江苏省南京市2025-2026学年高一年级上册期末模拟测试数学试题（二）解析版

江苏省南京市2025-2026学年高一上学期期末模拟测试数学

试题（二）

考试时间：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1若集合力=3kln（x+l）｝*=卜，+X20｝,贝（）

A.（一8,-1）B.（-1,0）C.（-00,0]D.

[0,+8）

【答案】D

【解析】

【分析】分别求解集合48,再结合交集的定义求解即可.

【详解】4="|歹=111（1+1）｝=｛工工〉-1｝,5=｛工|工2+工20｝=｛工工20或工工一[｝,

所以/n8=[o,+s）.

故选：D.

2.若命题P：DX£R,f+2丫>0,则P的否定是（）

A.VxGR,x2+2x<0B.3XGR,X2+2X<0

C.IvGR,x2+2x>0D.3xR,x2+2x<0

【答案】B

【解析】

【分析】由全称量词命题的否定可得出结论.

【详解】由题意可知，命题P为全称量词命题，该命题的否定为“ICER,

x2+2x<0.

故选：B.

3.在平面直角坐标系中，角二的终边经过点（5’5）,贝代沦。二（）

4334

A.一B.----C.—D.-

5555

【答案】A

【解析】

【分析】由任意角三角函数定义可得答案.

2

（3、2434、4

【详解】注意到-+=1，则在单位圆上，则sina=一

5J51DD5

故选：A

2

4.式子e2+log遥25+（0.125户的值为（)

29

A.—B.10C.11D.12

4

【答案】C

【傕析】

【分析】根据指、对数运算求解即可.

2

、33

41=3+4+0『

【详解】由题意可得：原式=3+log6（、6）+=7+4=11.

故选：C.

5.已知向量1=B=若仅+2町_1九则实数f

)

733

A.-B.-C.——D.-1

444

【答案】C

【解析】

【分析】根据向量线性运算求得Z+2B的坐标，再由向量垂直的坐标运算可求得九

【详解】由£二（一1,2）,1=（覃）,可得Z+2〃=（l,2+2f）,

又因为仅+24工5,所以(Z+247=-1+4+4/=0,解得/=—1.

故选：C.

6.如果范，是实数，那么“刈＜0”是“k一引二|工|+3”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

2

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件.

【详解】当孙<0时，不妨设x<0,y〉0,x-y<0,则

不一歹|二一（工一歹）二一%+歹=国+帆.而当卜一歹|二W+3时,可能歹,此时,一。|二国,

而9=0.综上所述“9<0”是“k一升二国+|引”的充分不必要条件.

【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值的知识，属于基础题.

7.如图是摩天轮的示意图，已知摩天轮半径为40米，摩天轮中心。到地面的距离为41米,

每30分钟按逆时针方向转动1圈.若初始位置凡是从距地面21米时开始计算时间，以摩

天轮的圆心。为坐标原点，过点。的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xQy.设从点兄

运动到点尸时所经过的时间为，（单位：分钟），且此时点尸距离地面的高度为力（单位:

米），则》是关于，的函数.当EER时，/?（/）=（)

4八.兀兀4<

A.40sin——t+41B.40sin-+41

U56J1306j

4八・'兀兀)A1

C.40sin—t——-41D.40sin-t---41

(156j(306j

【答案】A

【解析】

【分析】先由题意得到进而得到Zmin后，以Ox为始边，OP为终边的角

6

—I-一，从而得到点尸的纵坐标为40sin（—Z-一）,即。距地面的高度函数求解.

156156

【详解】由题意得而-?是以。工为始边，。弓为终边的角，

3

2兀71

由OP在/min内转过的角为一t=—t,可知以0r为始边，

3015

7TTT,兀兀、

OP为终边的角为一Z——,则点尸的纵坐标为40sin—/——,

1561156J

，兀兀、

所以点尸距地面的高度为〃=40sin—+41,

1156J

故选:A.

8.定义域为R的函数/'（X）满足/（3+x）=〃3—x）,/（4）=0,且Yr1,X2G[3,+OO）,

/（x）-/（x）/\/\

当工尸工2时，2〉0,则不等式（x—3）/（x）＜0的解集为（）

X\~X2

A.（-oo,2）u（4,+oo）B.（2,3）U（4,+oo）

C.（2,3）U（3,4）D.（—%2）U（3,4）

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可.

