7.3.2　离散型随机变量的方差 课件(共65张)

7.3.2离散型随机变量的方差1.通过具体实例，理解离散型随机变量的方差及标准差的概念（数学抽象）.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题（数学建模、数学运算）.3.掌握方差的性质以及方差的求法，会利用公式求方差（数学运算）.课标要求随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水

平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机

变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量

取值波动大小的数字特征.情境导入知识点一离散型随机变量的方差01知识点二方差的性质02提能点方差的应用03课时作业04目录知识点一离散型随机变量的方差01PART问题1

从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记

录，第一名同学击中目标靶的环数X的分布列为X678910P0.090.240.320.280.07第二名同学击中目标靶的环数Y的分布列为Y678910P0.070.220.380.300.03（1）能否根据X和Y的均值来决定派哪名同学参赛？提示：E（X）＝8，E（Y）＝8，均值相等.不能根据X和Y的均值决定

选派人员.（2）怎样来衡量他们发挥的稳定性呢？提示：样本方差反映了样本数据与样本均值的偏离程度，可刻画样本数据

的稳定性.因此随机变量的方差和标准差可刻画随机变量的稳定性.【知识梳理】1.

定义：设离散型随机变量X的分布列如表所示：Xx1x2…xnPp1p2…pn我们称D（X）＝

⁠

＝

为随机变量X的方

差，有时也记为Var（X）.（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋

（xn－E（X））2pn

【例1】

（链接教材P69例5）某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，

c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，求选择a线路的旅

游团数X的方差D（X）.

【规律方法】求离散型随机变量X的方差的基本步骤（1）理解X的意义，写出X的可能取值；（2）写出X的分布列；（3）由均值的定义求出E（X）；

ξ012P

知识点二方差的性质02PART问题2

我们知道若X是离散型随机变量，则Y＝X＋b（b是常数）也是

随机变量，利用方差的含义你能推理出D（X）与D（X＋b）的关系

吗？D（X）与D（aX）的关系呢？提示：因为离散型随机变量X加上一个数b，其均值相应加上数b，故不改

变X与其均值的离散程度，方差保持不变，即方差D（X＋b）＝D

（X），D（aX）＝a2D（X）.【知识梳理】设a，b为常数，X为离散型随机变量，则（1）D（X＋b）＝

⁠；（2）D（aX＋b）＝

⁠；（3）若X服从两点分布，则D（X）＝

⁠；（4）D（X）＝E（X2）－（E（X））2.D（X）

a2D（X）

p（1－p）

【例2】

已知随机变量X的分布列如下表所示：X－101Pa（1）求X2的分布列；

X201P（2）求X的方差；

（3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差.

【规律方法】求随机变量Y＝aX＋b方差的方法求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均

值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解.

X012Pab

5

提能点方差的应用03PART【例3】

（链接教材P69例6）为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射

手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独

立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环，

且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，

8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.（1）求ξ，η的分布列；解：

依题设，0.5＋3a＋a＋0.1＝1，所以4a＝0.4，则a＝0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－（0.3＋0.3＋0.2）＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2（2）求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔

一人.解：

结合（1）中ξ，η的分布列，可得E（ξ）＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E（η）＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D（ξ）＝（10－9.2）2×0.5＋（9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0.1＋

（7－9.2）2×0.1＝0.96，D（η）＝（10－8.7）2×0.3＋（9－8.7）2×0.3＋（8－8.7）2×0.2＋

（7－8.7）2×0.2＝1.21.因为E（ξ）＞E（η），说明甲平均射中的环数比乙高.又因为D（ξ）＜D（η），说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定.所以甲的射击技术好，应选拔甲.【规律方法】利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤（1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平

均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高；（2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的

稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发挥相对稳定；（3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论.

X10.4x－0.2x0PX20.3x－0.1xPbc

即0.3b－0.1c＝0.2.

①又b＋c＝1，

②

（2）若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度

考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.

1.

已知随机变量X的分布列如下，则D（X）＝（

）X123PB.1

√2.

设随机变量ξ的方差D（ξ）＝1，则D（2ξ＋1）＝（

）A.2B.3C.4D.5解析：

因为D（2ξ＋1）＝4D（ξ）＝4×1＝4，故选C.

√

A.

mB.

2m（1－m）C.

m（m－1）D.

m（1－m）解析：

由题意得X服从两点分布，P（X＝1）＝m，P（X＝0）＝1

－m，所以D（X）＝m（1－m）.√4.

编号为1，2，3的三名学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每名学

生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E（ξ）

＝

，D（ξ）＝

⁠.

ξ013P11

课堂小结1.

理清单（1）离散型随机变量的方差；（2）方差的性质；（3）方差的应用.2.

