：这种疫苗不能起到预防该疾病的作用，并计算出P

（χ2≥6.635）≈0.01，则下列说法正确的是（

CD

）A.

这种疫苗能起到预防该疾病的作用的有效率为1%B.

若某人未使用该疫苗，则他在半年内有99%的可能性得该疾病C.

依据小概率值α＝0.01的独立性检验，认为这种疫苗能起到预防该疾病

的作用D.

在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为这种疫苗能起到预防该疾

病的作用CD解析：

由P（χ2≥6.635）≈0.01可知，C、D正确，A、B不正确.知识点二有关“相关的检验”02PART【例2】

（链接教材P133例4）为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别

有关，对本班45人进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：性别打篮球合计喜爱不喜爱男5女5合计45

（1）请将上面的2×2列联表补充完整；

性别打篮球合计喜爱不喜爱男20525女51520合计252045（2）根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析喜爱打篮球是否与性别

有关.

α0.1000.0500.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

【规律方法】分类变量χ2独立性检验的步骤（1）提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；（2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值；（3）查临界值表，结合所给小概率值α，比较χ2与xα的大小；（4）根据检验规则得出结论.训练2

打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患心脏病有关.下表是一次调

查所得的数据：打鼾心脏病合计患病未患病每晚都打鼾30224254不打鼾241

3551

379合计541

5791

633根据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为每晚都打鼾与患心脏病

有关系？

知识点三有关“无关的检验”03PART【例3】

（链接教材P131例2）某省进行高中新课程改革，为了解教师对

新课程教学模式的使用情况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教

学模式的使用情况进行了问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20

人，青年教师30人.老年教师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的

有10人；青年教师对新课程教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人.（1）根据以上数据建立一个2×2列联表；解：

2×2列联表如下表所示：教师年龄对新课程教学模式合计赞同不赞同老年教师101020青年教师24630合计341650（2）试根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析对新课程教学模式的

赞同情况与教师年龄是否有关系.

【规律方法】独立性检验的关注点（1）χ2计算公式较复杂，一是公式要清楚；二是代入数值时不能张冠李

戴；三是计算时要细心；（2）判断时把计算结果与临界值进行比较，其值越大，有关的可信度

越高.训练3

下表是某校某届本科志愿报名时，对其中304名学生进入高校时是

否知道想学专业的调查表：性别是否知道想学专业合计知道想学专业不知道想学专业男生63117180女生4282124合计105199304根据表中数据，下列说法正确的是

.（填序号）①性别与知道想学专业有关；②②性别与知道想学专业无关；③女生比男生更易知道所学专业.

1.

调查中学生的视力情况时发现，某校160名男生中有90名近视，150名女

生中有75名近视，在检验这些中学生的眼睛近视是否与性别有关时用什么

方法最有说服力（

）A.

平均数B.

方差C.

回归分析D.

独立性检验解析：

近视与性别是两类变量，在检验两个随机事件是否相关时，最

有说服力的方法是独立性检验.故选D.

√2.

依据α＝0.05的独立性检验，下列选项中，认为“A与B有关系”的χ2

的值为（参考数据：P（χ2≥3.841）＝0.05）（

）A.2.700B.2.710C.3.765D.5.014解析：

∵5.014＞3.841，∴D正确.√3.

〔多选〕为考察一种新型药物预防疾病的效果，某科研小组进行动物实

验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中，由列联表中的

数据计算得χ2≈9.616.参照附表，下列结论正确的是（

）附表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.

根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物有效”B.

根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”C.

根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物有效”D.

根据小概率值α＝0.005的独立性检验，分析认为“药物无效”√√解析：

因为χ2≈9.616，所以7.879＜χ2＜10.828，所以根据小概率值α

＝0.001的独立性检验，分析认为“药物无效”；根据小概率值α＝0.005

的独立性检验，分析认为“药物有效”.故选B、C.

4.

考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据：是否得病种子是否经过处理合计种子经过处理种子未处理得病32101

133不得病61213274合计93314407根据以上数据得χ2的值是

（精确到0.001）.

