直线与直线垂直+直线与平面垂直+2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1直线与直线垂直8.6.2直线与平面垂直第八章立体几何初步人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

异面直线所成的角1

两条异面直线所成的角的定义图8.6.1-1

2

两条异面直线垂直的定义

3

两条直线所成的角的范围

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.学思用·典例详解

图8.6.1-5

知识点2

直线与平面垂直1

定义

.

.2

重要结论判定线线垂直重要结论①过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条；②过一点垂直于已知直线的平面有且只有一个.3

直线与平面垂直的画法

画直线与平面垂直，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.如图8.6.1-2（1）（2）所示.图8.6.1-24

点到平面的距离

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.（【助理解】在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离）

知识延伸

线面距、面面距的定义

1.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.

2.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.（【助理解】在台体、柱体的体积公式中，高就是上底面与下底面的距离）

说明：线面距与面面距最终都会转化为点到平面的距离，而点到平面的距离其实就是点与平面内任意一点间的距离的最小值.学思用·典例详解【想一想丨问题质疑】如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,那么这条直线是否与这个平面垂直？图8.6.1-6

BCDA.平行

B.相交

C.异面

D.垂直

知识点3

直线与平面垂直的判定定理自然语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.知识剖析

1.线面垂直的判定定理把线面垂直的定义中要求的无限条直线（任意一条直线）转化为有限条直线（两条相交直线），同时，给出了证明线面垂直的方法，即只需要在平面内找两条相交直线与已知直线垂直即可.

2.“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略.例如：若一条直线与一个平面内的两条平行直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直..

.学思用·典例详解例3-3

若一条直线垂直于一个平面内的____（填下列序号），则能保证该直线与该平面垂直.①三角形的两边；②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两边.①【解析】①③中给定条件所对应的两条直线一定相交，能保证所给直线与平面垂直.而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中正六边形的两边可能是互相平行的两边，不满足定理条件（两条相交直线）.

C

知识点4

直线与平面所成的角1

定义图8.6.1-3

在这个平面上的射影.（斜线的射影是一条直线,而非线段）

（3）斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角..

.知识剖析

求一条直线与平面所成的角，可先过直线上一点作平面的垂线，得到直线在平面上的射影，从而得到直线与它在平面上的射影所成的角，即可求解.2

直线与平面所成的角的范围

学思用·典例详解

图8.6.1-7

知识点5

直线与平面垂直的性质定理1

直线与平面垂直的性质定理自然语言图形语言符号语言垂直于同一个平面的两条直线平行.该定理可简记为“若线面垂直，则线线平行”.2

性质定理的作用

（1）由线面垂直证明线线平行.

（2）构造平行线.

（3）由线面垂直的性质定理得到的推论：

①如果平面外的一条直线垂直于该平面的一条垂线，那么这条直线平行于这个平面；

②如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线和平行于这个平面的直线垂直.学思用·典例详解

图8.6.1-8

释疑惑

重难拓展知识点6

点在平面内射影位置的确定

立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面上的射影位置来确定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.

1.如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上.

2.经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在的直线.

学思用·典例详解

CA.内心

B.外心

C.垂心

D.重心图8.6.1-9

知识点7

三垂线定理及其逆定理1

三垂线定理图8.6.1-4

2

三垂线定理的逆定理

学思用·典例详解

图8.6.1-10

图8.6.1-11

图8.6.1-12题型解析03题型1

异面直线所成的角

图8.6.1-13

.

..

.图8.6.1-14

教材深挖

三余弦定理（最小角定理）（深挖教材第151页第2个【？】）

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.求两条异面直线所成的角的一般步骤第一步：构造根据异面直线的定义，用平移法（常利用三角形中位线、平行四边形的性质）作出异面直线所成的角.第二步：计算在构造的三角形中利用解三角形的有关知识（如勾股定理、余弦定理等）求角度或其余弦值.第三步：得结论若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．【学会了吗丨变式题】

C

图D

8.6.1-1

.

..

..

.

C

图D

8.6.1-2

图D

8.6.1-3题型2

线面垂直判定定理的应用1

平面图形垂直关系的空间转化要抓住基本的平面图形的几何性质来实现垂直的探索，第一类是图形本身具备的垂直性质，如矩形、正方形、直角三角形、直角梯形等，第二类是由图形的伴随性质提供的垂直关系，如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线等.

图8.6.1-19求证：

【学会了吗丨变式题】

图8.6.1-22

图D

8.6.1-4

图8.6.1-23

2

基于平面图形本身的垂直关系已知条件中有一个线面垂直，这个条件往往可以从空间角度来提供一个线线垂直，而考题中往往还会提供一个本身具备直角的平面图形（如直角三角形、矩形、直角梯形等）.图8.6.1-24

说明

四个面都为直角三角形的三棱锥又被称为鳖臑，它是高考中的热点模型，本章章末将会以专题的形式进行详细讲解.

