八年级数学下册第十七章勾股定理考前复习导学案（人教版）

八年级数学下册第十七章勾股定理考前复习导学案（人教版）

一、教学背景分析

（一）课程标准深层解构

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（7-9年级）“图形与几何”领域的具体要求，勾股定理的教学应达到以下三层水平：水平一，探索并掌握直角三角形的三边关系，能运用勾股定理解决简单的实际问题；水平二，经历定理及其逆定理的发现与验证过程，发展合情推理与演绎推理能力；水平三，在更复杂的几何背景或跨学科情境中抽象出直角三角形模型，建立方程思想与数形结合观念。考前复习并非知识的简单重复，而是要将课标中的内容要求转化为学生的认知结构，实现从“懂”到“通”、从“会”到“活”的质变。

（二）教材地位与功能重释

人教版八年级下册第十七章处于初中几何能力分化的关键节点。前承全等三角形、轴对称与勾股定理的初步认知，后启四边形、相似三角形及圆的有关计算。勾股定理不仅是平面几何度量计算的核心工具，更是数形结合思想的发端——它将代数运算精准植入几何图形，使学生首次系统性地用方程处理几何量。复习阶段必须超越章节孤立视角，将勾股定理定位为“连接代数与几何的第一座桥梁”，并以此为暗线贯穿整个复习过程。

（三）学情诊断与备考痛点

授课对象为八年级第二学期学生，整体处于形式运算思维发展阶段。前期新授课数据表明：约92%的学生能熟记a²+b²=c²这一公式，但在以下三个维度存在系统性薄弱点——第一，情境识别盲区：当直角三角形并非以标准姿态呈现（如斜放、内嵌于其他图形）时，学生难以快速定位斜边与直角边；第二，逆定理条件错位：约35%的学生在应用逆定理时忽略“最大边平方”这一比较前提，直接将任意两边平方和与第三边平方作等量判断；第三，建模意识缺失：面对折叠、最短路径或实际测量问题时，无法将题目文字转化为明确的直角三角形及未知数方程。本复习设计将精准对应上述痛点，以微专题形式实施靶向突破。

二、复习目标体系构建

（一）知识技能目标

1.准确复述勾股定理及其逆定理的文字表述、符号表征（a²+b²=c²，∠C=90°）与图形对应关系。【非常重要】【高频考点】

2.熟练完成三类基本运算：已知任意两边求第三边；已知一边及另两边关系求各边长；判断以三数为边长的三角形是否为直角三角形。【非常重要】

3.记忆并运用至少四组常用勾股数（3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17）及其倍数性质，能通过构造直角三角形在数轴上作出表示无理数的点。【重要】【热点】

（二）过程方法目标

1.经历“折叠问题—设未知数—勾股方程—求解验证”的完整链条，提炼出解决几何计算问题的方程模型。【难点】【热点】

2.通过对圆柱侧面、长方体表面最短路径的探究，掌握立体图形平面化的转化策略，体会降维思想。

3.在逆定理判定三角形形状的变式训练中，发展从一般到特殊、再从特殊回归一般的辩证思维能力。

（三）情感态度目标

1.通过赵爽弦图、毕达哥拉斯证法等数学史的再认识，增强民族文化自信与数学审美情趣。

2.在限时检测与错题会诊中养成自我反思、精准归因的学习习惯，缓解考前焦虑，形成稳定的应试心理。

三、复习重难点精准锁定

（一）核心重点

勾股定理及其逆定理的条件、结论与内在统一性；定理在直角三角形边长计算与三角形形状判定中的规范应用。【非常重要】【高频考点】

（二）教学难点

1.折叠类问题中全等关系与勾股定理的协同运用，尤其是等量关系的发现与代数方程的建构。【难点】【热点】

2.最短路径问题中不同展开方式的方案比较与最小值筛选，空间想象能力不足导致的思维卡顿。【难点】

3.逆定理使用时对“最大边”的隐含认定，以及当三角形三边以比例形式出现时的代数化处理策略。【难点】

四、教学环境与资源准备

教师专用：交互式电子白板、几何画板6.0动态演示课件（预设赵爽弦图拼合动画、圆柱侧面展开三种方式对比、折叠过程慢放轨迹）、无线实物展台。

学生学具：A4白纸两张（用于模拟折叠与展开操作）、直尺、圆规、黑色签字笔、红笔自批专用、分层复习任务单（含基础闯关6题、能力提升2题、文化拓展1题）。

座位编排：异质分组，四人小组围坐，确保组内成员在逻辑推理、计算准确、图形直观、语言表达四维度优势互补。

五、教学实施过程（核心篇幅）

（一）入课·文化浸润与目标明示

上课铃响，教师出示PPT封面：国际数学家大会会徽——赵爽弦图，下方标注“2002·北京”。教师发问：“这幅图案征服了全世界的数学家，因为它用一张图证明了一个定理。谁能用最精炼的数学语言说出这个定理？”学生1回答：“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。”教师顺势板书课题，并补充：“今天我们不仅复习定理，更要在考前把‘知道’升级为‘通透’。”接着，教师出示本课三维目标卡片，学生快速默读，明确复习终点。此环节用时3分钟，以高观点导入迅速凝聚注意力。

