《初中数学中考复习等腰三角形、直角三角形》课件

第四单元三角形第18讲等腰三角形、直角三角形第四单元三角形数据聚焦考点梳理1数据剖析题型突破2数据链接真题试做3栏目导航

教材链接人教：八上第十三章P75-P84.冀教：八上第十七章P140-P158.北师：八下第一章P2-P21.数据聚焦考点梳理1等腰三角形、直角三角形等腰三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定等腰三角形等边三角形直角三角形的性质与判定勾股定理及其拓展应用等腰直角三角形的性质与判定考点

1等腰三角形的性质与判定定义有两边相等的三角形是等腰三角形,相等的两边叫腰,另一边叫底性质

如图.(1)等腰三角形两腰相等(即AB=AC);(2)等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴;(3)等腰三角形的两个底角①

(即∠B=②

);

(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边上的中线③

(简称三线合一)

判定(1)定义法:有两条边相等的三角形是等腰三角形.(2)等角对等边:有两个角相等的三角形是④

三角形,其中,两个相等的角所对的边⑤

面积计算公式1.等腰三角形相等重合等腰相等∠C2.等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形性质

如图.(1)等边三角形三边相等(即AB=BC=AC);(2)等边三角形的三个内角都相等,且每一个角都等于⑥

;

(3)等边三角形的内心、外心重合;(4)等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形;(2)三个角都相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角是⑦

的等腰三角形是等边三角形

60°60°1.直角三角形的性质与判定考点

2直角三角形的性质与判定定义有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形性质互余一半30°a2+b2=c2判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形;(2)有两个角

的三角形是直角三角形;

(3)如果一个三角形两条边的平方和等于第三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形;(4)如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形为直角三角形面积计算公式互余续表2.等腰直角三角形的性质与判定定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形性质等腰直角三角形的顶角是直角,两底角都为

判定(1)有一个角为90°,且两个直角边相等的三角形是等腰直角三角形(2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形45°考点

3勾股定理及其拓展应用结论图例1.赵爽弦图:S大正方形=S小正方形+4S直角三角形

(直角三角形的三边分别记为a,b,c)结论图例2.毕达哥拉斯拼图:S左图大正方形=S右图大正方形

3.加菲尔德总统拼图:S梯形=2S小直角三角形+S大直角三角形

续表4.勾股定理的拓展应用:分别以直角三角形的三条边为边向外作等边三角形、正方形、半圆,则有S3=S1+S2

结论图例续表数据剖析题型突破2题型

1

等腰三角形的相关计算题型

2

直角三角形的相关计算2341题型

1等腰三角形的相关计算1.(2·石家庄第四十中学一模)如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD=(

)A.40°

B.50°

C.60°

D.70°D23412.(2·廊坊第四中学二模)如图,长为12

cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升8

cm至点D,则橡皮筋拉长了(

)A.5

cm

B.6

cm

C.8

cm

D.10

cmC3.(原创题)

如图,在△ABC中,AB=AC=4,将△ABC绕点B逆时针旋转,使点A旋转至BC边上方的点A'处,点C的对应点为点C',CA的延长线恰好经过点A',则AA'的长为(

)

1234B

拔高追问31思路分析其他条件不变,求BC的长为

.

24

满分指导本题主要考查等腰三角形的性质、旋转的性质和相似三角形的性质和判定.解题的关键是证明∠BAA'=∠BA'A=∠CBA',进而得到△ABA'∽△A'CB.3124314.核心素养·推理能力

把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放,将△ADE绕点A按逆时针方向旋转,如图2,连接BD,EC,设旋转角为α(0°<α<360°).

(1)当DE⊥AC时,AD与BC的位置关系是

,AE与BC的位置关系是

.24垂直平行(2)如图2,当点D在线段BE上时,求∠BEC的度数;(2)解:在等腰直角△ADE中,AD=AE,∠DAE=90°,在等腰直角△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∵∠BAD=∠BAC-∠DAC=90°-∠DAC,∠CAE=∠DAE-∠DAC=90°-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.又∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ADB=∠AEC=180°-∠ADE=135°.

∴∠BEC=∠AEC-45°=135°-45°=90°.

12343124(3)解:如图②③,∵△ABD的外心在边BD上时,△ABD是以BD为斜边的直角三角形,∴旋转角为90°或270°.(3)若△ABD的外心在边BD上,直接写出旋转角α的值.题型

2

直角三角形的相关计算1.如图,点A,B,C在正方形网格格点上,则∠ACB的度数为(

)

231A.30° B.45° C.40° D.60°B12.(2·廊坊一模)已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形,∠AOB=∠MON=90°.(1)如图1,连接AM,BN,求证:△AOM和△BON全等;23证明:(1)∵∠AOB=∠MON=90°,∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON,即∠AOM=∠BON.∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,∴OA=OB,OM=ON,∴△AOM≌△BON(SAS).(2)如图2,连接AM,∵∠AOB=∠MON=90°,∴∠AOB-∠AON=∠MON-∠AON,即∠AOM=∠BON.∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形,∴OA=OB,OM=ON,∴△AOM≌△BON(SAS).∴∠MAO=∠NBO=45°,AM=BN.

