2020-2021学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期中数学试卷-带答案详解

2020-2021学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．2．（4分）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件 B．体育彩票的中奖率为，则买100张彩票必有10张中奖 C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品 D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为3．（4分）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是A． B． C． D．4．（4分）把函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为A． B． C． D．5．（4分）如图，是正内的一点，若将绕点旋转到△，则的度数是A． B． C． D．6．（4分）已知，，是抛物线上的点，则A． B． C． D．7．（4分）圆内接四边形的四个内角的度数之比可能是A． B． C． D．8．（4分）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是A． B． C． D．9．（4分）如图，将边长为6的正六边形铁丝框（面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为，则与的关系为A． B． C． D．10．（4分）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为A．米 B．米 C．米 D．7米二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）从，，1，2，5中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为．12．（5分）已知的半径为5，点到圆心的距离是4，则点与的位置关系是．13．（5分）若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是．14．（5分）一条弦所对的圆心角的度数为，这条弦所对的圆周角的度数为．15．（5分）二次函数（其中，下列命题：①该函数图象过；②该函数图象顶点在第三象限；③当时，随着的增大而增大；④若当时，都有随着的增大而减小，则．正确的序号是．16．（5分）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是．三、简答题（本大题有8小题，共80分）17．城市小区生活垃圾分为干垃圾、湿垃圾、有害垃圾和可回收垃圾四种不同的类型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是．（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，利用树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．18．如图，内接于，设，请用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图①中画一个度数是的圆心角；（2）在图②中作出的余角．19．已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当时，的取值范围．20．已知：如图，在中，，与相交于点，（1）求证：；（2）求证：．21．如图，，，是上三点，其中，过点画于点．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．22．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元千克）与时间（天之间的函数关系为，日销售量（千克）与时间（天之间的函数关系如图所示．（1）求日销售量与时间的函数表达式．（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？23．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形中，若，，则称四边形为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：（1）矩形奇妙四边形（填“是”或“不是”；（2）如图2，已知的内接四边形是奇妙四边形，若的半径为8，．求奇妙四边形的面积；（3）如图3，已知的内四边形是奇妙四边形，作于．请猜测与的数量关系，并证明你的结论．24．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，点与点关于轴对称，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点．（1）求点、点、点的坐标；（2）求直线的解析式；（3）当点在线段上运动时，直线交于点，试探究为何值时，四边形是平行四边形；（4）在点的运动过程中，是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年浙江省宁波市镇海区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分）1．（4分）抛物线的顶点坐标是A． B． C． D．【分析】根据抛物线，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：抛物线，该抛物线的顶点坐标为，故选：．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．（4分）下列关于事件发生可能性的表述，正确的是A．事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是随机事件 B．体育彩票的中奖率为，则买100张彩票必有10张中奖 C．在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品 D．掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为【分析】根据随机事件和必然事件对进行判断；根据概率的意义对进行判断；根据频率估计概率对进行判断；根据概率公式对进行判断．【解答】解：、事件：“在地面，向上抛石子后落在地上”，该事件是必然事件，此选项错误；、体育彩票的中奖率为，则买100张彩票大约有10张中奖，此选项错误；、在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，则这批产品中大约有500件左右的次品，此选项正确；、掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为，此选项错误；故选：．