人教版八年级数学下册《一次函数与方程（组）、不等式》教案

23.3一次函数与方程、不等式

一、教学目标

【知识与技能】

1.认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不

等式之间的联系.

2.会用函数观点解释方程和不等式及其解（解集）的意义.

3.经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以

形表示数，以数解释形”的数形结合思想.

【过程与方法】

通过对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式关系的探究，

引导学生认识事物部分与整体的辩证统一关系,发展学生的辩证思维

能力.

【情感态度与价值观】

在探究活动中,让学生体会数学知识的融会贯通,发现数学的美，

以激发学生学习数学的兴趣和克服困难的信心.

二、课型

新授课

三、课时

1课时

四、教学重难点

【教学重点】

1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质

联系.

2.掌握用图象求解方程、不等式的方法.

【教学难点】

根据一次函数的图象求解方程和不等式.

五、课前准备

教师：课件、三角尺、直尺等.

学生：三角尺、铅笔、练习本.

六、教学过程

(-)导入新课(出示课件2)

今天数学王国搞了个家庭聚会，各个成员按照自己所在的集合就

坐，这时“x+y=5”来了.

二元一次方程一次函数

想一想："x+y=5”属于二元一次方程还是一次函数呢？下面我们

开始今天的学习。

(-)探索新知

L出示课件4-6,探究一次函数与一元一次方程

教师问：我们先来看下面两个问题：

(1)解方程2xT=0.

(2)当自变量x为何值时函数y=2x-1的值为0?

教师追问：对于2xT=0和y=2x-1,从形式上看，有什么相同和

不同？

学生答；2x-1=0是一元一次方程，y=2xT是一次函数.

教师问：从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？

师生一起解答：

问题⑴解方程2x7=0,得x=0.5.

问题⑵就是要考虑当函数y=2x-l的值为（0）时\所对应的（自

变量x）为何值？

实质上这可以通过解方程2x-l=0,得出x=0.5.因此，这两个问题

实际上是同一个问题.

教师问：从图象上看：请作出函数y=2x-1的图象.

学生答：作图如下：

教师问：函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0?

学生答：与x轴的交点（0.5,0）.

教师问：方程2x7=0的解是多少？

学生答:x=0.5.

教师问：有上面的问题可以得到什么呢？

学生答：即当x=0.5时，函数y=2x-l的值为0,这说明方程2x-l=0

的解是x=0.5.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标.

教师问：由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程“x+b=0

（a,b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0

有什么关系？

师生一起解答：由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解

相应的一次函数问题相一致.

由于任何一个以X为未知数的一元一次方程都可变形为

ax+b=O（aWO）的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于

在某个一次函数值y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值.从函数

的图象考虑，相当于已知直线尸ax+b,求它与x轴交点的横坐标.

总结点拨：（出示课件7）

一次函数与一元一次方程的关系

从数的角度看

求ax+b=O（。,b是%为何值y=ax+b

常数，。和）的解

的值为0

从形的角度看

求ax+b=O（a,b是确定直线y=ax+b

常数，存0）的解与x轴交点的横坐标

出示课件8,学生自主练习后门答，教师订正.

考点1：利用一次函数、方程及图象解答问题

一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过

几秒它的速度为17米/秒？（从方程、函数解析式及图象三个不同方

面进行解答）（出示课件9）

师生共同讨论解答如下：

学生1解答：

解：设再过X秒它的速度为17米/秒，

由题意得2x+5=17,解得x=6.

答：冉过6秒它的速度为17米/秒.

学生2解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）

的函数y=2x+5.

由2x+5=17,得2x一由二0.

由图看出直线尸2x—12与x轴的交点为（6,0）,得x=6.

y=2x—12

*

学生3解答：解：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）

的函数y=2x+5.由图可以看出当尸17时，x=6.

出示课件12,学生自主练习后口答，教师订正.

2.出示课件13-15,探究一次函数与一元一次不等式

教师问：观察下面两个不等式有什么共同点与不同点？

(1)2x-l>0;(2)2x-l<0.

学生答：两个不等式相同的特点是：不等号左边都是2x-1,不

等号右边都是0;

不同点是：不等号的方向不同.

教师问：你能从函数的角度对以上两个不等式进行解释吗？

学生答：这两个不等式相当于在一次函数尸2xT的函数值分别

为大于0、小于0时，求自变量x的取值范围.

教师问：结合函数图象如何解释呢？

学生答：在直线y=2x-l上取纵坐标分别满足条件大于0、小于0

的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.

