总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2用样本估计总体

9.2.2总体百分位数的估计9.2.3总体集中趋势的估计第九章统计人教A版数学必修第二册目录课标要点03010204必备知识解读题型解析知识测评05高考模拟课标要点01必备知识解读02知识点1

总体百分位数的估计1

概念

.

.2

求解步骤

知识剖析几个重要的百分位数

（1）我们在初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.

（2）在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.以上三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.

（3）像第1百分位数，第5百分位数，第90百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.学思用·典例详解例1-1

[教材改编P203例2]一个容量为20的样本，其数据按从小到大的顺序排列为：1，2，2，3，5，6，6，7，8，8，9，10，13，13，14，15，17，17，18，18.则该组数据的第75百分位数为_____，第86百分位数为____.14.517

.

..

..

..

.

一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数.一组数据的某些百分位数可能是同一数.知识点2

总体集中趋势的估计

在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度刻画了一组数据的集中趋势.1

相关概念数字特征概念特征平均数平均数代表性较好，是反映数据集中趋势最常用的统计量.平均数反映一组数据的平均水平，任何一个样本数据的改变一般都会引起平均数的改变.在某些情况下，平均数也易受到一些极端值的影响而偏离一般情况.数字特征概念特征中位数将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，“中间”的那个数据称为这组数据的中位数.如果数据的个数是偶数，那么中位数就取中间两个数据的平均数．在一组数据中，有一半的数据不大于中位数，而另一半的数据则不小于中位数，中位数反映了一组数据的中心的情况.中位数不受极端值的影响.众数一组数据中出现次数最多（【释疑】频数最大值对应的样本数据）的数据称为这组数据的众数．众数考查各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关.众数作为一组数据的代表时，可靠性较差，出现次数最多的数据很多时候不能反映一组数据的中心值.续表.

.特别提醒

1.一组数据的平均数、中位数都是唯一的.众数不唯一，可以有一个，也可以有多个（如1,2，2,3,3,4,5,6这组数的众数是2和3）.

2.众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数.#1.22

适用情况

33

C

6

知识点3

频率分布直方图中的统计参数

在频率分布直方图中，我们通常假设数据在组内均匀分布.这样就可以获得样本的平均数、中位数、众数和百分位数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数、众数和百分位数.1

频率分布直方图中的“众数”

根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个（些）点的横坐标为这组数据的众数.一般用最高矩形底边中点的横坐标近似代替..

.2

频率分布直方图中的“中位数”

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值.3

频率分布直方图中的“平均数”

因为样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替..

..

..

.4

频率分布直方图中的“百分位数”

频率分布直方图中平均数与中位数的大小关系

一般地，对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（如图9.2.2-1（1）），那么平均数和中位数应该大体上差不多;如果直方图在右边“拖尾”（如图9.2.2-1（2）），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”（如图9.2.2-1（3）），那么平均数小于中位数.

也就是说，与中位数相比，平均数总在“长尾巴”的那一边.图9.2.2-1图9.2.2-2

105

103.5

图9.2.2-3

C

知识点4

总体离散程度的估计1

方差和标准差

推导过程如下.

2

总体（样本）方差和总体（样本）标准差

.

.3

标准差与方差的统计意义

.

..

..

..

.

.

.4

描述数据离散程度的另一统计量——极差

例4-7

某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差为(

)C

【想一想丨问题质疑】

例4-8

[多选题](2025·浙江省金砖联盟期中)已知甲组数据为1，1，3，3，5，7，9，乙组数据为1，3，5，7，9，则下列说法正确的是(

)BCA.这两组数据的第80百分位数相等B.这两组数据的极差相等C.这两组数据分别去掉一个最大值和一个最小值后，仅乙组数据的均值不变D.甲组数据比乙组数据分散

16825.6

释疑惑

重难拓展知识点5

平均数和方差的计算方法1

平均数的计算方法

2

方差的计算方法

3

具有线性关系的数据的平均数和方差

例5-10

某地举行了一次数学竞赛，为了估计平均成绩，抽取了部分试卷.在抽取的部分试卷中，有1人得10分，3人得9分，8人得8分，12人得7分，9人得6分，7人得5分，则该样本试卷的平均成绩为_____分.6.85