0.164课堂小结1.

理清单（1）独立性检验的理解；（2）独立性检验的应用.2.

应体会利用公式法计算χ2的值.3.

避易错对独立性检验的原理不理解，导致不会用χ2分析问题.课时作业04PART

1.

下列对两个分类变量A，B的说法中正确的个数为（

）①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则χ2的值就越

大；③χ2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据.A.0B.1C.2D.3解析：

①正确，A与B无关即A与B相互独立；②不正确，χ2的值的大

小只是用来检验A与B是否相互独立；③不正确，由等高堆积条形图也可

判定A与B是否相关.故选B.

√1234567891011122.

某校为了研究“学生的性别”和“对待某一活动的态度”是否有关，运

用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝7.069，则认为“学生性别与支

持某项活动有关系”的犯错误的概率不超过（

）A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%解析：

∵χ2＝7.069＞6.635＝x0.01，∴认为“学生性别与支持某项活动

有关系”的犯错误的概率不超过1%.√1234567891011123.

在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则χ2的值变为原来的倍

数为（

）A.8B.4C.2D.

不变√123456789101112

1234567891011124.

根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ2＝3.974.依据α＝0.05的独

立性检验，结论为（

）α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828A.

变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01B.

变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C.

变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05D.

变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01√123456789101112解析：

因为α＝0.05时xα＝3.841，所以χ2＝3.974＞xα＝3.841，所以

变量x与y不独立，且这个结论犯错误的概率不超过0.05.故选B.

1234567891011125.

〔多选〕（2025·烟台一中高二月考）关于统计量χ2，下列说法正确的是

（

）A.

统计量χ2的值越大，两个分类变量的线性相关程度越强B.

若求出统计量χ2＝6.31，由于6.31比较接近x0.01＝6.635，因此能推断

两个分类变量有关系，且犯错误概率不超过0.01C.

独立性检验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代

表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的D.

根据统计量χ2的构造过程可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越大√√123456789101112解析：

对于选项A，统计量χ2的值越大，两个分类变量相关的可能性

越大，与线性相关程度无关，故A错误；对于选项B，因为χ2＝6.31＜

6.635，在犯错误概率不超过0.01的前提下，没有足够条件推断两个分类

变量有关系，故B错误；对于选项C，根据独立性检验思想可知，独立性检

验的本质是比较观测值与期望值之间的差异，由统计量χ2所代表的这种差

异的大小是通过确定适当的小概率值来进行判断的，故C正确；对于选项

D，根据独立性检验思想可知，χ2的值越小，零假设H0成立的可能性越

大，故D正确.故选C、D.

1234567891011126.

〔多选〕有两个分类变量X，Y，其一组的调查数据如表所示，XYY1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a，15－a均为大于5的整数，若在犯错误的概率不超过0.05的前提下

认为X，Y有关，则a的值可以为（

）A.6B.7C.8D.9√√123456789101112

1234567891011127.

为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量

的电离辐射照射小白鼠.照射14天后的结果如下表所示：剂量小白鼠合计死亡存活第一种剂量141125第二种剂量61925合计203050进行独立性检验的零假设是

⁠

，χ2≈

.（结果保留两位小数）

小白鼠的存活情况与电离辐射的剂量无

关5.33

1234567891011128.

某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关

系，运用2×2列联表进行独立性检验.整理所得数据后发现，若依据α＝

0.010的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动无关；若依据α

＝0.025的独立性检验，则认为学生性别与是否支持该活动有关，则χ2可取

的整数值为

⁠.附表：α0.100.050.0250.0100.0050.001xα2.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：由题知χ2∈[5.024，6.635），故χ2可取的整数值为6.6

123456789101112

9.

两个分类变量X和Y的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分

别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于

97.5%，则c＝（

）A.3B.4C.5D.6附：α0.050.025xα3.8415.024√123456789101112解析：

列2×2列联表如下：XY合计y1y2x1102131x2cd35合计10＋c21＋d66

123456789101112

α0.050.010.001xα3.8416.63510.82812123456789101112解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下：性别是否追星合计追星不追星男生x女