《初中数学中考复习二次函数的图象和性质》课件

第三单元函数第14讲二次函数的图象和性质第三单元函数数据聚焦考点梳理1数据剖析题型突破2数据链接真题试做3栏目导航

教材链接人教：九上第二十二章P28-P42.冀教：九下第三十章P29-P38.北师：九下第二章P32-P41.数据聚焦考点梳理1图象及性质系数a,b,c与二次函数图象的关系二次函数的图象和性质二次函数的概念及解析式二次函数与一元二次方程、不等式概念二次函数的解析式二次函数与一元二次方程二次函数与不等式二次函数的图象及其性质二次函数图象的平移、翻折、旋转平移步骤平移规律二次函数的图象的翻折、旋转二次函数的解析式的确定1.概念考点

1二次函数的概念及解析式一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.2.二次函数的解析式(1)一般式:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0).(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数,且a≠0),其中(h,k)为二次函数的顶点坐标.(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2是常数,且a≠0),其中x1,

x2为抛物线与x轴交点的横坐标.3.二次函数解析式的确定(1)求二次函数解析式一般用待定系数法,根据所给条件的不同,要灵活选用函数的解析式:①当顶点在原点时,通常设为y=ax2(a≠0);②当顶点在x轴上时,通常设为y=a(x-h)2(a≠0);③当顶点在y轴上(或对称轴是y轴)时,通常设为y=ax2+c(a≠0);④当抛物线过原点时,通常设为y=ax2+bx(a≠0);⑤当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c(a≠0);解析式.⑥当已知抛物线的顶点(或对称轴)和另一点坐标时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0);⑦当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(2)步骤:①设:设合适的二次函数的解析式.②代:代入坐标,得到关于待定系数的方程(组).③解:解方程(组),求出待定系数的值.④还原:写出函数的解析式.考点

2二次函数的图象及其性质表达式(a≠0)y=ax2y=ax2+cy=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c开口方向a>0,开口向上;a<0,开口向下对称轴直线x=0直线x=0直线x=h直线x=①

直线x=⑤

顶点坐标(0,0)(0,c)(h,0)②

⑥

1.图象及性质h

(h,k)

增减性a>0在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大,简记为“左减右增”

a<0在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小,简记为“左增右减”

续表最值a>0抛物线有最低点当x=0时,y有最小值为0当x=0时,y有最小值为c当x=h时,y有最小值为0当x=h时,y有最小值为③

当⑦x=

时,y有最小值,最小值为⑧

a<0抛物线有最高点当x=0时,y有最大值为0当x=0时,y有最大值为c当x=h时,y有最大值为0当x=h时,y有最大值为④

当⑨x=

时,y有最大值,最大值为⑩

续表k

k

方法指导二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同性质,在顶点处有最大值或最小值;如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取最大值或最小值时,要依据其增减性而定.2.系数a,b,c与二次函数图象的关系关系字母或代数式符号图象特征二次函数系数a,b,c与图象的关系a决定开口向a>0开口向上|a|越大,开口越

a<0开口向下a,b决定对称轴的位置b=0对称轴为y轴ab>0对称轴在y轴

侧,简称“左同”

ab<0对称轴在y轴

侧,简称“右异”

左小右关系字母或代数式符号图象特征二次函数系数a,b,c与图象的关系c决定抛物线与y轴交点的位置c=0经过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点续表关系字母或代数式符号图象特征特殊关系与a,b有关,找对称轴与a,b,c有关,对x赋值看到a+b+c,令x=

,看y的值;看到a-b+c,令x=

,看y的值

看到4a+2b+c,令x=2,看y的值;看到4a-2b+c,令x=-2,看y的值续表-11考点

3二次函数图象的平移、翻折、旋转1.平移步骤(1)将抛物线解析式转化为顶点式,确定其顶点坐标;(2)抛物线的形状不变,平移顶点坐标即可.2.平移规律平移前移动方向(m>0)平移后规律y=a(x-h)2+k向左平移m个单位y=a(x+h+m)2+k左加向右平移m个单位y=a(x-h-m)2+k右减向上平移m个单位y=a(x-h)2+k+m上加向下平移m个单位y=a(x-h)2+k-m下减口诀“左加右减,上加下减”

重要提醒口诀“左加右减,上加下减”中的“左加右减”是对x加减,“上加下减”是对整体加减.3.二次函数的图象的翻折、旋转变化前变换形式变化后简记y=a(x-h)2+k绕顶点旋转180°y=-a(x-h)2+k

a变号,h,k均不变绕原点旋转180°y=-a(x+h)2-ka,h,k均变号沿x轴翻折y=-a(x-h)2-ka,k变号,h不变沿y轴翻折y=a(x+h)2+ka,k不变,h变号