3

与平面图形数量关系相关的垂直关系已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．图8.6.1-25

.

.题型3

直线与平面所成的角

图8.6.1-26

图8.6.1-27

.

.

求直线与平面所成的角的一般步骤第一步：作在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键.第二步：证证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义.第三步：求一般借助三角形的相关知识求角.【学会了吗丨变式题】

图8.6.1-28图D

8.6.1-5

B图8.6.1-29

题型4

直线与平面垂直的性质定理的应用

图8.6.1-30

直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的又一种方法，从而我们可以利用中位线定理、平行四边形的性质、基本事实4、线面平行的性质定理及线面垂直的性质定理证明线线平行.但无论怎样，基本思路还是通过以平面或直线为桥梁，在“平行”与“垂直”之间进行相互转化.题型5

求点到平面的距离

图8.6.1-31

.

.图8.6.1-32

图8.6.1-33

求点到平面的距离的方法从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离.求点到平面的距离一般采用以下几种方法.一是直接作出点到平面的垂线，然后计算.二是当所求的点面距不好直接作出来时,可以转化为易于求解的点面距，常用方法有:①平行转化法:可以通过线面平行或面面平行把所求的点面距转化为其他的点到这个面的距离；②等分点转化法:可以通过比例关系把所求的点面距转化为其他点到这个面的距离.三是采用等体积法.【学会了吗丨变式题】

图8.6.1-34

图D

8.6.1-7

.

.

图D

8.6.1-8

新考法

数学文化图8.6.1-35

ABD

高考帮

考试课丨核心素养聚焦考情揭秘直线与平面垂直的判定与性质、异面直线所成的角、直线与平面所成的角、点到平面的距离均是高考常考的内容,多以常见的几何体为载体,将推理、论证与计算综合在一起考查，题型多样,考法灵活,可能出现在选择题、填空题中,也可能是解答题中的分支问题,难度中等.核心素养：直观想象（观察空间几何体的直观图得出线面的垂直关系），逻辑推理（判定定理、性质定理的应用），数学运算（线线角、线面角、点到平面的距离的求解）.考向1

异面直线所成的角

图8.6.1-36

D

图8.6.1-37

（【另解】已知三边长，也可用余弦定理的推论求角）

图8.6.1-38命题探源本题的出题意图是让同学们运用立体几何知识，求解异面直线所成的角，考查了同学们的空间想象能力、运算求解能力.一般地，求解异面直线所成角的关键在于充分运用数形结合思想，借助直线与直线平行，将求异面直线所成的角转化为求解三角形的某个内角的大小，再灵活运用解三角形的知识进行计算.本题可以视作教材第147页【例1】的拓展.素养探源素养考查途径数学运算通过解三角形实现对数学运算素养的考查.直观想象通过作辅助线、平移，实现对直观想象素养的考查.考向2

直线与平面所成的角

图8.6.1-39

命题探源本题可视为取材于教材第152页【例4】，准确掌握直线与平面所成角的定义是求解的关键，即直线与平面所成的角就是直线与直线在平面上的射影所成的角，而找直线与直线在平面上的射影所成角的关键又在于找到平面的垂线.

B

图8.6.1-40

图8.6.1-41

.

.考向3

线线垂直与线面垂直的相关问题1

以垂直为背景的判断与证明问题

BD

图8.6.1-42

图8.6.1-43图8.6.1-44

素养探源素养考查途径直观想象通过题图中的线面位置关系以及由图想图来进行考查.逻辑推理通过线面垂直的判定定理以及线面平行的判定定理来进行考查.变式探源

图8.6.1-45图8.6.1-46

图8.6.1-47

图8.6.1-48

2

与垂直有关的求体积、面积问题图8.6.1-49

D

.

..

.图8.6.1-50

（【归纳】利用勾股定理的逆定理证明线线垂直是常用的方法）

C

图8.6.1-51

.

.

A

图8.6.1-52

图8.6.1-53

CD

图8.6.1-54

素养探源素养考查途径逻辑推理利用垂直关系找出三棱锥的高.数学运算三棱锥体积的求解，以及等式的判断.

图8.6.1-55

图8.6.1-56

.

.

考向4

求点到平面的距离

图8.6.1-57

图8.6.1-58

.

.高考新题型专练

ABD

图D

8.6.1-9

.

.图8.6.1-59

知识测评04建议时间：25分钟

CA.平行

B.垂直相交

C.垂直但不相交

D.相交但不垂直

图8.6.1-2

C

图8.6.1-3

D

图8.6.1-4

C

图D

8.6.1-1

BDA.