【点评】本题考查了概率的意义：概率是对随机事件发生的可能性的度量．表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．也考查了全面调查和抽样调查、随即事件以及概率公式．3．（4分）如图，，，为圆上的三点，，点可能是圆心的是A． B． C． D．【分析】利用圆周角定理对各选项进行判断．【解答】解：，若点圆心，．故选：．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．4．（4分）把函数图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为A． B． C． D．【分析】先求出的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：二次函数的图象的顶点坐标为，向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为，所得的图象解析式为．故选：．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，求出平移后的函数图象的顶点坐标直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．5．（4分）如图，是正内的一点，若将绕点旋转到△，则的度数是A． B． C． D．【分析】根据旋转的性质可得：△，故，即可求解．【解答】解：，，，．故选：．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．6．（4分）已知，，是抛物线上的点，则A． B． C． D．【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．【解答】解：抛物线的对称轴为直线，，时，函数值最大，又到的距离比1到的距离小，．故选：．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．7．（4分）圆内接四边形的四个内角的度数之比可能是A． B． C． D．【分析】由四边形是圆内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，可得，继而求得答案．【解答】解：四边形是圆内接四边形，．圆内接四边形的四个内角的度数之比可能是：．故选：．【点评】此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意圆的内接四边形的对角互补定理的应用是解此题的关键．8．（4分）已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是A． B． C． D．【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案．【解答】解：设直线的解析式为，，解得，，当时，；当时，；当时，；点在直线上，该三点不能构成圆．故选：．【点评】考查了确定圆的条件及坐标与图形性质，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．9．（4分）如图，将边长为6的正六边形铁丝框（面积记为变形为以点为圆心，为半径的扇形（面积记为，则与的关系为A． B． C． D．【分析】由正六边形的性质的长的长，根据扇形面积公式弧长半径，可得结果．【解答】解：由题意：的长度，，，，故选：．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、扇形面积公式；熟练掌握正六边形的性质，求出弧长是解决问题的关键．10．（4分）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为A．米 B．米 C．米 D．7米【分析】根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为的小孔所在抛物线的解析式，将代入可求解．【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得，，，，设大孔所在抛物线解析式为，，点，，，大孔所在抛物线解析式为，设点，则设顶点为的小孔所在抛物线的解析式为，，点的横坐标为，点坐标为，，，，，，顶点为的小孔所在抛物线的解析式为，大孔水面宽度为20米，当时，，，，，单个小孔的水面宽度（米，故选：．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）从，，1，2，5中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为．【分析】使抛物线的开口向上的条件是，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．【解答】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线的开口向上的有3种结果，使抛物线的开口向上的概率为，故答案为：．【点评】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．12．（5分）已知的半径为5，点到圆心的距离是4，则点与的位置关系是点在内．【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．【解答】解：的半径为5，点到圆心的距离为4，点到圆心的距离小于圆的半径，点在内．故答案为：点在内【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为，点到圆心的距离，则有：点在圆外；点在圆上；点在圆内．13．（5分）若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是．【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，可知判别式△，列出不等式并解之即可求出的取值范围．【解答】解：二次函数的图象与轴有两个交点，△，解得：，故答案为：．【点评】本题考查二次函数的判别式、解一元一次不等式，熟记二次函数的图象与判别式的三种对应关系并熟练运用是解答的关键．14．（5分）一条弦所对的圆心角的度数为，这条弦所对的圆周角的度数为或．【分析】根据同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角一半先计算劣弧所对的圆周角，由于每条弦所对两条弧，再根据这两条弧所对的圆周角互补求解即可．【解答】解：如图，，则，四边形是的内接四边形，，故答案为：或．【点评】本题利用了圆周角定理和圆内接四边形的性质求解，注意弦所对的圆周角有两种情况．