人教A版高二数学上册选择性必修2《等比数列的概念》同步练习题（含答案）

人教A版高二上学期数学（选择性必修2）《431等比数列的概念》

同步练习题（含答案）

基础巩固

1.等比数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的

都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公

比通常用字母表示（显然#0）.

2.等比中项：如果在。与b中间插入一个数G,使小G,b成等比数列，那么

叫做。与人的等比中项.此时，G2=_.

3.等比数列的通项公式：设一个等比数列｛〃”｝的首项为4,公比为必则通项公式为

an=----------

回归教材

①练习

1.判断下列数列是不是等比数列.如果是，写出它的公比.

(1)3915212733；

(2)11.11.211.3311.4641；

111111

(3)9

3691518

(4)4-816-3264-128

2.已知｛q｝是一个公比为q的等比数列，在下表中填上适当的数.

%出4q

28

20.2

3.在等比数列｛〃"｝中a。=36,/+。4=60求q和公比q.

4.对于数列｛%｝,若点（〃,〃“）（〃€1＜）都在函数），=“，的图象上，其中c,q为常数，且cwO,

q，0q-1试判断数列｛4,｝是不是等比数列，并证明你的结论.

5.已知数列｛为｝是等比数列.

（1）%，%和%是否构成等比数列？为什么？卬和。5,知呢？

（2）当〃＞1时，*和/，。用是否构成等比数列？为什么？当〃＞攵＞0时。…，。〃和。也是

否沟成等比数列？

6.求满足下列条件的数：

（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列；

（2）在160与-5中间插入4个数，使这6个数成等比数列.

7.设数列｛〃“｝,也」都是等比数列，分别研究下列数列是不是等比数歹U.若是，证明结论；若不

是，请说明理由.

（1）数列｛%｝,其中。〃=。也；

（2）数列⑷，其中，吟.

8.英汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几

年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%,那么2025年全年约生产新能源汽车多少

辆（精确到1）?

9.英城市今年空气质量为“优”“良，，的天数为105,力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到

240.这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）?

10.已知数列｛4｝的通项公式为4=今，求使%取得最大值时〃的值.

提升训练

1.已知数歹UmWli）和。…是等比数列，则实数。的取值范围是（）

A.QWIB.QHO或awlC.OHOD.且awl

2.在正项等比数列｛4｝中q=2,叼+4是为，出的等差中项，则为二（）

A.16B.27C.32D.54

3.在等比数列｛〃“｝中，己知4+%=8,%+%=4则卬3+4=（）

A.lB.2C.3D.5

4.已知方程（£_g+27）（/-加+27）=0的四个根组成以1为首项的等比数列，则|利-止

（）

A.8B.12C.16D.20

5.已知数列｛叫满足：4=1，%=：2（〃WN*）则4=（）

A.—B.—C.—D.—

31326364

6.（多选）已知等比数列｛%｝中，满足q=l,公比“=-3,则（）

A.数列｛34+4用｝是等比数列B.数列｛《用是等差数列

C.数列储/向｝是等比数列D.数列｛log,㈤｝是等差数列

7.（多选）在正项等比数列｛〃“｝中，公比为q,已知qa2%=4。必&=12。“+陷”+2。〃+3=324

则下列说法正确的是（）

A./=3B.6/2=4C.4。6=26D./?=12

8.已知直角三角形的斜边边长为c,两条直角边边长分别为。和伏〃<〃），且a,b,c成等比

数列，则凹二.

c

9.已知各项均为正数的等比数列｛%｝中，/与《4的等比中项为20,则2勺+卬的最小值为

10.已知数列｛《｝,也｝满足么=陛2耳，其中也｝是等差数列,若%%5=2,则

4+Z?2+…+434=.

11.已知各项都为正数的数列｛4｝满足k=2〃角+34.

（1）证明：数列｛。“+可讨｝为等比数列；

（2）若4=！，a2=-求｛4｝的通项公式.

