古典概型、概率的基本性质-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

10.1随机事件与概率

10.1.3古典概型10.1.4概率的基本性质第十章概率人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

古典概型1

事件的概率

2

古典概型的定义

我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．

（1）有限性：样本空间的样本点只有有限个；

（2）等可能性：每个样本点发生的可能性相等．知识剖析古典概型的判断依据

一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征:有限性和等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.

（同时满足，缺一不可）

下列三类试验都不是古典概型：（1）样本点个数有限,但非等可能；（2）样本点个数无限，但等可能；（3）样本点个数无限，也不等可能..

..

.学思用·典例详解例1-1

一个不透明的袋子中有大小相同的3个白球，2个红球，2个黄球，每个球都有一个区别于其他球的编号，从中随机摸出1个球.（1）观察摸出的球的编号，则该试验是古典概型试验吗？【解析】因为共有7个球，每个球的编号不同，所以试验的样本空间的样本点有7个，满足有限性；从中随机摸出1个球，满足等可能性.所以该试验是古典概型试验.（2）观察摸出的球的颜色，则该试验是古典概型试验吗？【解析】袋子中的球共有3种颜色，所以试验的样本空间中的样本点有3个，满足有限性；但3种颜色的球的个数不等，所以“取出白球”“取出红球”“取出黄球”的可能性不同，不满足等可能性.所以该试验不是古典概型试验.知识点2

古典概型的概率计算公式1

古典概型的概率计算公式

.

..

.2

求解古典概型问题的一般思路

例2-2

［教材改编P237例7］一般地，多项选择题有四个选项，其中有两个或三个选项正确，其赋分规则是：选对部分正确选项得部分分，选对全部正确选项得满分6分，有错误选项得0分.某道多项选择题有三个正确选项，答题时只能选一个、两个或三个选项.小明随机作答，则他得0分的概率为(

)D

知识点3

概率的基本性质性质1性质2性质3互斥事件的概率加法公式.性质4当一个事件的概率不易求解时，可通过求解对立事件的概率间接求解（正难则反思想）.性质5概率的单调性.性质6

续表

ABC图10.1.3-1

题型解析03题型1

古典概型概率的求解1

抛掷硬币中的古典概型问题例4

[教材改编P236思考（2）]任意抛掷一枚质地均匀的硬币三次.（1）写出该试验的样本空间.

（2）出现“两次正面朝上,一次反面朝上”的概率是多少?

.

.（3）若至少有两次反面朝上，则小刚获胜,否则小华获胜．那么这个游戏公平吗？为什么？

2

抛掷骰子中的古典概型问题

图10.1.3-3

图10.1.3-4

.

.3

抽取中的古典概型问题母题

致经典·母题探究“有放回抽取”“无放回抽取”和“一次性批量抽取”的概率1.“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是特别经典的题型，解题时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”.“有放回”是指每次抽取之后，都把抽取的个体放回原处，这样每次抽取时，被抽取的个体的总数是一样的；“无放回”是指在每一次抽取后，并不放回原处，这样，每次抽取时，后一次被抽取的个体总数较前一次被抽取的个体总数少.#1.1.

..

..

..

.2.“有放回抽取”和“无放回抽取”的区别在于，同个个体“有放回抽取”可能被抽到多次，而“无放回抽取”最多被抽到一次.因此，“有放回抽取”的样本空间包含的样本点的个数比“无放回抽取”的样本空间包含的样本点个数多.3.“一次性批量抽取”与“逐个不放回抽取”是等价的，其试验结果既可以视为有序的，也可以视为无序的，不同情形下样本点的个数是不一样的，但最终所求的概率相同.而“有放回抽取”的结果只能视为有序的.#1.3例6

(2025·江苏省南通市质检)口袋内有红、白、黄大小质地完全相同的三个小球，求：（1）从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；

.

..

.（2）从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率.教材深挖本处是经典的抽取问题，也是对教材第238页[例9]的深挖，

子题子题1

口袋内有红、白、黄大小质地完全相同的三个小球，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率.

.

..

.子题2

口袋内有红、白、黄大小质地完全相同的三个小球，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率.

【学会了吗丨变式题】1.(2025·北京市大兴区期末)盒中有3个灯泡,其中2个是合格品，1个是次品.

（1）从中取出1个灯泡，然后放回，再取出1个灯泡，求连续两次取出的都是合格品的概率;【答案】画出树状图如图D

10.1.3-1所示.图D

10.1.3-1

（2）从中一次任取2个灯泡，求2个灯泡都是合格品的概率.

4

数字选取的古典概型问题

A

.

.图10.1.3-5

名师点评

本题既不是“有放回抽取”问题，也不是“无放回抽取”问题，因此要视具体问题的特点，写出相应的样本空间，本题中要注意数字的选取及顺序问题，特别是数字的选取是否允许重复，这关系到样本点的个数.5

排队（排座）中的古典概型问题

（1）求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；

（2）求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；

（3）求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率.

.

..

.

由图可知，所有的等可能样本点共有24个.题后思考

如果这四人中至少有2人坐在自己的席位上，那么该如何求解概率呢？

.

.【学会了吗丨变式题】2.甲、乙、丙、丁四位同学的座位要进行调整，且四位同学的座位就在他们四人之间随机调整（每人不能坐回自己的原位），则调整座位之后，甲和乙的座位恰好交换的概率为__.