15．（5分）二次函数（其中，下列命题：①该函数图象过；②该函数图象顶点在第三象限；③当时，随着的增大而增大；④若当时，都有随着的增大而减小，则．正确的序号是①④．【分析】先把二次函数化简为一般式，求得对称轴与△，再根据二次函数的性质进行判断即可．【解答】解：，当时，，该函数图象过；故①正确；，对称轴为，该函数图象顶点不在第三象限，故②错误；当时，随的增大而增大，故③错误；、当时，随的增大而减小，即，此选项正确；故答案为：①④．【点评】此题考查二次函数的性质，掌握对称轴的求法，抛物线与轴的交点坐标判定，二次函数的增减性是解决问题的关键．16．（5分）如图，为的直径，且，点为上半圆的一点，于点，的角平分线交于点，弦，那么的面积是21．【分析】连接，作于，利用角平分线定义、直径所对的圆周角为直角与余角的性质推得为，然后由等腰直角三角形的性质求出和的长，再利用垂径定理得出，于是由等腰直角三角形的性质求出的长度，则由勾股定理可求的长度，进而求出的长，现知的底和高，则其面积可求．【解答】解：如图，连接，，过点作于，为直径，，，，，，，，，平分，，，，，，，，，，，，，的面积．故答案为：21．【点评】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握圆周角定理、勾股定理、三角形面积公式并作出合理的辅助线是解题的关键．三、简答题（本大题有8小题，共80分）17．城市小区生活垃圾分为干垃圾、湿垃圾、有害垃圾和可回收垃圾四种不同的类型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是．（2）甲、乙分别投放了一袋垃圾，利用树状图或列表求恰好是同一类型垃圾的概率．【分析】（1）由于共有4种类型的垃圾，其中有1种是湿垃圾，按照概率计算方法求概率即可；（2）按题意列出树状图，由图可知共有16种可能的情况，其中甲、乙两人投放同一类垃圾的4种情况，最后求概率即可．【解答】解：（1）共有4种类型的垃圾，其中有1种是湿垃圾，甲投放了一袋垃圾，恰好是湿垃圾的概率是．故答案为：．（2）记这四类垃圾为，，，，所以投放同一类垃圾的概率．【点评】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．18．如图，内接于，设，请用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图①中画一个度数是的圆心角；（2）在图②中作出的余角．【分析】（1）根据同弧所对的圆心角等于其所对的圆周角的2倍，分别连接、，可得；（2）根据直径所对的圆周角是直角，为此，构造一个直角，连接，延长交圆于连接，则，是的余角，也是的余角．【解答】解：（1）如图①，为所作；（2）如图②，为所作．【点评】本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了圆周角定理．19．已知二次函数的图象经过点和点，且有最小值为．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当时，的取值范围．【分析】由题意得：函数的对称轴为，此时，则函数的表达式为：，即可求解．【解答】解：（1）由题意得：函数的对称轴为，此时，则函数的表达式为：，把点坐标代入上式，解得：，则函数的表达式为：（2），函数开口向上，对称轴为：；（3）当时，的取值范围为：或．【点评】本题考查的是二次函数基本性质，函数的开口方向、对称轴、的取值范围都是函数的基本属性，是一道基本题．20．已知：如图，在中，，与相交于点，（1）求证：；（2）求证：．【分析】（1）由在中，，根据弦与弧的关系，可证得，继而可证得；（2）首先连接，，易证得，继而证得．【解答】证明：（1）在中，，，，；（2）连接，，，，在和中，，，．【点评】此题考查了弦与弧的关系、圆周角定理以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．21．如图，，，是上三点，其中，过点画于点．（1）求证：；（2）若，，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）如图，延长交于，根据垂径定理得到，，求得，于是得到结论；（2）如图，连接，设的半径为，根据勾股定理列方程得到，根据三角函数的定义得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）如图，延长交于，，，，，，，；（2）如图，连接，设的半径为，，，，在中，，解得：，，，阴影部分的面积．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，扇形的面积，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．22．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价（元千克）与时间（天之间的函数关系为，日销售量（千克）与时间（天之间的函数关系如图所示．（1）求日销售量与时间的函数表达式．（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）设日销售量与时间的函数解析式为，将、代入，得二元一次方程组，解得和的值，再代入即可；（2）设日销售利润为，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得，分两种情况讨论：①当时，②当时．【解答】解：（1）设日销售量与时间的函数解析式为，将、代入，得：，解得：，日销售量与时间的函数表达式为，为整数）；（2）设日销售利润为元，则，①当时，，，当时，有最大值，最大值为2450元；②当时，，，当时，随的增大而减小，当时，有最大值，最大值，第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题关键是根据等量关系写出函数解析式．23．若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为奇妙四边形．如图1，四边形中，若，，则称四边形为奇妙四边形．根据奇妙四边形对角线互相垂直的特征可得奇妙四边形的一个重要性质：奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：（1）矩形不是奇妙四边形（填“是”或“不是”；（2）如图2，已知的内接四边形是奇妙四边形，若的半径为8，．求奇妙四边形的面积；（3）如图3，已知的内四边形是奇妙四边形，作于．请猜测与的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据矩形的对角线的性质判断即可．（2）如图2中，连接、，作于，则．解直角三角形求出，再根据奇妙四边形的面积等于两条对角线乘积的一半计算即可．（3）结论：．如图3中，连接、、、，作于．证明即可解决问题．【解答】解：（1）矩形的