人教版初中数学九年级下册《26.1.2 反比例函数的图象与性质（第一课时）》教案

人教版初中数学九年级下册《26.1.2反比例函数的图象与性质（第一课时）》教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》审视，本节课隶属于“函数”主题，是学生继学习正比例函数、一次函数后，接触的又一类基本初等函数，在初中函数知识体系中起着承上启下的关键作用。知识技能图谱上，本节课的核心在于引领学生经历“列表、描点、连线”绘制反比例函数图象的过程，并通过对图象的观察、比较、归纳，初步探索并描述反比例函数的核心性质（如增减性、对称性）。这一过程不仅是对函数研究一般方法的再次实践与深化，更是为后续学习二次函数乃至高中更复杂的函数奠定方法论基础。过程方法路径上，课标强调的“模型观念”、“几何直观”、“推理能力”在本课有集中体现。教学设计需将“数形结合”这一核心思想贯穿始终，引导学生从解析式（数）和图象（形）两个维度认识函数，在动手操作与观察思考中，发展从特殊到一般的归纳能力和基于图象的直观想象与合情推理能力。素养价值渗透方面，通过探究反比例函数图象的独特形态（双曲线）及其与现实世界（如面积一定时长与宽的关系）的紧密联系，引导学生感悟数学模型的简洁与和谐之美，理解数学是描述现实世界的重要工具，培育科学探究的精神和理性思维的习惯。

基于“以学定教”原则进行学情研判，学生已系统掌握正比例函数和一次函数的图象与性质，熟悉函数图象绘制的基本流程，具备初步的数形结合意识。然而，反比例函数解析式的非线性特征及其图象的曲线形态、两支分离的特点，对学生而言是全新的认知挑战。可能的认知障碍包括：在列表选点时对自变量取值对称性与代表性的忽视；描点连线时对曲线光滑性的理解不足；归纳性质时易将一次函数的线性经验错误迁移，尤其是对“在每一象限内”这一增减性前提条件的忽略。为此，教学中将通过过程性评估，如巡视观察学生列表选点的策略、小组讨论中倾听其对图象特征的描述、设置针对性问题链探测其理解深度，动态把握学情。教学调适策略上，将为动手操作有困难的学生提供预设好部分点坐标的表格作为“脚手架”；为思维敏捷的学生设计关于渐近线与对称性的深化思考题；通过“兵教兵”的小组协作，让不同层次的学生在交流与互助中共同构建认知。

二、教学目标

知识目标：学生能准确叙述用描点法绘制反比例函数图象的具体步骤，并能独立绘制出形如y=k/x(k≠0)的反比例函数图象；能通过观察和分析图象，初步归纳出反比例函数图象的主要特征（位置、形状）及其核心性质（增减性），并能够用准确的数学语言进行描述，理解性质中“在每一象限内”这一关键前提。

能力目标：学生经历完整的画图、观察、猜想、归纳的探究过程，进一步巩固研究函数的一般方法，提升动手操作与数据处理能力；在探究性质的过程中，发展从具体图象中获取信息、归纳共性的直观想象能力和合情推理能力；初步运用数形结合思想分析函数问题的能力得到强化。

情感态度与价值观目标：学生在合作绘制图象与讨论性质的活动中，体验数学探究的乐趣与严谨性，增强团队协作意识；通过感受反比例函数图象的对称美、曲线美，激发对数学的内在审美情趣；初步体会反比例函数模型在刻画现实世界特定规律中的作用，增强数学应用意识。

科学（学科）思维目标：本节课重点发展学生的“模型观念”与“数形结合”思想。通过将解析式转化为图象，再将图象特征抽象为数学性质，学生经历从“数”到“形”，再从“形”到“数”的完整思维循环，深刻体会图形直观对理解抽象数学概念的支撑作用，以及数学表达的精确性。

评价与元认知目标：引导学生依据图象绘制是否规范、步骤是否完整、连线是否光滑等标准，对自我或同伴的作品进行初步评价；在课堂小结环节，鼓励学生反思本课学习路径（定义—图象—性质），并与一次函数的研究方法进行对比，从而内化函数学习的一般策略，提升学习的计划性与反思性。