应体会研究方差的性质及利用方差的性质解决问题时要注意转化与化归思想

的应用.3.

避易错方差公式套用错误，混淆方差的概念.课时作业04PART

1.

有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值

相等，方差分别为D（X甲）＝11，D（X乙）＝3.4.由此可以估计

（

）A.

甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B.

乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C.

甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D.

甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较解析：

∵D（X甲）＞D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐.123456789101112131415√2.

已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P（X≥D（X））＝

（

）X0123P√123456789101112131415

123456789101112131415

A.6B.9C.3D.4

√1234567891011121314154.

随机变量X的分布列如下：X01P0.2m已知随机变量Y＝aX＋b（a，b＞0），且E（Y）＝10，D（Y）＝4，

则a与b的值为（

）A.

a＝10，b＝3B.

a＝3，b＝10C.

a＝5，b＝6D.

a＝6，b＝5√123456789101112131415解析：

因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8，由两点分布，知E（X）＝

0.8，D（X）＝0.8×0.2＝0.16.因为Y＝aX＋b（a，b＞0），E

（Y）＝10，D（Y）＝4，所以aE（X）＋b＝0.8a＋b＝10①，a2D

（X）＝0.16a2＝4②.解得a＝5，b＝6.1234567891011121314155.

甲、乙两台自动机床各生产同种标准的产品1

000件，X表示甲机床生产

1

000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1

000件产品中的次品数，经过

一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示.据此判断

（

）表一X0123P0.700.20.1表二Y0123P0.60.20.10.1A.

甲比乙质量好B.

乙比甲质量好C.

甲与乙质量相同D.

无法判定√123456789101112131415解析：

由分布列可求甲的次品数的均值为E（X）

＝0×0.7＋1×0＋

2×0.2＋3×0.1＝0.7，乙的次品数的均值为E（Y）＝0×0.6＋1×0.2＋

2×0.1＋3×0.1＝0.7，D（X）＝（0－0.7）2×0.7＋（1－0.7）2×0＋

（2－0.7）2×0.2＋（3－0.7）2×0.1＝1.21，D（Y）＝（0－0.7）

2×0.6＋（1－0.7）2×0.2＋（2－0.7）2×0.1＋（3－0.7）2×0.1＝

1.01，E（X）＝E（Y），D（X）＞D（Y），所以乙比甲质量好.123456789101112131415

A.

X的可能取值为0，1B.

X服从两点分布C.

E（X）＝1√√√123456789101112131415

123456789101112131415

A.

E（ξ）随着x的增大而增大B.

E（ξ）随着x的增大而减小C.

D（ξ）随着x的增大而增大D.

D（ξ）随着x的增大而减小√√123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

X012Pab

12345678910111213141510.

已知η的分布列为η010205060P（1）求η的方差；

123456789101112131415（2）设Y＝2η－E（η），求D（Y）.解：

∵Y＝2η－E（η），∴D（Y）＝D[2η－E（η）]＝22D（η）＝4×384＝1

536.123456789101112131415

A.

E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）B.

E（ξ1）＜E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）C.

E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＜D（ξ2）D.

E（ξ1）＞E（ξ2），D（ξ1）＞D（ξ2）√123456789101112131415解析：

因为E（ξ1）＝p1，E（ξ2）＝p2，所以E（ξ1）＜E（ξ2）.D

（ξ1）＝p1（1－p1），D（ξ2）＝p2（1－p2），D（ξ1）－D（ξ2）＝

（p1－p2）（1－p1－p2）＜0，故选A.

123456789101112131415

ξ012Pb－aba√123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

12345678910111213141514.

有甲、乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1（元）1

2001

4001

6001

800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2（元）1

0001

4001

8002

200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？123456789101112131415解：根据月工资的分布列，可得E（X1）＝1

200×0.4＋1

400×0.3＋1

600×0.2＋1

800×0.1＝1

400

（元），D（X1）＝（1

200－1

400）2×0.4＋（1

400－1

400）2×0.3＋（1

600－1

400）2×0.2＋（1

800－1

400）2×0.1＝40

000；E（X2）＝1

000×0.4＋1

400×0.3＋1

800×0.2＋2

200×0.1＝1

400

（元），D（X2）＝（1

000－1

400）2×0.4＋（1

400－1

400）2×0.3＋（1

800－1

400）2×0.2＋（2

200－1

400）2×0.1＝160

000.因为E（X1）＝E（X2），D（X1）＜D（X2），所以两家单位的工资数学期望相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，

乙单位不同职位的工资相对分散，故选择甲单位.123456789101112131415

15.

某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，

售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理

完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如

果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，

25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定

六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温数据，得下面的

频数分布表：最高气温[10，15）[15，20）[20，25）