12.已知数列｛q｝为等比数列，且4=2,。必=%•数列依｝的前〃项和记为3,满足

2S”=n2+n.

（1）求数列也｝,｛2｝的通项公式；

（2）若对任意〃GN.,勺>2年恒成立，求实数2的取值范围.

参考答案及解析

一、基础巩固

1.比公比q

2.Gab

二、回归教材

①练习

1.答案：（1）不是等比数列

（2）是等比数列，公比g=Ll

（3）不是等比数列

（4）是等比数列，公比夕=-2

解析：（1）3,9,15,21,27,33；因为2人”，故不是等比数列;

39

（2）4=1%=1.1a3=1.214=1.331%=1.4641

所以生=色=且=&=1」所以是等比数列公比g=l.l；

qa2a3a4

小111111

\3）a.=-a-,=-a.=-a.=——4=——a,=——；

13-6912-15618

显然&工幺故不是等比数列；

4生

（4）因为q=4—82=166/4=-32=64a6=—128；

所以a=幺=且=%="=_2所以是等比数列公比q=-2.

4a2a3aAa5

2.答案：见解析

2

解析：第——行：a]=2a5=axq1=S=>q=2=>q=±A/2

2

所以Q3=qq2=4tz7=a5q=16.

2

第二彳丁：a3=2q=0.2=4=a=50a5—a3cf—2x0.2—0.08

q~

%=%q~=0.08x0.2"=0.0032.

3.答案：卜二2或1=2

q=-3伍=3

解析：设等比数列的首项为q,公比为“

因为=36%=60

由等比数列的性质可得。丹=尿=36

又生+%=%（1+"2）="）

a2>0/=6

1+/=10,解得：4=±3

当夕=3时，由生=4q=6,所以4=2；

当g=-3时，由/==6,所以q=-2.

所以卜二-2或卜小2.

q=-31q=3

4.答案：是，证明见解析

解析：由题意知：a.=cq”

因为c=0gw。4工14包二丝二二乡为定值常数.

4cq

且％=cq

所以数列｛%｝为以“为首项，q为公比的等比数列.

5.答案：（1）%%%成等比数列理由见解析；%%为成等比数列

（2）勺7%。向成等比数列理由见解析；4仆”是等比数列

解析：（1）设等比数列的公比为“

则a；=〃；炉/""（。闻2）,/）"“"

.,.《=%%则由a5%成等比数列

又的9=4M夕*=4|2q8则所以4为。9成等比数列；

（2）・.・a；="2产2%.%=,闻〃2^a^n）=a[q2n2

所以%ta”。用成等比数列；

2n2

又%"=[的”1）（4/+J）=a-q-,则a；t=%

所以％牝是等比数列•

6.答案：（1）27、81

（2）-80、40、-20、10

解析：（1）在9与243中间插入2个数，使这4个数成等比数列

设等比数列的公比为q,则243=9/,解得q=3

所以在9与243中间插入2个数为27、81.

（2）在160与-5中间插入4个数，使这6个数成等比数列

设等比数列的公比为夕，则-5=160八解得好

2

所以在160与-5中间插入4个数为・80、40、在0、10.

7答案:（1）数列｛%｝为等比数列

（2）数列｛4｝为等比数列

解析：数列｛〃“｝,｛〃｝都是等比数列，设公比分别为4、%（%,%均不为0）

（1）由&也，则Z二&12红=[%

%。也

所以数列｛%｝为等比数列.

Sii

（2）由4=%,则端=维L=&Lx%=—,二%」二包.

b,,44b向a„atlbH+lq2%

所以数列｛4｝为等比数列.

8.答案：128145辆

解圻：根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列

设为｛q｝,贝114=5000,公比q=150%=1.5

所以卬=4©i=5000x151

则2025年全年约生产新能源汽车为6=5000x1.58p128145（辆）

故2025年全年约生产新能源汽车128145辆.

9.答案：0.51

解析：设平均增长率p,依题意可得105(1+“)2=240

所以〃=-----0.51

故平均增长率约为().51.