（二）重构·知识体系自主编网（用时12分钟）

1.个人思维导图前置反馈

课前学生已完成个人知识图谱绘制，教师选取三份典型作品投屏：一份为放射状结构，以“勾股定理”为中心辐射六条主干；一份为递进式结构，从定理到证明再到应用呈链条延伸；一份为表格对比式，左右分列定理与逆定理。每组派代表解读构图意图。教师点评时不着眼于对错，而是赞赏其个性化逻辑，并引导全班将零散分支整合为五大模块。

2.五大模块结构化梳理

教师在白板左侧逐步生成核心知识树（文字叙述形式，非图表，但逻辑层级清晰）：

第一模块【定理本质】。节点①文字语言：直角三角形两直角边平方和等于斜边平方。节点②符号语言：在Rt△ABC中，∠C=90°⇔a²+b²=c²。节点③图形语言：明确标注直角顶点所对边为斜边。教师强调：符号语言中的“⇔”在此处仅表示定理本身，逆定理需单独表述，不可混用。【非常重要】

第二模块【定理源流】。节点①中国源流：周髀算经“勾三股四弦五”，赵爽弦图“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实”。教师简述弦图蕴含的出入相补原理，不要求全体掌握证明细节，但应知晓这是一种无字证明。【一般】节点②西方源流：毕达哥拉斯学派百牛祭，欧几里得《几何原本》第47命题。此处仅作文化拓展，不作考点要求。

第三模块【直接应用】。节点①知二求一：已知两直角边求斜边（直接用勾股定理）；已知斜边一直角边求另一直角边（勾股定理变形）。教师现场板演规范步骤：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵AB为斜边，∴AB²=AC²+BC²，代入数据，开平方取正值。【非常重要】【高频考点】节点②特殊直角三角形：等腰直角三角形三边比1:1:√2；含30°角的直角三角形三边比1:√3:2。强调此比例源于勾股定理，使用时仍需还原至具体数值计算。【重要】节点③数轴上的无理数：构造直角三角形，使斜边为所需无理数，以原点为圆心、斜边长为半径画弧。教师示范作√5、√10，学生同步尺规作图。【重要】

第四模块【逆定理与勾股数】。节点①逆定理内容：若三角形三边满足a²+b²=c²，则此三角形是以c为斜边的直角三角形。教师板书强调：必须先比较，确认c为最大边；凡能构成直角三角形者，最大边所对角必为直角。【非常重要】【高频考点】节点②勾股数定义：满足a²+b²=c²的三个正整数。教师指出1.5,2,2.5虽满足关系式，但不是勾股数；3,4,5扩大2倍得6,8,10仍是勾股数。【一般】节点③常见勾股数记忆诀窍：奇数组口诀“3,4,5；5,12,13；7,24,25（奇数平方写连续）”；偶数组口诀“8,15,17；9,40,41”。【热点】

第五模块【综合拓展】。节点①实际测量：河宽、楼高、旗杆断裂问题，核心是建立直角三角形模型。节点②折叠问题：折痕即对称轴，对称轴即角平分线，利用折叠前后线段相等构建方程。节点③最短路径：圆柱、长方体侧面上两点间路径，展开为平面后运用勾股定理。节点④动点问题：点在边上运动，用含t的代数式表示线段长，再根据等量关系列方程。【难点】【热点】

此环节教师全程以提问推进，学生口答填充各节点具体内容，最终全班在笔记本上形成结构化笔记。教师巡视，个别指导学困生理清“已知两边”时究竟哪条是斜边。

（三）破难·高频微专题靶向突破（用时25分钟，核心篇幅占比50%）

【微专题一】直接应用与方程雏形（非常重要，高频考点）

1.基础唤醒

教师出示三组口答题：

①Rt△ABC，∠C=90°，a=7，b=24，c=？

②Rt△ABC，∠B=90°，a=8，b=17，c=？

③Rt△ABC，∠A=30°，∠C=90°，AB=10，BC=？

学生独立心算，2号组员回答，1号组员点评。针对第②题，部分学生误用a²+b²=c²得出c=√353，教师立即追问：“∠B=90°，哪条边是斜边？”学生恍然大悟应为AC（b）为斜边，正确关系a²+c²=b²，c=15。教师顺势总结：“逢直角三角形求边长，第一件事——标直角符号，确定斜边位置。”此语要求学生记录在笔记本扉页。