A

题型解析03题型1

百分位数的求解

6

【学会了吗丨变式题】1.(2025·四川省绵阳市盐亭中学月考)某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名（假设测试成绩两两不同），成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为(

)BA.15

B.25

C.30

D.35

题型2

众数、中位数、平均数的应用例13（1）16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛．如果小刘知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，那么其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是(

)CA.平均数

B.众数

C.中位数

D.方差【解析】判断是不是能进入决赛，只要判断成绩是不是排在前8位，所以只要知道其他15位同学的成绩中是不是有8位高于他，也就是把其他15位同学的成绩排列后看第8位的成绩即可，小刘的成绩高于这个成绩就能进入决赛，低于这个成绩就不能进入决赛，第8位的成绩就是这15位同学成绩的中位数．（2）某鞋店试销一款新女鞋，销售情况如下表：鞋号3435363738394041数量/双259169532如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是(

)BA.平均数

B.众数

C.中位数

D.方差【解析】鞋店经理最关心的是哪个鞋号的鞋销量最大，即数据的众数.例14

(2025·湖南省长沙市雅礼教育集团月考)四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可能出现点数6的是(

)CA.甲同学：中位数为3，极差为2

B.乙同学：平均数为3，众数为4C.丙同学：第25百分位数为3，众数为5

D.丁同学：平均数为3，中位数为4

众数、中位数、平均数的应用要点中位数、众数分别反映了一组数据的“中等水平”“多数水平”，平均数反映了数据的平均水平，我们需根据实际需要选择使用.#1.1.1三种数字特征的优缺点#1.2名称优点缺点众数（1）体现了样本数据的最大集中点；（2）容易计算.对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征.中位数（1）不受少数极端值（比其他数据大很多或小很多的数据）的影响；（2）容易计算.对极端值的不敏感有时也会成为缺点.平均数能较好地反映样本数据全体的信息.当样本数据质量较差时，使用平均数描述数据的中心位置可能与实际情况产生较大差异.【学会了吗丨变式题】2.［多选题］某校对高一学生进行了体能测试，在该校高一年级随机选取了两个班，记这两个班分别为甲班、乙班,并在这两个班各随机抽取10名学生的体能成绩（单位：分，满分100分）作为样本进行分析．如表是两个班被随机选出的学生的体能分数统计表，则下列说法错误的是(

)甲75798284868790919398乙73818183878895969799ABCA.甲、乙两个班的体能分数的极差相等B.甲、乙两个班的体能分数的平均数相等C.乙班的体能分数的众数为87D.甲、乙两个班体能分数的中位数中，乙班的中位数较大

题型3

方差、标准差的计算及应用1

方差、标准差的简单计算例15

某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，如表是抽取10名学生的成绩，表中修改后的成绩与修改前的成绩相比，这10名学生成绩的(

)学生学号12345678910修改前成绩126130104100133123100120139103修改后成绩126135991001381239512014498DA.平均分、方差都变小

B.平均分、方差都变大C.平均分不变、方差变小

D.平均分不变、方差变大

又修改前成绩的方差为

修改后成绩的方差为

故修改后成绩方差变大．

（优解）

由表格可以发现，修改后，2,5,9号学生的成绩分别加了5分，3,7,10号学生的成绩分别减了5分，其余学生的成绩不变，所以平均分不变，故可排除A，B.

在求解平均数、方差、标准差时，要注意数据的特点，选择适当的公式计算，即可避繁就简.【学会了吗丨变式题】

4

4.(2025·重庆市第一中学校期中)已知有一组数据共25个，其平均数是6，方差是4，现去掉其中5个数据：5，6，8，10，11，则余下的20个数据的方差为_____.2.45

.