【详解】由题意，1=3是函数歹=/（工）的对称轴，？=/（不）在[3,+8）上是增函数，

所以歹=/（工）在（—­3）上是减函数，

又/（4）=0,所以/（2）=0,

所以当x«-oo,2）时,x-3＜0,/（X）〉。满足（x-3）/（x）＜0,

当RW（3,4）时，x-3＞0,/（x）＜0,也满足（x-3）/（x）＜0,

所以不等式（x-3）/（x）＜0的解集为（-oo,2）U（3,4）.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.不列说法正确的有（）

A.若ac2＞be1，则。〉b

4

a+b>2a>1

B.若融一则

b>\

11

C.若a〉b〉O,则。一人>------

ab

a<1

D.若,［，则<1

b<\

【答案】AC

【解析】

【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假.

【详解】A中，因为。，>庆2,可得。2>0,所以Q〉b,所以A正确;

a+b>2a>1

B中，若〈ab>l'"L6=2也可以，所以.।不正确，所以B不正确;

b>\

,；n.flHz,xb-a(a-b)(l+ab]

C中，a>b>O,a-b-----=(a-b]-------=------------,

\ab)abab

因为a〉b〉O,ab>0而1+。6>0,所以。一6———|>0,即。—b>----,所以

fb)ab

C正确；

[a<1

D中，若,当。=6=2时，贝则帅<1错误，所以D不正确.

[b<l1

故选：AC.

10.已知函数/(x)=x+—,则()

X

A./(x)的图象关于原点对称B./(x)在(0,+8)上单调递增

C./(x)的值域为[2亚,+8)D.不等式1的解集为

(-2,0)

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据函数奇偶性的判定方法即可判断A,根据函数单调性的判断方法即可判断B,

根据基本不等式即可判断C,直接解不等式即可判断D.

5

2

【详解】对于选项A,定义域为（—8,0）D（0,+。），f（-x）=-x—=-f（x）f

X

所以/（%）为奇函数，图象关于原点对称，所以选项A止确;

对于选项B,设逝＜$＜工2,

22'x}x2-2、

则〃％）—/（工2）=玉+--%+—=（阳_々）

kX2<中2>

xx

因为0＜项＜々，所以王一工2＜0，i2-2＞0,xrr2＞0

即/（再）一/（9）＜。，即/（$）＜/（工2），

,所以选项B正确;

对于选项C,当x〉0时，x-I-->2^x--=2V2,

当x<0时，x+—<-2/(-X)---U-2V2,

xV1

即/（X）的值域为卜?-2＞/1］口［2后,+力），所以选项C错误;

2

对于选项D,/（x）＜x-l,即xH—<X—1,解得-2<x<0,则其解集为(-2,0),

x

所以选项D正确.

故选：ABD.

（兀、

11.函数/（X）=/sin（ox+夕”4＞0,。＞0.0＜0＜弓）的部分图象如图所示，则下列说法

正确的是（）

1In7兀

B./（X）的一个单调递增区间为丁'7

6

录。)对称

C.函数/(幻的图象关于点

(5、

D.若函数/(/U)(兄〉0)在［0,兀］上没有零点，则北0,不

V12J

【答案】ACD

【解析】

5兀

【分析】A：利用图象求出函数的周期，由此求出再由/(无)=0,求出。的值，然后

7T

根据7(0)=1求出A的值，进而可以判断；B：利用工的范围求出2x+：的范围，然后利

6

用正弦函数的单调性以及整体代换的性质即可判断；C：判断了(-晟)与0的关系，由此即

可判断；D：利用图象变换的性质以及数形结合建立不等式关系，由此即可判断.