2.方程思想初体验

例题：直角三角形有一条直角边长为11，另两条边长是连续自然数，求该三角形的周长。

师生互动：设另一直角边为x，则斜边为x+1。根据勾股定理：11²+x²=(x+1)²，展开得121+x²=x²+2x+1，解得x=60，斜边61，周长132。教师追问：“若将‘连续自然数’改为‘连续整数’，结果是否改变？”学生发现完全一致。此题虽简单，却揭示了方程法在几何计算中的通法价值——当几何量之间存在等量关系且数量不直接给出时，设未知数、根据勾股定理列方程是首选策略。【重要】

3.变式跟进

变式1：直角三角形周长为12，斜边长为5，求两直角边长。

学生尝试设直角边为a、b，得a+b=7，a²+b²=25。部分学生联立后不会解二次方程组，教师点拨：(a+b)²=49，展开得a²+2ab+b²=49，代入a²+b²=25，得2ab=24，ab=12。则a、b是方程x²-7x+12=0的两根，解得a=3，b=4。此题渗透了“和积构造”的代数技巧，对中等及以上学生是极佳思维训练。【拓展】

变式2：等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求腰长及底边长。

学生先作图，标注等腰三角形ABC，AB=AC，AD⊥BC于D。设BD=x，则BC=2x，腰AB=16-x（由周长32得AB+AC+BC=2AB+2x=32，AB=16-x）。在Rt△ABD中，(16-x)²=8²+x²，解得x=6，则腰长10，底边12。此题融合了等腰三角形三线合一性质与勾股定理，是期末考试几何综合题的基本原型。【热点】

【微专题二】逆定理判定与网格作图（非常重要，高频考点）

1.判定条件再辨析

教师呈现题组，要求学生不计算，先判断下列各组数能否作为直角三角形三边：

①0.3，0.4，0.5；②2，3，4；③√3，√4，√5；④1，2，√3；⑤9，12，15。

学生快速反应：①可以（同时提醒勾股数必须是正整数，所以0.3,0.4,0.5不是勾股数但三角形是直角三角形）；②不可以，2²+3²=13≠16；③√3²+√4²=3+4=7，√5²=5，不相等；④1²+√3²=1+3=4=2²，可以；⑤可以。针对④，有学生质疑“2不是最大边吗？”教师引导：比较三数大小，1<√3≈1.732<2，2最大，故结论正确。由此强化逆定理使用程序：排序→算平方和→比最大边平方。【非常重要】

2.网格作图与推理

例题：如图，在4×4方格中，每个小正方形边长为1，请找出格点C，使△ABC为直角三角形，且AB为其中一条直角边。（图形描述：点A、B已给定，A在左下角，B在A正右3格处）学生分组探究，发现C可在A正上方4格，得AC=4，BC=5，满足3²+4²=5²；C也可在A正下方，同理。教师追问：若AB为斜边，格点C是否存在？学生尝试发现，当AB为斜边时，直角顶点C应满足AC²+BC²=AB²=9，在格点中尝试得C在A右2格、上1格位置，AC=√5，BC=√5，满足5+5=9？不对，应是√5²+√5²=5+5=10≠9，故不存在。此活动使学生直观感受逆定理在方格背景下的迁移应用。【重要】

3.勾股数生成探微（选讲）

教师展示毕达哥拉斯学派公式：m>n为正整数，a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²，则a²+b²=c²。学生代入m=2，n=1得3,4,5；m=3，n=1得8,6,10；m=3，n=2得5,12,13。教师指出此公式可生成所有本原勾股数，但不作记忆要求，仅作为学有余力者的课外探究。【一般】【拓展】

【微专题三】折叠问题中的方程建模（难点，热点）

1.经典模型精析

例题：如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=10，将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在对角线AC上的点F处，求BE的长。（图形语言描述：长方形ABCD，AB为长边8，BC为宽边10？人教版教材通常AB是长，BC是宽，此处调整：设AB=8，AD=10，折叠△ABE，B落在AC上F点）

师生共析五步法：

第一步，明确折叠本质——△ABE≌△AFE，得AB=AF=8，BE=FE，∠AFE=∠B=90°。

第二步，发掘已知——长方形对角线AC可由勾股定理求得：AC=√(AB²+BC²)=√(8²+10²)=√164=2√41（暂保留根号）。

第三步，表示未知——设BE=x，则EC=10-x，EF=x，FC=AC-AF=2√41-8。

第四步，锁定直角三角形——在Rt△EFC中，∠EFC=90°（由∠AFE=90°及A、F、C共线得），利用勾股定理：EF²+FC²=EC²，即x²+(2√41-8)²=(10-x)²。

