分层随机抽样+获取数据的途径+2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.1随机抽样

9.1.2分层随机抽样9.1.3获取数据的途径第九章统计人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

分层随机抽样1

分层随机抽样的必要性

抽样调查最核心的问题是样本的代表性.简单随机抽样是使总体中每一个个体都有相等的机会被抽中，但因为抽样的随机性，有可能会出现比较“极端”的样本，从而使得对总体的估计出现较大误差，这时候我们可以考虑采取一种新的抽样方法——分层随机抽样.典例佐证

比如，要调查某校高一年级50位学生的身高，可能出现在样本中的50个个体大部分都是男生，众所周知，男生的身高普遍高于女生的身高，这样得出的样本平均数会大幅度地偏离总体平均数.因此需要采用分层随机抽样的方法进行调查.2

分层随机抽样的概念

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.3

比例分配

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.4

比例分配的分层随机抽样的步骤特别提醒

（1）比例分配的分层随机抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大.（2）所有层都按同一抽样比等可能抽取，以保证每个个体被等可能抽取.因此，比例分配的分层抽样也是等可能抽样.（3）根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整.比如，如果计算出的层内抽样数不是整数，可以进行一定的技术处理，将结果取成整数等.#1.35

比例分配的分层随机抽样的特点

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.辨析比较简单随机抽样与比例分配的分层随机抽样的辨析抽样方法共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽到的机会均等.从总体中完全随机抽取.比例分配的分层随机抽样在各层抽样时可采用简单随机抽样.样本容量较小.比例分配的分层随机抽样将总体分成互不交叉的层，分层进行抽取.总体由差异明显的几部分组成.学思用·典例详解

分层随机抽样【解析】不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同，因此应该按照年龄进行分层随机抽样.

例1-3

为了保证采用比例分配的分层随机抽样方法时每个个体被等可能地抽取，必须要求(

)C

【解析】A中，每层的个体数不一定都一样多，A不正确；B中，由于每层的个体数不一定相等，故各层被抽取的个体数也不一定相等，B不正确；显然C正确，D不正确.

武术组书画组乐器组高一4530高二151020

30

知识点2

分层随机抽样的平均数计算1

总体平均数和样本平均数的计算

2

用样本平均数估计总体平均数

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..

.学思用·典例详解例2-5

在考察某高中的学生身高时，如果采用比例分配的分层随机抽样的方法，得到了男生身高的平均数为172，女生身高的平均数为162.如果知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，怎样估计总体平均数较为合理?

【想一想丨知识延伸】

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.知识点3

获取数据的途径统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的，因此收集数据是统计学研究的重要内容.1

通过调查获取数据

对于有限总体问题，如人口总数、城乡就业状况、青少年受教育状况、高中生日平均上网时间等问题，我们一般通过抽样调查或普查的方法获取数据.2

通过试验获取数据

没有现存的数据可以查询时，就需要通过对比试验的方法去获取样本观测数据.通过试验获取数据时，我们需要严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量，为获得好的分析结果奠定基础.3

通过观察获取数据

自然现象会随着时间的变化而变化,不能用我们已经学过的有限总体来刻画,也就不能用抽样的方法获取观测数据;另一方面，由于自然现象不能被人为控制,也不能通过试验获取观测数据.研究这类现象只能通过长久的持续观察获取数据.4

通过查询获得数据

现代社会中，借助互联网获得数据是一种便捷的途径.但要注意数据的真实性、有效性,要从权威的网站获取数据,比如国家统计局的网站.也可以通过正式出版的统计报表和年鉴获得权威的统计数据.学思用·典例详解例3-6

统计学通过收集数据和分析数据来认识未知现象，在实践中获取数据的途径多种多样，下面四项研究适合通过调查获得数据的为____，适合通过试验获得数据的为____，适合通过观察获得数据的为____，适合通过查询获得数据的为____.①新品种杂交水稻是否具有更高的产量；②去年全国居民消费价格指数；③高中生的平均睡眠时间；④某行星的运动轨迹．③①④②【解析】对于①，新品种水稻的产量没有现存的数据可以查询，需要通过对比试验的方法获取数据；对于②，去年全国居民消费价格指数可以通过查询国家统计局网站获得数据，降低收集数据的成本；对于③，高中生群体属于有限群体，一般采用抽样调查或普查的方法获得数据；对于④，行星的运动轨迹属于自然现象，不能人为控制，也不能通过试验获取数据，只能通过长期的观察获取数据.题型解析03题型1