T11兀5兀7t

【详解】A：由函数图象可得5=皆-/=］,则7=兀，所以G=2,

又/(—)=0,则Zsin(2x---F^?)=0,则°+二-二4兀,〃eZ,结合其范围有—，

121266

7TTT

由/(0)=zlsin—=1,解得/=2,所以/(x)=2sin(2xH—),故A正确;

66

2x十;£4兀一714兀十5兀;,则函数/(>)在工£［=11々K7?兀］不单调

B：当时，

03666666633

递增，故B错误;

C：当工=一4时，/(-勺=2sin(-2x会+与=0,所以/(X)的图象关于点(-三0)对

121212o12

称，故C正确；

D：/(4x)的图象是由/(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的上倍得到的,

由题图知/(X)在［0,蓝57r)上没有零点，则/Qx)在［0,券57r)上没有零点，

1Z1N/t

57r5

由题意得二〉兀，所以0<工〈有，故D正确.

12/t"

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

,O823

12.21og43+log2--2=.

【答案】-1

7

【解析】

【分析】利用对数运算性质求解.

[详解]

4|4,4、

,082

21og43+log2--2=-x21og23+log2--3=log23x--3=log24-3=-l

JZJ\\）

故答案为：-1.

13.写出一个同时满足下列性质①②的函数/（x）=.（若写多个，以第一个计分）

①/（'+歹）=；②/"）在R上单调递减.

【答案】-

【解析】

【分析】根据指数函数的性质，得到函数的解析式.

【详解】指数函数满足优且＞=疝，0＜。＜1时，函数单调递减，

所以满足条件的一个函数/（》）=-.

故答案为：f-1（答案不唯一）

一Q21

14.已知正实数X,y满足方程e2xT+2x=e3-）'+4—y,则一+一的最小值为______.

y工

【答案】2

【解析】

【分析】通过构造函数通过判断其单调性得到2x+y=4,再利用基本不

等式求最值.

【详解】令/（x）=e、+x,明显其在R上单调递增，

又由e2x-1+2x=e3r+4—y得e2x-1+2x-1=+3—y,

即〃2x—l）=/（3—y）,

所以2x-l=3—歹，即2x+y=4,且x,y＞0,

8

一21

所以一十一

yx

4xy

当且仅当——=乙，即x=l,y=2时等号成立,

y%

21

故一+一的最小值为2.

y%

故答案为：2.

四、解答题：本题共5小题，共77分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

15.己知集合4={工|恒（工-1）<1},5={x|0<x+6f<2}.

（I）当。二一2时，求4c3；

（2）若“x£4”是“工£4”的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

【答案】（1）{x|2<x<4}；

（2）{a\-9<a<-\},

【解析】

【分析】（1）化简集合力与5,根据交集的定义求解即可.

（2）根据“XE8”是“XE/”的充分不必要条件，得8是[的真子集，由此得出实数。的取

值范围.

【小问1详解】

集合A={x\Ig（x-l）<1}={x10<x-1<10}={x11<x<11},

当Q=-2时，5={x|0<x-2<2}={x|2vx<4},所以4cB={x[2<x<4}.

【小问2详解】

由“xe8”是“工c力”的充分不必要条件，得集合B是A的真子集，

—ci>1。-1

而3={x|—QVX<2-。},则「或一，解得一9«。<一1或

[2-tz<ll[2-67<11

-9<<-1,

所以实数a的取值范围是{a\-9<a<-\}.

9

16.(1)已知tana是关于x的方程2/+x—1=0的一个实根，且a是第一象限角，求

3sin2a-sinacos6f+2cos2a的值;

(2)已知sina+cosa=一，且。£(0,兀)，求」-----?一的值.

2sinacosa

【答案】(1)-;(2)也.

53

【解析】

【分析】(1)解方程2/+工一1=0,求出tana=1,利用同角三角函数关系式能求出结

2

果.