三、教学重点与难点

教学重点：反比例函数图象的绘制方法与图象的基本特征、核心性质的探索与归纳。确立此为重点，源于其在课标中的核心地位：它是构建反比例函数完整认知结构的基石，是落实“数形结合”思想、发展几何直观和推理能力的关键载体。从中考命题视角看，反比例函数的图象与性质是高频考点，常以选择、填空或综合题形式出现，既考查基础知识的掌握，也考查从图象中提取信息、分析问题的能力。

教学难点：对反比例函数增减性中“在每一象限内”这一前提条件的理解与表述；对反比例函数图象为双曲线、且无限接近坐标轴但永不相交（渐近线思想）的直观感知与理性认识。预设其为难点，主要基于学情：学生容易将正比例、一次函数的“整体”增减性经验直接迁移，忽视反比例函数两支图象在不同象限的独立性。突破关键在于，通过对比不同k值下的多个图象，引导学生聚焦每一支曲线的变化趋势，并用具体数值代入进行验证，从而在直观感知与逻辑辨析中建构正确概念。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式电子白板或多媒体投影设备；精心设计的教学课件（内含动态绘图演示、对比表格）。

1.2学习材料：为学生准备的《学习任务单》（包含探究记录表、分层练习与课堂小结框架）；课堂练习反馈工具（如答题板、反馈器）。

2.学生准备

2.1知识预备：复习反比例函数的定义；熟练掌握平面直角坐标系及描点法。

2.2学具：铅笔、直尺、坐标纸（或印有坐标网格的《学习任务单》）。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境唤醒，提出问题：“同学们，我们已经认识了正比例函数和一次函数这位‘直线家族’的朋友。今天，我们将迎来函数王国里另一位风格迥异的成员。大家还记得，当长方形的面积为12时，它的长a和宽b满足什么关系吗？对，ab=12，也就是b=12/a。这是一个反比例函数。那么，它的‘样子’——图象，会和直线一样吗？它又会展现出哪些独特的‘性格’——性质呢？这就是本节课我们要携手揭秘的。”

2.明确路径，激活旧知：“回忆一下，我们当初是如何认识一次函数图象与性质的？（引导学生回答：列表、描点、连线画图，再观察图象找规律。）很好，这就是研究函数图象与性质的‘通用钥匙’。今天，我们就继续沿用这个方法，来探究反比例函数y=6/x和y=-6/x的图象和性质。请大家先猜一猜，它们的图象可能会是什么形状？”

第二、新授环节

任务一：合作初探，绘制反比例函数y=6/x的图象

教师活动：首先，引导学生明确探究对象：y=6/x。提出问题链搭建脚手架：“第一步该做什么？（列表）自变量x可以取哪些值？为什么建议在正数、负数范围内都取一些，并且取值要对称、有代表性？（例如取±1,±2,±3,±6等）”。在学生列表时巡视，关注取值策略。然后引导：“点描在坐标纸上后，该如何连线？是像一次函数那样用直尺连成线段吗？注意观察点的分布趋势。”对于连线，先不直接告知，让学生尝试。当学生发现用线段连不自然时，适时介入：“这些点似乎不在一条直线上，那我们该用什么线来连接它们才更合理？想象一下，当x取值非常密集时，点与点之间会怎样？”最后，利用几何画板动态演示x取更多值时点的填充与光滑曲线的生成过程，强调“用平滑的曲线连接”。

学生活动：在《学习任务单》上，以小组为单位，合作完成针对y=6/x的列表（自变量取值、计算函数值）、描点。尝试用线段连接各点，观察并讨论其不合理性。根据教师引导和动态演示，修正认识，用平滑曲线依次连接第一象限和第三象限内的点，初步画出图象。观察所画图象的整体形态与位置特征。

即时评价标准：1.列表时，自变量的取值是否体现了对称性（正负配对）和代表性（能体现变化趋势的关键点）。2.描点是否准确无误。3.连线时，是否意识到需用光滑曲线，而非折线或线段；是否将同一象限内的点用曲线连接，而未将不同象限的点相连。