合理选取抽样方法获取样本例7

现要完成下列3项抽样调查.①我校共有320名教职工，其中教师270名，行政人员20名，后勤人员30名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为32的样本.②某公司决定从公司内的800名员工中抽取25名调查他们对目前工作的满意程度.③从高二年级24个班级中抽取3个班进行卫生检查．①②③应选用的较为合理的抽样方法分别是什么？【解析】在①中，三个不同层次的人员差异明显，应该用分层随机抽样；在②中，应该采用简单随机抽样中的随机数法；在③中，抽查数量较少，应该用简单随机抽样中的抽签法．抽样的基本方法的选取原则1.看总体是否由差异明显的几部分组成.若是，则选用分层随机抽样；否则，考虑用简单随机抽样.2.看总体容量和样本容量的大小.当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时，采用随机数法.【学会了吗丨变式题】1.(2025·江西省丰城中学月考)某地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男、女生视力情况差异不大，为了解该地区中小学生的视力情况，最合理的抽样方法是(

)CA.抽签法

B.按性别分层随机抽样C.按学段分层随机抽样

D.随机数法【解析】因为男、女生视力情况差异不大，而不同学段的视力情况有较大差异，（分层抽样的各层差异较大）所以应按学段分层随机抽样．.

.题型2

比例分配的分层随机抽样的方案设计例8

在100个产品中，有一等品20个，二等品30个，三等品50个，现要抽取一个容量为30的样本，请说明抽样过程.【解析】第一步：分层先将产品按等级分成三层：第一层，一等品20个；第二层，二等品30个；第三层，三等品50个.

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很喜爱喜爱一般不喜爱2

4354

5673

9261

072电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中按比例再抽取60人进行更为详细的调查，应怎样进行抽样？

名师点评

本题中，各层以同一抽样比抽取的个体数不是整数，根据实际情况，需对人数进行调整.

题型3

比例分配的分层随机抽样中的相关运算例10

某单位共有老、中、青职工440人,其中有老年职工80人,青年职工人数是中年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况,现采用比例分配的分层随机抽样的方法进行调查,在抽取的样本中有老年职工20人,则该样本中的中年职工人数为____.30

例11

(2025·江苏省镇江市实验高级中学调研)某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团.已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：社团高一年级高二年级高三年级泥塑剪纸

6【解析】

第一步：求出总体中“剪纸”社团的人数

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第一步：根据抽样比求出样本中“剪纸”社团的人数

【学会了吗丨变式题】

60

1

800

题型4

比例分配的分层随机抽样的平均数计算图9.1.2-1例12

(2025·福建省三明第一中学月考)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂的产量分布如图9.1.2-1所示.现在用比例分配的分层随机抽样方法从三个分厂生产的产品中共抽取100件进行使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为____；测试结果为第一、二、三分厂取出的产品的平均使用寿命分

【学会了吗丨变式题】

1

670

知识测评04建议时间：20分钟1.以下获取的数据不是通过查询获取的是(

)C

【解析】A，B，D都是通过查询获取的数据，C是通过调查获取的数据．故选C.

CA.15

B.16

C.17

D.18

3.新情境

九章算术

我国古代数学名著《九章算术》有一数学抽样问题,大致为今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人.若用比例分配的分层随机抽样的方法抽取服役人员，则北乡应抽取(

)BA.104人

B.108人

C.112人

D.120人

4.［多选题］某学生社团有男生32名，女生24名，从中随机抽取一个容量为7的样本，某次抽样结果为抽到3名男生和4名女生，则下列说法正确的是(

)ABA.这次抽样可能采用的是抽签法B.这次抽样不可能是按性别比例分配的分层随机抽样C.这次抽样中，每名男生被抽到的概率一定小于每名女生被抽到的概率D.这次抽样中，每名男生被抽到的概率不可能等于每名女生被抽到的概率

BD

6.某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.95

7.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.已知该地区野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系，为调查该地区某种野生动物的数量，现需进行抽样调查，将该地区分成面积相近的200个地块，从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.【答案】比例分配的分层随机抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层随机抽样.理由如下：由题知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积大致成正比例关系.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用比例分配的分层随机抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.高考模拟05建议时间：20分钟

C

①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270．则不可能为分层抽样的是(

)DA.①

B.②

C.③

D.④

BC

分层随机抽样

产品类型产品数量/件1

300样本容量130