.2

利用统计量进行决策母题

致经典·母题探究例17

甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次射靶的成绩情况如图9.2.2-4所示．图9.2.2-4（1）请填写下表：平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲乙

平均数方差中位数命中9环及9环以上的次数甲71.271乙75.47.53（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析：①从平均数和方差相结合看,谁的成绩更稳定；【解析】甲、乙的平均数相同，乙的方差较大，所以甲的成绩更稳定．②从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些；【解析】甲、乙的平均数相同，乙的中位数较大，所以乙的成绩好些．③从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看,谁的成绩好些；【解析】甲、乙的平均数相同，乙命中9环及9环以上的次数比甲多，所以乙的成绩好些．④从折线图上两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力．【解析】从折线图上看，乙基本上呈上升趋势，而甲趋于稳定，故乙更有潜力.名师点评利用统计量进行决策的切入点和一般途径切入点：运用数字特征进行评价时，应从平均数、众数、中位数、方差、极差等多个角度对这组数据进行分析，全面考虑各数字特征的优缺点,从不同层面或两两综合进行评价，才能得到较为客观可靠的决策.一般途径：首先对数据的平均水平进行比较，优选水平较高者，当平均水平相同时，再看数据的离散程度（方差、标准差），方差或标准差越小，说明水平越稳定.子题一次数学知识竞赛中，两组学生的成绩如下：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212经计算，两组的平均分都是80分，请根据所学过的统计知识，进一步判断这次竞赛中哪个组更优秀，并说明理由.【解析】从不同的角度分析如下：①甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数这一角度看，甲组成绩好些.

3

分层随机抽样中方差的计算例18

(2025·河北省唐山市期末)某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差为(

)DA.1.3

B.1.5

C.1.7

D.1.9

【学会了吗丨变式题】5.(2025·山东省济南市平阴县实验高级中学段考)某次趣味运动会，设置了教师足球射门比赛:教师射门，学生守门.已知参与射门比赛的教师有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，其中男教师进球数的平均值和方差分别是4和8，女教师进球数的平均值为2，则女教师进球数的方差为(

)BA.15

B.16

C.17

D.18

题型4

频率分布直方图中集中趋势参数及百分位数的计算图9.2.2-5例19

(2025·陕西省咸阳市期中)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，又是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：

故第80百分位数为86.（2）根据频率分布直方图，估计样本成绩的平均数，中位数和众数；

（2）根据平均数、中位数以及众数估计值的公式，结合频率分布直方图，可得答案；（3）根据两个分数段的频率可得其人数比例，结合分层随机抽样的平均数与方差的计算，可得答案.利用频率分布直方图求解集中趋势参数及百分位数的思路名称求解思路平均数用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积（即该小组的频率）的乘积之和近似代替平均数.中位数根据中位数左边和右边的直方图的面积相等列式求中位数.众数可以用最高小矩形底边中点的横坐标来近似代替众数.【学会了吗丨变式题】图9.2.2-6

ABD

到如图9.2.2-6所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是(

)

考情揭秘高考对本节知识的考查重点为对样本数字特征的含义的理解及计算，和对总体数字特征的估计，考查学生运用图表整理数据、分析数据以及进行决策的能力.难度中等，各类题型都会出现.核心素养：数据分析（根据所给数据获取信息）、数学运算（根据所获信息计算数据的数字特征）、逻辑推理（根据数字特征的意义进行推理）.考向1

基于数字特征进行考查1

数字特征的含义例20

(全国Ⅱ卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是(

)AA.中位数

B.平均数

C.方差

D.极差

命题探源本题取材于教材第209页【练习】第3题，有着很强的现实意义，在实际操作中经常使用，因此要把握每一个数字特征的含义，如中位数不受极端值的影响，而平均数会受极端值影响（极差当然也会受到极端值的影响），与其相关的方差当然也会受到影响，这就是比赛中经常要去掉最高分和最低分的原因.素养探源素养考查途径数学运算计算数字特征.逻辑推理根据数字特征的意义进行推理.