I3

(2)由sina+cosa=2且aw(0,兀)，得2sinacosa=-w，从而

/------：-----------।11cosa-sina一…

cosa—sina=-Jl—2sin6cos6，再由一----------=—：----------，能求出结果.

smacosasmocos。

2

【详解】(1)解方程2x+x—1=0»得玉=-1,x2=—,

tana是关于x的方程2/+工一1=0的一个实根，且口是第一象限角，则tana=」，

2

,、,3xl-l2

222+

..2c03sina-sinacosa+2cosa3tana-tana+2779

3sirra-sinacosa+2cos~cz=------------；--------；----------=---------；----------=——―二----=—

sin~a+cos~atan“a+lJ_+|5

4

(2)sina+cosa=；,且a£(0,兀),

[3

(sina+cosa)2=l+2sinocosa=z,则2sinacosa=一^，而二£(0,兀)，

兀

则。4万,兀J,故

coscr-sina--J(cosa-sma)2=-Jl-2sinacosa=-.11+--

V42

_V7

11_cosa-sina_2_4J

',-------'=''=,'=''

sintzcos6rsinacosa_23

8

io

17.已知函数/（工）=如3'+6・3一、（Q,6ER）为偶函数.

（I）证明：f（a-b）=a+b；

（2）当/（O）〉。时，证明/（x）的单调性；

（3）解关于x的不等式/（21〉/子一2、.

127

【答案】（1）证明见解析

（1）

（2）证明见解析（3）--,+oo

I2}

【解析】

【分析】⑴根据函数的奇偶性可得（"力）（3'-3-'）=0对于xwR恒成立，则。=6,即可求

解；

（2）由题意及（1）可得。=b>0,利用定义法证明函数/（x）的单调性；

（3）结合函数的奇偶性和单调性建立不等式，解之即可求解.

【小问1详解】

由题意知，函数/（%）为偶函数，则/（—X）=/（%）,

即（”与（3、-3一'）=0对于XE火恒成立，所以。=人

所以f（a-b）=/⑼=tz•3°+/>-3"°=a+b,即证.

【小问2详解】

由/（0）〉0,得/（0）=Q+〃>0,

又由（1）知Q=b,.・./（工）=4・（3'+3一'）,（。>0）

任取0<玉<々，/（芭）一/缶）=a（3*+3-'1）一。+3一勺）

-。（3,，-3匕）+。（/-产）-。（3』-3'>«^1［山（313*）（1-嬴>

因为0<否<匕，所以国+W>0，3*—34<0，

11

・・・3".〉1，得0<点<1，即1一点>0,

又因为a>0,

故/（斗）一/（%）=。（3"-3"）（1-<0，即/（斗）</（W）,

所以函数/（X）在（0,+8）上单调递增，

因为函数"X）为偶函数，所以〃x）在（一。,0）上单调递减.

【小问3详解】

因为偶函数/⑴在（0,+8）上单调递增，且--2Y,

所以|2”|>2一2%，

又因为2">0,

所以<2\

即一2、<?一2'<2"解得x〉—^,

故原不等式的解集为（-1，+力］.

I2）

18.已知函数〃x）=4sin（2x+°）+l,其中力〉0,［同<］,从下列三个条件中选择两

个作为已知条件，使得函数/（》）存在且唯一确定.

（TV\

①函数/（X）的图象关于点-不,1对称；

②函数/（工）的图象关于直线X=2对称；

6

③函数/（X）在一5，；上的最小值为T.

64

（1）求函数/（》）的解析式；

（2）将函数/（'）的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移］

12

7T5兀

个单位长度，得到函数g(x)的图象，讨论函数)，=8(%)在上的单调性.

66

(兀、

【答案】(1)/(x)=4sin2工+—+1

\6)

(2)g(x)在内单调递增，在内单调递减

63)36_

【解析】

7T

【分析】(1)若选①②：根捱对称轴可得°=:，但不能确定A的值；若选①③：根据对称

6

IT7T

中心可得。再以2x十二为整体，结合正项函数值域求得4=4；若选②③：根据对

66

TT1T

称轴可得9=三，再以21十:为整体，结合正项函数值域求得4=4.

66

兀jr

(2)根据三角函数图象变换可得g(x)=4sinx--+1,以2x-乙为整体，结合正弦函

k6)6

数单调性分析求解.