形成知识、思维、方法清单：

★1.反比例函数图象绘制步骤：严格遵循“列表→描点→连线”三步法。列表时，自变量取值要讲究对称性和代表性，尤其注意不能取x=0。连线时，必须用平滑的曲线按自变量由小到大的顺序依次连接各点。

▲2.图象的初步感知：函数y=6/x的图象由分别位于第一象限和第三象限的两支曲线组成。它们与坐标轴没有交点。

★3.数形结合思想的初步运用：每一个有序数对(x,y)对应图象上的一个点，图象是所有满足函数关系的点的集合。从解析式到图象，实现了从“数”到“形”的转化。

任务二：对比绘制，感知系数k的影响

教师活动：发布新任务：“请用同样的方法，独立绘制反比例函数y=-6/x的图象。”巡视指导，重点关注学生是否迁移了正确的画图方法。待大部分学生完成后，邀请学生将典型作品（包括可能出现的错误连接）进行投影展示、对比。提问引导观察：“大家将两个图象放在一起看，有什么相同点和不同点？它们的位置由什么决定？”引导学生聚焦k值的符号。

学生活动：独立完成y=-6/x图象的绘制。参与作品展示与对比讨论。观察发现：两个图象形状相同（都是双曲线），但y=6/x的图象在一、三象限，y=-6/x的图象在二、四象限。初步得出结论：k>0时，图象在一、三象限；k<0时，图象在二、四象限。

即时评价标准：1.能否独立、正确地完成第二个函数的画图，步骤规范。2.在对比观察中，能否准确描述两个图象的异同。3.能否将图象位置的差异与解析式中系数k的符号建立初步联系。

形成知识、思维、方法清单：

★4.反比例函数图象的形状与位置：反比例函数y=k/x(k≠0)的图象是双曲线。它的位置由比例系数k的符号决定：当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。

★5.从特殊到一般的归纳思维：通过对两个具体函数（k=6和k=-6）图象的观察比较，归纳出k的符号对图象位置的普遍影响，这是合情推理的重要体现。

任务三：深入观察，探究增减性性质

教师活动：这是突破难点的关键环节。首先聚焦y=6/x在第一象限的那支曲线。提问：“请同学们‘指挥’你的笔尖，沿着这支曲线从左向右‘行走’（即x增大时），看看y值如何变化？你能用一句完整的话描述这种变化规律吗？”学生可能会说“y随x的增大而减小”。此时，追问：“那在第三象限的那支曲线上，从左向右，y值如何变化呢？”（也是减小）。然后抛出认知冲突点：“既然两支曲线都是y随x增大而减小，那能不能说‘对于整个函数y=6/x，y随x的增大而减小’呢？请大家思考：当x从负值增加到正值时（例如从-1到1），对应的y值是如何变化的？”引导学生发现，从-1到1，x增大，y值从-6变到6，反而是增大了！从而引发讨论，最终引导学生精确表述：“在每一个象限内，y随x的增大而减小。”用同样方法引导学生探究y=-6/x的增减性，并归纳k值对增减性的影响。

学生活动：在教师的问题链引导下，分别观察两个函数图象在不同象限内的变化趋势。动手比划，口头描述。经历认知冲突（整体描述与事实不符），通过小组讨论和教师点拨，理解并掌握“在每一象限内”这一关键前提。最终归纳：对于y=k/x，当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。

即时评价标准：1.观察是否细致，能否准确描述单支曲线的变化趋势。2.面对认知冲突时，能否积极参与思考与讨论。3.最终归纳出的性质表述是否科学、严谨，包含了“在每一象限内”这个条件。

形成知识、思维、方法清单：

★6.反比例函数的增减性：反比例函数的增减性必须强调前提条件。当k>0时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一象限内，y随x的增大而增大。切忌脱离“在每一象限内”而谈整体增减性，这是最常见的错误。

★7.几何直观与逻辑辨析的结合：增减性的探索，首先依赖于对图象走势的直观观察（几何直观），但完整的认知需要通过数值代入等逻辑辨析来验证和修正直观可能带来的片面认识，体现数学的严谨性。

