余弦定理、正弦定理+2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4平面向量的应用

6.4.3余弦定理、正弦定理第六章平面向量及其应用人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

余弦定理文字表述三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.（【作用】已知两边及其夹角求出第三边）公式表述推论

.

..

..

.学思用·典例详解

B

A

.

.知识点2

正弦定理1

正弦定理的表示

.

.1

正弦定理的常见变形

.

..

.

.

..

..

..

..

.

A

B

D

.

.

A

.

.知识点3

解三角形1

解三角形的概念

2

余弦定理在解三角形中的应用

.

..

.3

正弦定理在解三角形中的应用

.

..

.4

解三角形时的隐含条件

.

.

C

.

.

B

知识点4

测量问题1

测量距离问题的基本类型和解决方案

类型简图计算方法类型简图计算方法

续表2

测量高度问题的基本类型和解决方案

类型简图计算方法底部可达底部不可达类型简图计算方法底部不可达续表3

测量角度问题

测量角度问题主要涉及海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.

解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可.#1.1知识回顾涉及的有关术语

#1.2.1术语名称术语意义图形表示方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角叫做方位角.方向角术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在同一铅直平面内，目标视线与水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的叫做仰角,目标视线在水平视线下方的叫做俯角.坡角坡面与水平面的夹角.坡度续表图6.4.3-2

A

A图6.4.3-3

图6.4.3-4

.

..

.

变式：

其他条件不变的情况下，求两船相距最近时它们的航行时间.

.

.释疑惑

重难拓展知识点5

余弦定理与勾股定理的关系

CA.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.不能确定

知识点6

对三角形解的个数的探究【教材深挖】本知识点是对教材第47页【例8】的深挖.

已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解,三角形被唯一确定.

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定.（因为互补的两角正弦值相等，所以需关注边的大小，进而判断三角形解的个数）

图形关系式解的个数一解图形关系式解的个数两解无解续表图形关系式解的个数一解无解续表例6-15

不解三角形，下列说法中正确的是(

)B

CA.有一解

B.有两解

C.无解

D.解的个数不确定

C

知识点7

三角形的面积公式1

常用的三角形的面积计算公式

.

.2

三角形的其他面积公式

.

..

.

C

A

B

知识点8

三角形中的射影定理

图6.4.3-1

C

题型解析03题型1

解三角形1

已知两角和任意一边

.

.

2

已知两边及其夹角

.

.3

已知两边和其中一边的对角

.

.

.

.

图6.4.3-54

已知三边

解三角形的基本类型及一般解法#1.1基本类型一般解法基本类型一般解法续表基本类型一般解法已知三边.续表【学会了吗丨变式题】

CA.1

B.2

C.3

D.4

D

B

图D

6.4.3-1

（【扫清障碍】构建平行四边形，利用平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，得到三角形的三边）

题型2

余弦定理及其推论在特殊条件中的应用1

聚焦条件齐次特征背景

A

C

A

.

.

2

比例背景

（2）(2025·上海市大同中学月考)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__.

A

题型3

利用正、余弦定理实现边角互化

C

A

.

.解题时如何选择正、余弦定理1.一般地，如果遇到的式子含角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；若遇到的式子含角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；若以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用到．2.正、余弦定理的本质是任意三角形的边与角满足的方程,它们能实现两类边角关系的转化：（1）角的正弦齐次方程与边的齐次方程可互相转化；（2）角的余弦可转化为边的二次齐次分式.【学会了吗丨变式题】

4

.

.题型4

三角恒等变换背景下的解三角形母题

致经典·母题探究

B

给什么得什么求什么想什么差什么找什么

母题探源

本题最早来源于2012年的高考试题，后来作为练习题在教材第54页【习题6.4】第22题中呈现，考查了三角恒等变换、正弦定理边角互化等知识，下面给出两道子题，巩固练习三角恒等变换背景下的解三角形问题.子题

（角化边）

由余弦定理的推论可得，

题型5

三角形形状的判断

.

.

【学会了吗丨变式题】

ABC

题型6

正、余弦定理在几何图形中的应用

图6.4.3-6

名师点评

题目出现多个三角形时，要弄清楚各三角形中的边角关系，分析已知和未知的关系，恰当选择三角形并利用正弦定理或余弦定理求解.