【小问1详解】

若选①②：因为函数/(x)的图象关于直线x=2对称，

6

7C7T-.冗

则2x—+夕=E+—,左£Z,解得e=攵兀+―,左EZ,

626

/X

且—<0<一,可知％=0,夕=一,则/(x)=4sin2x+—+1,

226v6J

jr\兀

且/--=/sinO+l=l,即函数/(x)的图象关于点一行,1对称,

但不能确定A的值，不合题意;

若选①③：因为函数/(X)的图象关于点对称,

12

兀7T

则2x---+(p=kit,keZ,解得(P—kit-\—,kGZ,

<12,6

7171一，，八—,则/'(x)=4sin(2x+囚+1,

且——<0<一,可知左=0,0=

2266k6

13

/

71兀二，八7兀1兀2兀兀

又因为XW/二’则./一］丁,可得sin2x+—G

646I6

且幺>0,可得/(工)£――+1,A+1,

则V

+1=—1,解得4=4,所以〃x)=4sin2x+—+1；

I67

若选②③：因为函数/(X)的图象关于直线工=二对称,

6

兀兀7T

则2x—+0=%兀+—,左wZ,解得0=女兀+—,攵GZ,

626

兀

且—<。<一,可知〃=0,0=—,则/(x)=4sin|2x+q+1,

2266)

兀兀，八兀71271,可得sin(2x+Aw

又因为xw—,贝i」2x+：w

64669Tk6)

4

且4>0,可得了(工)£—3+1,4+1,

则V

+1=—1,解得4=4,所以/(x)=4sin2x4--+1.

67

【小问2详解】

函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，可得

歹二4sin[x+q]+l；

v6J

717T|...7兀1।.

再向右平移三个单位长度，得到g(x)=4sinx----1■—+1=4sinx——+1,

36)

,,兀5兀2兀

因为x£—则0,

66

兀八兀717127t)

当X一吃£0,—,即XE时，g(K)单调递增;

62_63)

71兀2兀

当X——€，即xw—-D寸，g(x)单调递减;

629T36

14

jr27ri2兀Sjr

综上所述：g(x)在K内单调递增，在—内单调递减.

63J|_36_

注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分.

19.已知函数/.(1)=loga(l-x)+〃2k)g“(l+x)S>0且。W1).请从以下两个条件中选择

一个作为已知，解答下面的问题.

条件①:/(x)+/(-x)=0；条件②：/(X)-/(T)=0.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分.

(1)求实数〃7的值；

(2)当。=2时,判断函数g(x)=/(x)+x〃'+l在区间(—1,0)上的零点个数，并说明理

由；

(3)已知X£(O,1),若/(x)〉2,当且仅当XE：，〃］，求实数〃的值.

【答案】(1)选①，加二一1或选②，m-1

(2)选①或选②，1个

(3)选①，a—»〃=1；选②，a=»〃=1

32

【解析】

【分析】(1)若选①，由/(x)+/(一工)=0,结合对数的运算性质可求得实数机的值；若

选②，由/(司-/(-1)=0,结合对数的运算性质可求得实数〃z的值；

(2)若选①或②，当〃=2时，求出函数g(x)的解析式，分析函数g(x)在(-1,0)上的单

调性，结合零点存在定理可得出结论；

(3)若选①或②，分。〉1两种情况解不等式/(x)>2,根据其解集为

(\\

-,n,由此可得出关于。、〃的方程组，即可解出这两个未知数的值.

(2)

【小问1详解】

若选①，因为/(工)的定义域为(—14)，

则由/、(1)+/(—x)=0得，

15

f(x)+/(-x)=log,(1—X)+mlogq(1+X)+log,(1+x)+ig(1-x)

2

=(w+l)[log</(l-x)+loga(l+x)]=(w+l)log(z(l-x)=0

对于任意(-1,1)都成立，所以〃2=-1;

若选②，因为/(X)的定义域为

则由/(X)-/(一力=0得,

/(X)_/(—X)=log”(1-X)+加log”(1+力-log。(1+X)-箱Og,(1_X)

1+x

=(w-l)[loga(l+x)-logw(l-x)]=(加一1)log”=0

1-X

对于任意X£(一草)都成立，所以加=1.

【小问2详解】

1—Y1

若选①，当。=2时，函数g(x)=k)g2L+—+1.

1+XX

1_2

因为"二丁一r二—1+;—在(-1,0)上单调递减，

1+x1+x

且弘二bg2〃在定义域上单调递增，所以必=log2F在(-1,0)上单调递减,