2025-2026学年最大公因数应用教学设计

2025-2026学年最大公因数应用教学设计学科政治年级册别八年级上册共1课时教材部编版授课类型新授课第1课时教学内容分析1.本节课的主要教学内容。人教版五年级上册第三单元《因数与倍数》例3及“做一做”，核心内容是运用最大公因数的知识解决实际问题，如“用边长是整分米数的正方形纸铺长18分米、宽12分米的长方形，选用边长最大是多少分米的纸？最少需要多少张？”通过此类问题，理解最大公因数在求“最大尺寸”“最少份数”等实际场景中的应用，掌握“实际问题—抽象问题—数学模型—解决问题”的解题思路。

2.教学内容与学生已有知识的联系。学生已掌握因数、倍数的意义，能熟练用列举法、短除法求两个数的最大公因数，理解公因数和最大公因数的概念。本节课是对“最大公因数”概念的深化应用，将抽象的数学知识与“分物品”“铺地砖”等生活实际结合，从“会求最大公因数”到“会用最大公因数”，提升数学建模能力和应用意识，为后续学习最小公倍数及分数约分奠定基础。核心素养目标二、核心素养目标通过解决铺地砖、分物品等实际问题，发展数学抽象能力，从具体情境中抽象出求最大公因数的数学问题；经历分析问题、推理过程，提升逻辑推理能力，体会最大公因数在确定“最大尺寸”“最少份数”中的作用；建立实际问题与数学模型的联系，增强数学建模意识；巩固最大公因数的计算，提升数学运算能力；感受数学在生活中的应用，培养应用意识。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识。学生已掌握因数、倍数的概念，能熟练列举一个数的因数，理解公因数和最大公因数的意义，掌握用列举法、短除法求两个数的最大公因数，并能解决简单的求最大公因数问题。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格。学生对解决生活中的实际问题兴趣较高，具备一定的观察、分析和推理能力，习惯通过自主探究和小组合作学习，喜欢动手操作和直观演示，对抽象数学概念的接受程度存在差异。

3.学生可能遇到的困难和挑战。在将实际问题抽象为求最大公因数的数学模型时可能存在困难，难以准确判断问题本质；在区分最大公因数与最小公倍数的应用场景时易混淆；部分学生计算速度和准确性有待提高，影响解题效率。教学资源准备1.教材：确保每位学生配备人教版五年级上册数学教材及配套练习册。

2.辅助材料：准备PPT课件，包含铺地砖情境图、问题步骤分解图及最大公因数应用实例；打印例3及“做一做”题目卡片。

3.实验器材：准备边长为1分米、2分米、3分米等不同规格的正方形纸片若干组，供学生分组操作。

4.教室布置：将课桌椅分组摆放，设置6个小组讨论区；教室前方预留实物投影展示区，便于演示学生操作过程。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：发布预习任务：通过班级群推送人教版五年级上册第三单元例3情境图（铺地砖问题）及预习PPT，明确目标“理解铺地砖问题中正方形边长与长方形长、宽的关系”。设计预习问题：“铺满长方形时，正方形边长需要满足什么条件？为什么用最大公因数？”监控进度：查看学生提交的预习笔记（如“正方形边长是长和宽的因数”等关键句）。

学生活动：自主阅读教材例3，观看PPT中“铺地砖”动画，思考预习问题，记录疑问（如“为什么不是最小公因数？”），提交预习笔记。

教学方法/手段/资源：自主学习法；PPT、微信群。

作用与目的：初步建立实际问题与最大公因数的联系，为课堂突破“从实际问题抽象出数学模型”的重难点做准备。

2.课中强化技能

教师活动：导入新课：播放“学校装修教室铺地砖”视频，提问“要选多大的正方形地砖才能刚好铺满？”讲解知识点：结合例3，引导学生分析“正方形地砖边长×行数=长方形长，边长×列数=长方形宽”，得出“边长是长和宽的公因数，最大边长是最大公因数”（重点）。组织活动：分组用1cm、2cm、3cm…的正方形纸片铺18cm×12cm的长方形，记录能铺满的边长，找出最大值（突破“理解最大公因数的实际意义”难点）。解答疑问：对比“铺地砖”（求最大公因数）和“剪彩带”（求最小公倍数）的区别。

学生活动：观看视频思考问题，听讲时记录关键点（“公因数”“最大”），分组操作纸片，记录数据，讨论“为什么6cm是最大边长”，提问区分两种模型。

教学方法/手段/资源：讲授法、实践活动法；纸片、视频。

作用与目的：通过操作理解最大公因数在“最大尺寸”问题中的应用，突破抽象转化难点，培养建模能力。

3.课后拓展应用

教师活动：布置作业：解决“把42块糖和56块饼干平均分给若干人，每人分到的数量相同，最多分给多少人？每人分几块糖、几块饼干？”提供拓展资源：推送“裁剪布料”“分小组”等应用实例视频。反馈作业：批改时标注“是否正确找出实际问题中的‘总量’‘份数’”，对混淆公因数、倍数的学生单独指导。

学生活动：完成作业，思考“糖和饼干的总数与人数的关系”，观看拓展视频，反思“生活中的哪些问题还能用最大公因数解决？”。

教学方法/手段/资源：自主学习法；视频、作业本。

作用与目的：巩固“求最大公因数解决实际问题”的技能，提升应用意识，突破“灵活选择数学模型”的难点。拓展与延伸1.数学史小故事：欧几里得与辗转相除法

早在2000多年前，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中提出了一种求最大公因数的方法——辗转相除法。这种方法通过“大数减小数”的重复操作，直到两数相等，这个数就是最大公因数。例如求48和18的最大公因数：48÷18=2余12，18÷12=1余6，12÷6=2余0，所以最大公因数是6。这种方法比列举法更高效，尤其适用于较大的数。中国古代数学著作《九章算术》中也记载了类似的“更相减损术”，体现了中西方数学智慧的相通。