方法指导二次函数的图象由对称轴分开,在对称轴的同侧具有相同性质,在顶点处有最大值或最小值;如果自变量的取值中不包含顶点,那么在取最大值或最小值时,要依据其增减性而定.考点

4二次函数与一元二次方程、不等式的关系二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根当b2-4ac>0时,抛物线与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根当b2-4ac<0时,抛物线与x轴无交点,方程ax2+bx+c无实数根二次函数与不等式不等式ax2+bx+c>0的解集⇔函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围不等式ax2+bx+c<0的解集⇔函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围续表数据剖析题型突破2题型

1

二次函数的图象及其性质题型

2二次函数解析式的确定题型

3二次函数与一元二次方程的关系234

1题型

1二次函数的图象及其性质A2.二次函数y=x2-6x+m满足以下条件:当-2<x<-1时,它的图象位于x轴的下方;当8<x<9时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为(

)A.27

B.9

C.-7

D.-16D23413.(2·河北九地市模拟)函数y=x2-2|x|-1的自变量x的取值范围为全体实数,其中x≥0部分的图象如图所示,对于此函数,嘉嘉、琪琪和小亮的说法如下:嘉嘉:函数图象关于y轴对称,函数既有最大值,也有最小值;琪琪:当x<-1时,y随x的增大而减小;小亮:当-2<a<-1时,关于x的方程x2-2|x|-1=a有4个实数根.下列判断正确的是(

)A.嘉嘉和琪琪说的对B.嘉嘉和小亮说的对C.琪琪和小亮说的对D.嘉嘉、琪琪和小亮说的都对C2341

D2341题型

2二次函数解析式的确定231

C2.直线y=x+2经过二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点,该顶点在二次函数y=2x2-3x-4的图象上,并且二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=x+2的图象与y轴的交点,则二次函数y=ax2+bx+c的表达式为

.

由顶点在直线y=x+2上,设二次函数的顶点为(m,m+2),将顶点坐标代入二次函数y=2x2-3x-4得m+2=2m2-3m-4,解得m=3或-1,即可求解.思路分析231拔高追问直线y=x+2经过二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点,该顶点在二次函数y=2x2-3x-4的图象上,并且二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=x+2的图象与x轴的交点,则二次函数y=ax2+bx+c的表达式为

.

2313.如图,已知抛物线y=x2+4x+m-1的顶点P在x轴上,交y轴于点C,直线y=n交抛物线于A,B(点A在点B的左侧)两点.231(1)求抛物线的解析式;解：∵二次函数图象的顶点在x轴上,∴Δ=0,即42-4(m-1)=0,解得m=5,∴抛物线的解析式为y=x2+4x+4.231(2)当n=9时,在抛物线上存在点D,使S△DAB=S△APC,求点D的坐标.

231

231题型

3二次函数与一元二次方程的关系3421.抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1.若关于x的一元二次方程x2+bx+3-t=0(t为实数)在-1<x<4的范围内有实数根,则t的取值范围是(

)A.2≤t<11

B.t≥2C.6<t<11

D.2≤t<6A12.(2·石家庄23中模拟)已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为(

)A.x1=-3,x2=0 B.x1=3,x2=-1C.x1=-3,x2=-1 D.x1=-3,x2=1D3421其他条件不变,求y≥0时,自变量x的取值范围是

.

拔高追问

满分指导抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.这里要注意两点:①抛物线与x轴的交点的横坐标与方程解的联系;②抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称.在已知抛物线的对称轴和其中一个交点的坐标时,根据对称性,可以便捷地求出另一个交点的坐标.-3≤

x≤13421

DA3421（3~2）数据链接真题试做3命题点1二次函数的图象与性质命题点2确定二次函数的解析式命题点3二次函数图象的变换

（10年5考）命题点1二次函数的图象与性质121.核心素养·空间观念(0·河北15题2分)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三人的说法如下.甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是(

)A.乙错,丙对

B.甲和乙都错C.乙对,丙错 D.甲错,丙对C返回命题点导航2.(8·河北16题2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是c=1,乙的结果是c=3或4,则(

)A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确D返回命题点导航12

提分要点本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征以及一元二次方程的根的判别式等知识点,数形结合是解此题的关键.返回命题点导航12（10年3考）3.(4·河北9题3分)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比,设边长为x厘米.当x=3时,y=18,那么当成本为72元时,边长为(