任务四：拓展思考，发现对称性（弹性任务）

教师活动：面向全体提出观察任务：“请大家从整体再看看这两个双曲线，它们看起来美吗？这种美往往蕴含着对称性。你能发现哪些对称性？”对于基础学生，引导其观察图象本身是否轴对称或中心对称。对于学有余力的学生，提出挑战性问题：“能否用代数方法（坐标关系）来验证你发现的对称性？比如，验证点(2,3)和点(3,2)是否都在y=6/x的图象上？它们关于哪条直线对称？点(2,3)和点(-2,-3)呢？”此任务不强求全体掌握，旨在为不同层次学生提供思维延伸的空间。

学生活动：观察图象，尝试描述对称性（可能发现关于直线y=x、y=-x对称，或关于原点中心对称）。部分学生尝试进行坐标代入验证。

即时评价标准：1.能否通过观察发现至少一种对称关系。2.（对挑战层）能否将几何对称性转化为坐标关系并进行初步验证。

形成知识、思维、方法清单：

▲8.反比例函数图象的对称性：反比例函数的图象（双曲线）是中心对称图形，对称中心是原点；同时，它也是轴对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x。这一性质体现了数学的和谐之美，也提供了从图象上一点认识其他相关点的途径。

第三、当堂巩固训练

设计分层、变式练习，提供即时反馈。

基础层（全体必做）：1.判断函数y=-4/x的图象所在象限，并描述其增减性。2.已知点A(2,m)在反比例函数y=8/x图象上，则m=？，点A在第几象限？

综合层（大多数学生完成）：3.若反比例函数y=(k-1)/x的图象在第二、四象限，则k的取值范围是？4.比较大小：已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在y=6/x的图象上，比较y1,y2,y3的大小。（考察增减性在具体情境中的应用）

挑战层（学有余力选做）：5.思考：反比例函数y=k/x的图象与坐标轴为什么永不相交？从解析式和图象两个角度说明。

反馈机制：基础层与综合层题目通过学生口答、板演或使用反馈器集体回答，教师针对性点评，尤其关注增减性表述的规范性。挑战层题目可请有思路的学生简要分享，教师提炼其中蕴含的“渐近”思想，但不作深度展开，作为课后思考的引子。

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。

知识整合：“同学们，这节课的探索之旅即将到站。谁能用一张‘知识地图’来概括我们今天的主要发现？可以从‘我们研究了什么对象？用了什么方法？得到了什么结论？’这几个方面来梳理。”（鼓励学生用思维导图形式口头或板演梳理，教师补充完善，形成以“定义—图象（形状、位置、对称性）—性质（增减性）”为主干的知识结构图。）

方法提炼：“回顾整个过程，我们认识一位新‘函数朋友’的基本套路是什么？（再次强化：解析式定义—描点法画图—观察归纳性质—数形结合分析。）这和认识一次函数时是不是很像？这就是数学中举一反三的力量。”

作业布置：必做作业（基础+综合）：教材对应练习题，巩固画图与基础性质。选做作业（探究）：（1）尝试探索反比例函数y=k/x的图象与坐标轴无限接近但永不相交的特性。（2）生活中还有哪些量之间的关系可以用反比例函数模型来近似描述？请举一例并简要说明。

六、作业设计

基础性作业（全体必做）：1.用描点法在同一坐标系中画出函数y=4/x和y=-4/x的图象（列表至少取6个点）。2.完成教材课后练习中关于判断图象位置、描述增减性、根据图象求函数解析式的基础题目。

拓展性作业（鼓励大多数学生完成）：3.（情境应用）某货轮装载一定货物后，吃水深度（船体浸入水中的深度）h与海水密度ρ满足反比例关系。若在密度为1.025的港口吃水深度为8米，写出函数关系式。当行驶到密度为1.000的河口时，吃水深度预计为多少？4.已知反比例函数y=(2m-1)/x的图象上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，当x1<x2<0时，有y1<y2，求m的取值范围。