2.生活中的最大公因数应用实例

（1）建筑装修：学校礼堂长15米，宽12米，要用正方形地砖铺地，且不切割地砖，求地砖的最大边长。15和12的最大公因数是3，所以地砖边长最大为3米（300厘米），这样需要（15÷3）×（12÷3）=5×4=20块地砖，刚好铺满，无浪费。

（2）包装设计：工厂要将42个玩具车和56个玩具熊装成相同数量的礼盒，且每个礼盒中玩具车和玩具熊数量相同，求最多能装多少个礼盒。42和56的最大公因数是14，所以最多装14个礼盒，每个礼盒装42÷14=3个玩具车，56÷14=4个玩具熊。

（3）农业生产：李家有苹果树每行5棵，梨树每行7棵，若两种树的行数相同，且总棵数最少，求最小行数。5和7的最小公倍数是35，但若要“从起点开始每隔一定距离两种树都对齐”，则需找最大公因数（间距公约数），如1米、5米、7米等，其中5米和7米的最大公因数是1，即每1米处对齐一次。

（4）音乐节奏：钢琴每小节4拍，鼓每小节6拍，求每几拍两种乐器的节奏会同时重合。4和6的最小公倍数是12，即每12拍重合一次；而最大公因数2表示每2拍有一个共同的节奏点，可用于简化复杂节奏。

3.最大公因数与分数的关系

分数约分的基础是最大公因数。例如分数12/18，分子分母的最大公因数是6，所以12÷6=2，18÷6=3，约分后为2/3。反过来，若要将2/3化为分母为18的分数，需用18÷3=6（即最小公倍数与分母的商），分子2×6=12，得到12/18。最大公因数和最小公倍数在分数运算中互为逆运算，共同构成了分数通分与约分的核心逻辑。

4.多个数的最大公因数求法

对于三个或更多数的最大公因数，可采用“逐步求取法”。例如求24、36、48的最大公因数：先求24和36的最大公因数（12），再求12和48的最大公因数（12），所以三个数的最大公因数是12。实际应用中，如裁剪24cm、36cm、48cm长的木条，要截成相同长度的小段且不浪费，小段最大长度为12cm，可截24÷12=2段、36÷12=3段、48÷12=4段，共9段。

5.鼓励学生自主探究

（1）生活观察任务：记录家庭或学校中的最大公因数应用案例，如分水果（12个苹果、18个橘子，平均分给家人，每人最多分几个？）、布置黑板报（长80cm、宽60cm的黑板，用最大尺寸的正方形贴纸覆盖，贴纸边长最大是多少？），制作“生活中的最大公因数”数学日记。

（2）数学游戏：用扑克牌（1-10）玩“找最大公因数”竞赛，两人各抽两张牌，快速说出两数的最大公因数，答对者得1分，5分钟后得分高者获胜，提升计算速度和准确性。

（3）规律探究：若长方形的长和宽都是质数（如5cm和7cm），则铺满它的正方形地砖最大边长是多少？（质数的最大公因数是1，边长1cm）；若长是宽的2倍（如8cm和4cm），最大公因数是多少？（宽4cm），总结“长是宽的倍数时，最大公因数是较小数”的规律。

（4）对比探究：收集10个实际问题，区分哪些用最大公因数解决（如“求最大尺寸”“平均分物品”），哪些用最小公倍数解决（如“求最小公倍数”“周期问题”），制作对比表，例如：“用长18cm、宽12cm的长方形纸拼正方形，最小拼成的正方形边长是多少？”（最小公倍数36cm）；“用边长最大的正方形纸拼长方形，最少需要多少张？”（最大公因数6cm，需要（18÷6）×（12÷6）=6张），明确两种数学模型的应用场景差异。作业布置与反馈作业布置：

1.基础巩固：完成课本P52“做一做”第1题（用最大公因数解决铺地砖问题），并写出解题步骤。

2.能力提升：解决实际问题“学校组织42名男生和56名女生参加植树活动，若每组男生人数相同、女生人数相同，且每组总人数尽可能多，最多可分几组？每组男女生各多少人？”

3.拓展挑战：设计一个生活中的最大公因数应用问题（如分物品、裁剪材料），并解答。

作业反馈：

1.批改重点：检查学生是否正确识别问题类型（求最大公因数），计算过程是否准确（如短除法使用），答案是否符合实际意义（如“最多分几组”）。

2.典型问题反馈：针对“混淆最大公因数与最小公倍数”的学生，标注“本题应求最大公因数（求最大尺寸/份数）”；对计算错误的学生，提示“检查短除法步骤，确保余数正确”。

3.个性化建议：基础题错误学生重做课本例题；提升题错误学生对比“铺地砖”与“分小组”的解题思路；挑战题优秀作品在班级展示，鼓励分享设计思路。

4.后续跟进：次日课堂前5分钟反馈共性问题，如“为什么用最大公因数？”，强化模型理解。反思改进措施（一）教学特色创新

1.生活情境贯穿始终，用铺地砖、分物品等真实问题激活兴趣，让学生体会“数学有用”。

2.动手操作与抽象结合，通过纸片铺长方形等活动，将“最大尺寸”的抽象概念转化为可触摸的数学模型。

（二）存在主要问题

1.小组操作时部分学生参与