图6.4.3-7

.

.正、余弦定理本身是研究几何图形计算的工具，因此在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中运用正、余弦定理，特别是涉及公共边时，要利用公共边来进行过渡,即利用公共边创造的互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程.【学会了吗丨变式题】图6.4.3-8

题型7

正、余弦定理在实际问题中的应用1

测量距离问题

图6.4.3-9给什么得什么求什么想什么差什么找什么

名师点评

根据图形的性质可以简化步骤，因此求解涉及多个三角形的问题时，应尽量选择已知条件较多的三角形,并恰当地利用图形的性质解题.2

测量高度问题图6.4.3-10

名师点评

本题中涉及“俯角”“仰角”这样的术语，注意其反映在图形上的位置.3

测量角度问题

C

图6.4.3-11

正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形（主要是三角形与四边形）问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及的术语（如方位角等）构建恰当的三角形模型，在三角形中运用正弦定理或余弦定理即可.题型8

三角形的面积问题1

求面积

【学会了吗丨变式题】

图6.4.3-12

图D

6.4.3-2

2

已知面积求其他量

【学会了吗丨变式题】

D

3

面积的最值（取值范围）问题

.

..

.

图6.4.3-13

.

..

..

.对于三角形中的面积最值（取值范围）问题，通常需要借助已知条件进行转化，构建函数是常用的研究最值的方法，利用二次函数或者三角函数的有关知识进行求解，但要注意其中变量的取值范围.另外，我们也可以借助基本不等式进行求解.【学会了吗丨变式题】

图6.4.3-14

题型9

三角形的周长问题1

求周长

2

与周长有关的最值（取值范围）问题

求三角形周长问题的基本思路求解此类问题，一般需要综合利用正、余弦定理的相关知识求出三边的长或者得到与三边有关的关系式，解题时注意整体思想的应用.求最值（或取值范围）时，通常需要构造目标函数，利用基本不等式或函数性质求解.【学会了吗丨变式题】

.

.

.

.

题型10

正、余弦定理与向量的综合应用

A

图6.4.3-15

.

.

.

..

.【学会了吗丨变式题】

D

图D

6.4.3-3

.

.

ACD

高考帮

考试课丨核心素养聚焦考情揭秘正、余弦定理是解决数与形的工具，是高考的“常客”.小题主要考查对这两个定理的直接应用,涉及一些含有边角混合代数式的变形和三角形的面积计算等问题.解答题往往考查三角恒等变换和解三角形.如果求边长或角,需要利用方程思想;如果求范围或最值,需要利用函数思想或基本不等式.试题难度中等.核心素养：数学运算（求角、求边长、求面积等），直观想象（画出图形，依据图形构建等式或不等式），数学建模（借助正、余弦定理解实际问题）.考向1

正、余弦定理的应用

A

2

素养探源素养考查途径直观想象三角形的边角关系.数学运算正、余弦定理及三角形面积公式的应用.变式探源

.

.图6.4.3-16

【解析】如图6.4.3-16，由余弦定理得

考向2

边角互化下的解三角形问题

C

C

命题探源素养探源素养考查途径数学运算通过正弦定理及两角和的正弦公式逆向运用考查.考向3

正、余弦定理与三角恒等变换

ABC

.

.

考向4

代数条件下的解三角形问题

命题探源代数条件下的解三角形问题，往往是提供一个含有边角或者是转化后含有边角的代数方程，在这个方程的基础上利用正、余弦定理和三角形内角和定理将其转化为一个新的方程，落脚点往往是方程思想和整体代换思想的应用.素养探源素养考查途径数学运算正、余弦定理的变形应用以及利用面积公式求解.

考向5

几何条件下的解三角形问题

命题探源几何条件下的解三角形问题，往往都是在三角形中利用正、余弦定理分别构建方程，再通过关联的角（互余或互补）或者公共边来求解.素养探源素养考查途径数学运算正、余弦定理的应用，解关于边或角的代数方程.直观想象画出草图，通过图形能够从公共边挖掘两个三角形的内在联系.

图6.4.3-17

考向6

运动变化下的解三角形问题

.

.由正弦定理得

命题探源所谓运动变化，实质是题设提供的解三角形边角条件不足，导致三角形只能局部可解，