10.答案：3

解析：设〃=%时，。〃最大

8

为

因

q出=->4

一9

所以左>1

二(火-If

所以卜认』卜：一31

于一亍厂

刖俨N3(攵-方山任26(k-1)[(V3-1U<V3

即〈，故《

3/N伏+1>'[冷42A+1[(屿-1)2之1

凌”

，k<—?不=x3.26

(V3-1)

V

k>—=—%2.26

(V3-1)

即2.26工攵<3.26(攵wZ),所以2=3

故当〃“取最大值时〃=3.

三、提升训练

1.答案：D

解析：由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0,所以。工0且1-。60,

所以g0且"1.故选D.

2.答案：D

解析：设数列｛4｝的公比为q,夕>0,则4+43=2(%+4),/.2+2/=2(2^+4)解得q=3或

q=-\(舍去).“4=2X33=54.故选口.

3.答案：A

解析:方法一：因为数列｛4｝是等比数列，所以q+a3as+%%+cil3+ax5成等比数列,

且公比为*±£L=_L,所以%+%5=(%+%)(_L[=I.

4+%2.-\2)

方法一：设等比数列｛4｝的公比为q,贝丘5=。闻4,%=词所以/=序言=g，所以

12i2

Q|3+Q|5=4"2+a3q=(q+ai)q=8x

4.答案：C

解析：设方程(d-nr+27"父-心+27)=0的四个根由小到大依次为4a2%%.不妨

设X2-nix+27=0fi\J一'个根为1则另一个根为27所以〃7=1+27=28.又由等匕数列的性

质可知=4%所以％=14=27所以等比数列/%%%的公比

q=,=3所以生=1x3=3

%=1x32=9.由根与系数的关系得〃=3+9=12•所以

|帆-川二|28-12|=16.故选C.

5.答案：C

/\------1-1

解析：由题意—=^^=-+1,即一二+1=2—+1,故与一=2.又工+1=2,所以

%%%q+1\an)J-+14

an

数列，+1是首项为2,公比为2的等比数列，从而,+1=2x25,解得牝=’.

463

6.答案：CD

解析：因为在等比数列｛〃“｝中，满足卬=1,公比夕=-3,所以q=(-3严.

对于A,3%+*=3[(—3严]+(—3)"=[(—1尸+(—1)1・3"=0不是等比数列，故A错误;

对于B,%—4=(—3)〃-(一3严=*(-3)〃不是等差数列，故B错误；对于C,

a/向=(一3严,(一3)”=(一3产7是等比数列，故c正确;

对于D,1咱同=1唱|(一3尸卜〃-1是等差数列，故D正确.故选CD.

7.答案：BD

解析：已知正项等比数列｛〃“｝的公比为4（4>0）则40=441.由的必=44汹。6=12

得d=4a；=12B正确；而为=生9’于是（生/）3=12即/=3A错误；而

%=晅则/&=W=2炳C错误；由凡+m=324得<2=324即（出丫=324

因为嬉=4所以=81=34=（/）=q%显然4>1所以3〃=36解得〃=12D

正确.故选BD.

8.答案：叵【

2

解析：设等比数列。bC的公比为M>1）贝|J〃=的。=雨.因为/+从=。2所以

/+/整理得"一夕2_]=0得夕2=上好所以幺=[='|二1.

2cq~2

9.答案：8

解析：设等比数列｛。〃｝的公比为必由题意得。“>04%=（20）2=8即q=2后

从而2%+4=空+a.q2>J竺xa"=2及q=8当且仅当d=应时取等号则

q-vq~

2%+4的最小值为8.

10.答案：117

解析：因为数列｛〃｝为等差数列设公差为d则bn+l=log2-bn=log2an

〃用-2=log2号=d则今比=2〃故｛4｝为等比数列所以

b\+由34=log?4+log?-=log2(q&4)=log?(4。〃225)=,所以