探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：5.微型项目：探究|k|的几何意义。在反比例函数y=k/x(k>0)第一象限的图象上任取一点P，向x轴、y轴作垂线，构成一个矩形。这个矩形的面积是多少？你有什么发现？请写出你的探究过程与结论。6.结合物理中的电学、力学知识，查找或构思一个能用反比例函数关系描述的实际问题，并尝试建立模型进行分析。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.反比例函数图象的形状：双曲线。这是区别于一次函数（直线）的根本特征。画图时务必用光滑曲线连接。

★2.图象的位置与k的符号：k>0⇔图象在一、三象限；k<0⇔图象在二、四象限。这是根据图象判断k符号或根据k符号草图判断图象位置的直接依据，中考常考。

★3.反比例函数的增减性（核心易错点）：必须强调“在每一象限内”。口诀：“k正负定增减，象限之内看变化”。脱离前提描述增减性是典型错误，选择题、填空题中陷阱频现。

★4.反比例函数图象的对称性：既是中心对称图形（关于原点对称），也是轴对称图形（关于直线y=±x对称）。利用对称性可以快速找到图象上的点。

▲5.反比例函数图象与坐标轴的关系：无限接近但永不相交。因为x≠0，y≠0。这蕴含着“渐近线”的雏形思想，是高中深入学习的基础。

★6.用待定系数法求反比例函数解析式：只需图象上一个点的坐标(x,y)代入y=k/x即可求出k。是解决综合题的起点。

★7.反比例函数中k的几何意义（重要拓展）：如图象上任一点P(x,y)向坐标轴作垂线所得矩形面积为|k|，与三角形面积存在固定关系。这是中考压轴题中综合考查数形结合能力的常见载体。

▲8.反比例函数与方程、不等式的联系：反比例函数图象与直线的交点横坐标，即对应方程的解；图象上下位置关系可解不等式。这体现了函数观点的统领性。

八、教学反思

本次教学尝试以BOPPPS有效教学模型为隐性框架，将学科核心素养的培养贯穿于学生主动探究的全过程，并努力关照学生的个体差异。下面对预设的教学实况进行复盘与反思。

（一）目标达成度与环节有效性评估

从知识技能层面看，通过“任务一”至“任务三”的层层递进，绝大部分学生能够掌握反比例函数图象的规范画法，并能准确描述其位置与增减性。课堂设问如“为什么连线要用平滑曲线？”、“增减性能不能说成‘整体’的？”直击认知关键，有效促进了深度理解。形成性评价贯穿始终，如巡视时发现部分学生列表取值过于随意，及时通过提问“你取的这些值能很好地反映出图象的变化趋势吗？”引导调整，保证了探究起点正确。

然而，在“任务四”关于对称性的拓展中，可能只有少数思维活跃的学生能完整发现并验证。这提示此处作为弹性任务的设计是合理的，但教师需更好地把握分享环节的节奏，既要展示优秀思考成果激发全班，又要避免给中等及以下学生带来不必要的压力。当堂巩固训练的分层设计，使得不同层次学生都能获得成功体验，反馈及时，针对性较强。

（二）学生表现剖析与差异化支持

课堂上，学生表现出对新函数图象的浓厚兴趣。动手画图环节，小组协作有效弥补了个别学生操作能力的不足，实现了“兵教兵”。在探究增减性时，预设的认知冲突确实出现，学生从“理所当然”地认为整体减小，到发现反例时的困惑，再到经讨论后豁然开朗，这个过程正是思维深化、概念精准化的宝贵历程。对于学困生，提供预设部分取值的列表模板是有效的“脚手架”，帮助他们跟上探究节奏。对于学优生，“挑战层”问题和对称性的代数验证要求，为他们提供了额外的思维食粮，避免了“吃不饱”。

不足之处在于，对“渐近线”思想的渗透仅停留在“永不相交”的观察和挑战题的提及上，未能设计更直观的活动（如让x取绝对值极大和极小的值描点）让所有学生感受“无限接近”的动态过程。这是后续改进的一个方向。

（三）教学策略得失与理论归因

本节课成功践行了“学生为主体，教师为主导”的探究式教学理念。以“研究函数的一般方法”为明线，以“数形结合思想”为暗线，结构清晰。利用