【解析】四位同学的所有换位情况如图D

10.1.3-2所示：图D

10.1.3-2

题型2

概率的基本性质的应用1

互斥事件的概率

ACD

.

.

.

.运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要确定事件彼此互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个彼此互斥的事件.解题的一般步骤为：（1）确定各事件彼此互斥；（2）求各事件分别发生的概率，再求其和.2

对立事件的概率例11

［教材改编P247

T12］若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为(

)D

【解析】由题意知，从五位大学毕业生中录用三人，所有不同的可能结果有（甲，乙，丙）,（甲，乙，丁）,（甲，乙，戊）,（甲，丙，丁）,（甲，丙，戊）,（甲，丁，戊）,

（乙，丙，丁）,（乙，丙，戊）,（乙，丁，戊）,

（丙，丁，戊），共10种.

【学会了吗丨变式题】

（1）射中10环或9环的概率；

（2）至少射中7环的概率．

3

复杂事件的概率

ABD

.

.

【学会了吗丨变式题】

A

题型3

古典概型与其他知识的综合1

与统计的综合图10.1.3-7

（ⅰ）你认为6个名额应该怎么分配？并说明理由；

【学会了吗丨变式题】图10.1.3-85.(2025·河南省封丘县第一中学开学考试)某市组织了多个小分队走进社区，走进群众，开展主题为“全民反诈在行动”的宣传活动.为了让宣传更加全面有效，某个分队随机选择了200位市民进行宣传，这些市民年龄的样本数据的频率分布直方图如图10.1.3-8所示.（1）请估计这200位市民的平均年龄（同组数据用该组区间中点值代替）；【答案】由频率分布直方图可得这200位市民的平均年龄约为

2

与函数、方程、不等式的综合

C

123123

古典概型与函数、方程、不等式的综合问题的解题思路关于函数、方程、不等式与概率的综合问题，考查的是如何计算要求的事件所包含的样本点个数，通常需要将函数、方程与不等式的知识应用其中.解决此类问题，只需要利用函数、方程、不等式知识确定样本点的个数，最后利用古典概型的概率计算公式计算即可.【学会了吗丨变式题】

【解析】从1,3,5,7中随机取出2个不同的数，所有可能的结果如图D

10.1.3-3所示，图D

10.1.3-3

新考法

数学建模建立概率模型（古典概型）一般来说，在建立概率模型（古典概型）时，把什么看作一个样本点（即一个试验结果）是人为规定的.对于同一随机试验，可以根据需要建立满足我们要求的概率模型.一方面，对于同一个实际问题，有时可以建立不同的模型来解决，即一题多解，在多解中，再寻求较为简捷的解法；另一方面，又可以用同一种模型去解决很多不同的问题，即多题一“解”.从不同的角度把握实际问题，将其转化为不同的古典概型来解决，这是我们进行概率计算的重要思想.概率模型的所有可能结果数越少，问题的解决就变得越简单,但并不是概率模型中的任何事件的概率都可以在转化后求得.有些概率模型的样本点数目庞大，不易或者根本无法一一列举，我们可以转化思维的角度，构建新的概率模型，使试验中可能的情况变少，从而易于计算.因此在建立古典概型时,需注意：（1）要尽可能使所有可能出现的结果较少，以便使问题的解决更加简单；（2）要求后面所研究的事件都能轻易地由若干个样本点表示出来.下面通过一道例题进一步体会.例17

从1，2，3，4，5，6中任取两个不同的数字组成一个两位数，则组成的两位数大于50的概率为_

_.

【解析】

样本空间共包含30个样本点（不再详细展示）.

由于50的个位数字是0，而组成的两位数个位上的数字一定大于0，因此大于50的两位数只要十位上的数字不小于5即可.所有的样本点（十位上的数字的所有可能情况）是1，2,3，4,5，6，共6个.

.

.考情揭秘古典概型在高考试题中经常出现，大多以简单实际生活为背景，通过理解题意，建立古典概率模型，正确列举样本点即可求解.概率的基本性质与古典概型的综合是高考考查的重点，需要熟练掌握互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率加法公式，并能够灵活运用.核心素养：数学建模（建立古典概型）、数学运算（概率的求解）、逻辑推理（互斥事件、对立事件的辨析及其对应公式的应用）.考向1

利用概率的基本性质求概率

C

考向2

古典概型概率的直接求解例19

(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(

)D

例20

(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(

)A

乙甲

考向3

古典概型与其他知识的综合例21

(2022·新高考全国Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(

)D

高考新题型专练1.[多选题](2025·江苏省南通市质检)以下对各事件发生的概率判断正确的是(

)ABC

图

D

10.1.3-4对于D，画出树状图如图D

10.1.3-4，

2.[多选题](2025·甘肃省酒泉市期末)一个袋子中装有3件合格品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是(

)ACD

知识测评04建议时间：25分钟1.[教材改编P237例8]抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和能被3整除的概率为(

)D

C

816357492C

D

5.(2025·四川省绵阳中学月考)将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为(

)CA.0.3

B.0.5

C.0.6

D.0.8

AC

7.［教材改编P246

T7］有5张卡片，上面分别标有数字1,2,3,4,5.（1）从中不放回地抽取2张，卡片上数字全是奇数的概率为_

__；

（2）从中有放回地抽取2张，则卡片上的数字全是偶数的概率为_

__．

（2）若从中随机