)A.6厘米 B.12厘米C.24厘米 D.36厘米A命题点2确定二次函数的解析式34返回命题点导航返回命题点导航4.核心素养·空间观念

(5·河北25题11分)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.34(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;解：把点B的坐标(2,1)代入y=-(x-h)2+1,得1=-(2-h)2+1.解得h=2.则该函数解析式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3).故抛物线l的对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).返回命题点导航34(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;解：点C的横坐标为0,则yC=-h2+1.当h=0时,yC有最大值1,此时,抛物线l为y=-x2+1,对称轴为y轴,开口方向向下,∴当x≥0时,y随x的增大而减小,∵x1>x2≥0,∴y1<y2.返回命题点导航34(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1:4时,求h的值.解：∵线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1:4,又∵O(0,0),A(-5,0),∴把线段OA被l只分为两部分的点的坐标分别是(-1,0)或(-4,0).把x=-1,y=0代入y=-(x-h)2+1,得0=-(-1-h)2+1,解得h=0或-2.但是当h=-2时,线段OA被抛物线分为三部分,不合题意,舍去.同样,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h=-3(舍去).综上所述,h的值是0或-5.返回命题点导航34

提分要点本题综合考查了二次函数,涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数最值的求法以及点的坐标与图形的性质等知识点,综合性比较强,难度较大.解答(3)题时,注意对h的值根据实际意义进行取舍.返回命题点导航34（10年2考）5.(2·河北23题10分)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧.命题点3二次函数图象的变换56返回命题点导航(1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;解：y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4,∴对称轴为直线x=6.∵-1<0,∴抛物线开口向下,有最大值,即y的最大值为4.把P(a,3)代入y=4-(6-x)2中,得4-(6-a)2=3,解得a=5或a=7,∵点P(a,3)在C的对称轴右侧,∴a=7.返回命题点导航56(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C',平移该胶片,使C'所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9,求点P'移动的最短路程.

返回命题点导航566.(3·河北20题3分)如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1;将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2;将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3;…如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=

.

2返回命题点导航56

提分要点本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c的变换规律,注意旋转时图象的开口大小不变,进而确定a的值;根据旋转的性质,确定图象与x轴的两个交点坐标,得出二次函数图象旋转后解析式是解题关键.返回命题点导航561.(2·黑龙江牡丹江)若二次函数y=ax2的图象经过点P(-2,4),则该图象必经过点(

)A.(2,4)

B.(-2,-4)C.(-4,2) D.(4,-2)A综合模拟练基础全练10987654321

3.(2·内蒙古通辽)在平面直角坐标系中,将二次函数y=(x-1)2+1的图象向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得函数的解析式为(

)A.y=(x-2)2-1 B.y=(x-2)2+3C.y=x2+1

D.y=x2-1DD109876543214.(2·湖北仙桃)二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象经过(

)A.第一、二、三象限

B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限

D.第二、三、四象限D10987654321

D10987654321

C109876543217.(2·广西梧州)如图,已知抛物线y=ax2+bx-2的对称轴是x=-1,直线l∥x轴,且交抛物线于点P(x1,y1),Q(x2,y2),下列结论错误的是(

)A.b2>-8aB.若实数m≠-1,则a-b<am2+bmC.3a-2>0D.当y>-2时,x1·x2<0C109876543218.(2·贵州毕节)在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0;②2a-b=0;③9a+3b+c>0;④b2>4ac;⑤a+c<b.其中正确的有(

)A.1个

B.2个

C.3个

D.4个B10987654321

D1098765432110.(2·吉林)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)经过点A(1,0),点B(0,3).点P在此抛物线上,其横坐标为m.(1)求此抛物线的解析式;(2)当点P在x轴上方时,结合图象,直接写出m的取值范围;(3)若此抛物线在点P左侧部分(包括点P)的最低点的纵坐标为2-m.①求m的值;②以PA为边作等腰直角三角形PAQ,当点Q在此抛物线的对称轴上时,直接写出点Q的坐标.10987654321

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挑战高分1211

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121112.(2·贵州毕节)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为D(2,1),抛物线的对称轴交直线BC于点E.1211(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式;(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为h(h>0),在平移过程中,该抛物线与直线BC始终有交点,求h的最大值;(3)M是(1)中抛物线上一点,N是直线BC上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.1211

1211

1211

121113.(2·四川雅安)抛物线的函数表达式为y=(x-2)2-9,则下列结论中,正确的序号为(

)①当x=2时,y取得最小值-9;②若点(3,y1),(4,y2)在其图象上,则y2>y1;③将其函数图象向左平移3