AC

2

两组数据数字特征的比较

BD

3

样本数字特征的计（估）算

亩产量频数61218亩产量频数302410根据表中数据，下列结论中正确的是(

)C

命题探源考题与教材第215页【练习】第3题非常相似，以频数分布表为载体，考查对数据数字特征的计算.素养探源素养考查途径数据分析频数分布表的数据整理、分析.数学运算对数字特征的计算.

试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.8

9.2

11.4

12.4

13.2

15.5

16.518.0

18.8

19.2

19.8

20.2

21.6

22.823.6

23.9

25.1

28.2

32.3

36.5（1）计算试验组数据的平均数；

（2）求40只小白鼠体重的增加量的中位数.

考向2

总体数字特征的估计例23

(2024·上海改编)为了解某地初中学生体育锻炼时长，从该地区29

000名学生中随机抽取580人，得到日均体育锻炼时长（单位：小时）的数据如表所示:日均体育锻炼时长/小时[1.5,2）[2,2.5]人数1391911794328（1）该地区29

000名学生中日均体育锻炼时长不小于1小时的人数约为多少?

（2）估计该地区初中学生日均体育锻炼时长（精确到0.1小时）.

所以估计该地区初中学生日均体育锻炼时长为0.9小时.命题探源考题与教材第205页例4都是先对样本的数字特征进行计算，进而估计总体的数字特征.素养探源素养考查途径数据分析频数分布表的数据整理、分析.数学运算样本数字特征的计算，并估计总体.图9.2.2-7变式探源

(全国甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如图9.2.2-7所示的频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是(

)C

高考新题型专练1.［多选题］(2025·江西省抚州市期末)某校采取分层抽样的方法抽取了高一年级20名学生的数学成绩（单位：分，满分100分），并将他们的成绩制成如下所示的表格．组别成绩60657075808590人数3235421下列结论正确的是(

)AB

AC

知识测评04建议时间：25分钟

CA.7

B.7.5

C.8

D.9

图9.2.2-12.某时间段公路上车速的频率分布直方图如图9.2.2-1所示，则(

)D

图9.2.2-23.(全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图9.2.2-2，则(

)B

图9.2.2-34.[多选题](2025·江苏省南通市期末)甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人测试成绩的条形图如图9.2.2-3所示，则(

)ADA.甲运动员测试成绩的中位数等于乙运动员测试成绩的中位数B.甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数C.甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数D.甲运动员测试成绩的方差小于乙运动员测试成绩的方差

5.[多选题]某运动队共有8名运动员，教练为直观了解运动员的训练效果，统计了近几个月测试成绩的平均分和标准差，得到如图9.2.2-4所示的统计图，则(

)AD图9.2.2-4A.1号和2号运动员比较，1号竞技水平较高，且2号成绩较稳定B.3号和4号运动员比较，3号竞技水平较高，且4号成绩较稳定C.5号和6号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且6号成绩波动较大D.7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，且8号成绩波动较大【解析】对于A，由统计图可知，1号运动员成绩的平均分和标准差均高于2号运动员，则1号竞技水平较高，且2号成绩较稳定，故A正确;对于B，由统计图可知，3号运动员成绩的平均分和4号运动员成绩的平均分相同，则3号和4号运动员竞技水平一样，故B错误;对于C，由统计图可知，5号运动员成绩的标准差高于6号运动员成绩的标准差，则5号成绩波动较大，故C错误;对于D，由统计图可知，7号和8号运动员成绩的平均分均低于整体平均分，8号运动员成绩的标准差高于7号运动员成绩的标准差，故7号和8号运动员的竞技水平都低于整体平均水平，8号成绩波动较大，故D正确．

6

8.从甲、乙两名学生中选拔一人参加射箭比赛，为此需要对他们的射箭水平进行测试．现这两名学生在相同条件下各射箭10次，命中的环数如下：甲897976101086乙10986879788（1）计算甲、乙两人射箭命中环数的平均数和标准差；

（2）比较两个人的成绩，然后决定