教师总结点拨：（出示课件16）

因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax

+b>0或ax+b<0（aWO）的形式，在求它的解集时，从函数值考虑，

相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的

取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b,确定这条

直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.

总结归纳：（出示课件17）

一次函数与一元一次不等式的关系见课件流程图

考点2：利用一次函数的图象解一元一次不等式

画出函数y=-3x+6的图象，结合图象求：

(1)不等式-3x+6>0和-3x+6<0的解集;

(2)当x取何值时，y<3?(出示课件1879)

学生独立思考后，师生共同解答.

教师依次展示学生解答过程：

学生1解：作出函数y=-3x+6的图象，如图所示，图象与x轴交

于点B(2,0).

学生2解：(1)由图象可知，不等式-3x+6>0的解集是图象位于

x轴上方的x的取值范围，即x<2；不等式-3x+6<0的解集是图象位

于x轴下方的x的取值范围，即x>2；

学生3解：(2)由图象可知，当x>l时，y<3.

出示课件20-21,学生自主练习后口答，教师订正.

3.出示课件22-26,探究一次函数与二元一次方程组

教师出示问题：同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m

高处出发，以lm/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出

发，以0.5m/s的速度上升.两个气球都上升了1min.

（1）分别写出表示两个气球所在位置的高度y（单位：m）关于上升

时间x（单位：s）的函数解析式.

O

O

h

ihz

o

…Q_________

气球上升时间X满足0WxW60.

学生1答：气球1:y=x+5；

学生2答：气球2:y=0.5x+15.

教师问：一次函数与二元一次方程有什么关系？

师生一起解答：

一次函数y=0.5x+15

用方程观点看：二元一次方程y-0.5x=15

用函数观点看：二元一次方程y=0.5x+15

从式子（数）角度看：一次函数＜=＞二元一次方程

教师问：从形的角度看，一次函数与二元一次方程有什么关系？

学生答：由函数图象的定义可知：直线厂0.5x+15上的每个点的

坐标(x,y)都能使等式y=0.5x+15成立，即直线y=0.5x+15上的每个

点的坐标都是二元一次方程y=0.5x+15的解.

教师问：(2)两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这

时气球上升了多长时间？位于什么高度？请从数的方面分别加以研

究.

学生答：

从数的角度看：解方程组.就是求自变量为

(y=0.5%4-15

何侑时，两个一次函数y=x+5,y=0.5x+15的函数侑相等，并求出函

数值.

教师问：从形的角度看，二元一次方程组与一次函数有什么关

系？

学生答：二元一次方程组的解就是相应的两个一次函数图象的交

点坐标.

总结归纳：(出示课件27)

一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二

元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.

方程组的解<=>对应两条直线交点的坐标.

出示课件28,学生继续自主练习，教师给出答案.

考点3：一次函数的图象与二元一次方程组

如图，求直线L与L的交点坐标.(出示课件29)

师生共同分析：由函数图象可以求直线11与L的解析式，进而

通过方程组求出交点坐标.

学生独立思考后，师生共同解答.

解：因为直线L过点(-1,0),(0,2),用待定系数法可求得

直线L的解析式为y=2x+2.同理可求得直线L的解析式为y~x+3.

解方程组筹露2,得二

Vy3，

即直线h与12的交点坐标为（j|）.

JJ

出示课件31,学生自主练习，教师给出答案.

教帅：学了前面的知识，接下来做几道练习题看看你掌握的怎么

样吧.

（三）课堂练习（出示课件32-41）

练习课件第32-41页题目,约用时20分钟.

（四）课堂小结（出示课件42）

从函数值看从函数图象看

解一元一次方程ax+b解一元一次方程ax+b-A

一次函数

二k就是求当函数（y=ox就是求函数（y=ox+b）图

与一元一

+b）值为k时对应的自象上纵坐标为k的点的横

次方程

变量的值；坐标；

求kx+b>0（或〈0）（kW求kx+b>0（或<0）（kWO）

一次函数0）的解集即求函数的解集即确定直线

与一元一y=kx+b的值大于（或小y=kx+b在x轴上方（或下

次不等式于）0时，x的取值范围；方）的图象所对应的横坐

标的范围.

一次函数每个一次函数都对应一求两直线的交点坐标，即

与二元一个二元一次方程求对应的二元一次方程组

次方程组的解.

（五）课前预习

预习下节课（23.4