∴∠MAN=90°.∴AM2+AN2=MN2.∵△MON是等腰直角三角形,∴MN2=2ON2.∴BN2+AN2=2ON2.123(2)如图2,将△MON绕点O顺时针旋转,当点N恰好在边AB上时,求证:BN2+AN2=2ON2.3.(2·石家庄第二十八中一模)如图①,在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°,点D,E分别在边AC,BC上,且AC=BC=4,DC=EC.将△DEC绕点C逆时针旋转,设旋转角为α(0°<α<180°).(1)如图②,在△DEC绕点C旋转的过程中,求证:BE=AD;123

123

(2)如图②,若点N是AB的中点,在△DEC绕点C旋转的过程中,连接AD,并延长交BE于M,连接MN,MN的长度是否是定值?若是,请求出MN的长;若不是,请说明理由.Q123

（3~2）数据链接真题试做3命题点2等边三角形的性质与判定命题点3直角三角形的性质与判定命题点1等腰三角形的性质与判定（10年8考）命题点1等腰三角形的性质与判定121.核心素养·空间观念

(7·河北10题3分)如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域,甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是(

)A.北偏东55°

B.北偏西55°C.北偏东35°D.北偏西35°D122.(3·河北8题3分)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(

)A.40海里 B.60海里C.70海里 D.80海里D12

提分要点根据方向角的定义即可求得∠M=70°,∠N=40°,则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数,证明三角形MNP是等腰三角形,即可求解.（10年3考）命题点2等边三角形的性质与判定33.(6·河北16题2分)如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有(

)A.1个 B.2个C.3个 D.3个以上D

提分要点在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°,只要证明△PEM≌△PON即可推出△PMN是等边三角形,由此即可得出结论.3（10年7考）命题点3直角三角形的性质与判定44.核心素养·推理能力(0·河北16题2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案,使所围成的三角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是(

)A.1,4,5 B.2,3,5C.3,4,5 D.2,2,4B1.(2·四川自贡)等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°,则这个底角的度数是(

)A.30°

B.40°

C.50°

D.60°B综合模拟练基础全练76543218910

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121415132.(2·广西梧州)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是(

)A.∠ADC=90° B.DE=DFB.AD=BC

D.BD=CDC76543218910

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121415133.若一个等腰三角形的周长为32,则该等腰三角形的腰长x的取值范围是(

)A.0<x<32

B.0<x<16C.8<x<16

D.8<x<32C76543218910

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C76543218910

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121415135.(2·黑龙江大庆)下列说法不正确的是(

)A.有两个角是锐角的三角形是直角或钝角三角形B.有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形C.有两个角互余的三角形是直角三角形D.底和腰相等的等腰三角形是等边三角形A76543218910

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121415136.(2·湖北孝感)如图,△ABC中,D点在AB上,E点在BC上,DE为AB的垂直平分线.若∠B=∠C,且∠EAC>90°,则根据图中标示的角,判断下列叙述何者正确?(

)A.∠1=∠2,∠1<∠3 B.∠1=∠2,∠1>∠3C.∠1≠∠2,∠1<∠3 D.∠1≠∠2,∠1>∠3B76543218910

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B76543218910

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D76543218910

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B76543218910

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1214151310.(2·江苏宿迁)如图,每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上,点C也是图中小方格的顶点,并且△ABC是等腰三角形,那么点C的个数为(

)A.1

B.2

C.3

D.4C76543218910

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1214151311.(2·浙江台州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E,F分别为AB,BC,CA的中点.若EF的长为10,则CD的长为_______.

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1214151312.(2·浙江嘉兴)小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图,请帮他在括号内填上一个适当的条件__________.

∠B=60°

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1214151313.(2·广西梧州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是AB,

AC边上的中点,连接CD,DE.如果AB=5m,BC=3m,那么CD+DE的长是_______m.

476543218910

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1214151315.如图,将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△ADE,点D

与点C对应,点E与点B对应,若AC=6,则图中阴影部分的面积为________.

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1214151316.(2·黑龙江龙东)如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC与BC相交于点D,点E是AB的中点,点F是DC的中点,连接EF交AD于点P.若△ABC的面积是24,PD=1.5,则PE的长是(

)A.2.5

B.2

C.3.5

D.3A挑战高分181916172017.(2·辽宁抚顺)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,点P为斜边AB上的一个动点(点P不与点A,B重合),过点P作PD⊥AC,PE⊥BC,垂足分别为点D和点E,连接DE,PC交于点Q,连接AQ,当△APQ为直角三角形时,AP的长是_________.

181916172018.如图,已知OA=13,点A到射线OM的距离为5,点B是射线OM上的一个动点,当△AOB为等腰三角形时,线段OB的长度为____________.

181916172019.(2·湖南永州)如图,在等腰三角形ABC中,AB=BC=5,AC=6,AD平分∠CAB,若点E和点F分别是AD和AB上的动点,则BE+EF的最小值为_______.

41819161720

181916172021.如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A,B分别在第一、四象限,且AB⊥x轴,若AB=6,OA=OB=5,则点A的坐标是(

)A.(5,4) B.(3,4)

C.(5,3) D.(4,3)D中考创新练25262324222122.已知△ABC是等腰三角形