第五步，解方程——展开右边x²-20x+100？注意正确展开：(10-x)²=100-20x+x²，左边x²+(164-32√41+64)=x²+228-32√41。等式两边消去x²，得228-32√41=100-20x，移项20x=100-228+32√41=-128+32√41，x=(-128+32√41)/20=(-32+8√41)/5。教师指出此结果虽复杂，但符合实际，并引导学生观察是否可化简——分子提8得8(4+√41?)计算需谨慎，最终简化为(8√41-32)/5。【难点】

教师小结：折叠问题的核心是“折痕是对应点连线的中垂线”，但在初中阶段，我们常利用全等得到边等、角等，然后在某个直角三角形中用勾股定理列方程。这一模型将在九年级相似三角形中进一步深化。

2.变式迁移

变式1：将长方形改为直角三角形纸片。如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，将直角边AC沿直线AD折叠，使C落在斜边AB上的点E处，求CD的长。

学生独立仿照五步法：AC=AE=6，AB=10（勾股定理），则BE=4。设CD=DE=x，则BD=8-x，在Rt△BDE中，x²+4²=(8-x)²，解得x=3。此题数据设计更简洁，旨在巩固方法。【重要】

变式2：折叠两次问题。如图，长方形ABCD，AB=6，BC=8，先沿对角线BD折叠，使C落在C′处，再沿BE折叠，使A落在BC′上的F处，求某线段长。（此题为拓展，视课堂时间决定是否呈现）

【微专题四】最短路径与展开转化（难点，热点）

1.圆柱侧面最短路径

例题：圆柱形玻璃杯高12cm，底面周长为18cm，杯内壁离杯口3cm的A处有一滴蜂蜜，蚂蚁在杯外壁离杯底4cm的B处，求蚂蚁吃到蜂蜜的最短路径。

教师引导：将圆柱侧面沿过A点的竖直线剪开展成矩形，矩形长18cm（底面周长），宽12cm（高）。A、B在展开图中的位置：A距上边缘3cm，距左侧某边？B距下边缘4cm，且A、B位于相对的两条竖直线上？此处需明确“内壁”与“外壁”实为圆柱侧面上不同位置，展开后两点在矩形内，连线即为最短路径。学生计算：矩形宽12，A点纵坐标12-3=9（从上往下），B点纵坐标4（从下往上），两点水平距离为半周长9cm（因为A、B相对）。则最短路径L=√[(9-4)²+9²]=√(25+81)=√106≈10.3cm。教师用几何画板演示若不展开，直接在曲面上走是无法运用勾股定理的，以此强化“化曲为直”思想。【难点】【热点】

2.长方体表面最短路径

例题：长方体长5、宽4、高3，顶点A处有一只蚂蚁，想吃到顶点B处的食物（B为体对角线的另一端），求蚂蚁沿表面爬行的最短路径。

小组合作：长方体表面从A到B有六种不同展开方式，但对称性后归纳为三种典型展开：前上展开、前右展开、上右展开。分别计算三种展开图中线段长度：

展开1（前与上）：路径L1=√[(5+3)²+4²]=√(64+16)=√80=4√5≈8.94；

展开2（前与右）：L2=√[(5+4)²+3²]=√(81+9)=√90=3√10≈9.49；

展开3（上与右）：L3=√[(4+3)²+5²]=√(49+25)=√74≈8.60。

比较得最短路径为√74。教师强调：并非所有长方体问题都是最小面相邻时路径最短，必须分类计算后比较。此题综合性较强，八年级学生能掌握三种展开并计算即可，不必引申至一般结论。【难点】

【微专题五】实际应用与建模思想（非常重要，高频考点）

1.测量问题

例题：如图，小明想测量河宽，他在河对岸选定一点A，在河这边取B、C两点，测得AB⊥BC，BC=50m，∠ACB=50°？此题涉及三角函数，超出八年级范围。更换为经典“芦苇问题”：水池中有一芦苇，高出水面1尺，风吹芦苇，顶端恰好齐及水面，芦苇移动水平距离5尺，求水深。学生设水深x尺，则芦苇长(x+1)尺，根据勾股定理：x²+5²=(x+1)²，解得x=12。此题是我国古代数学名题，既训练方程建模，又渗透数学文化。【重要】

2.台风/噪音影响问题

例题：如图，公路MN与PQ交于P，∠QPN=30°，A在PQ上，PA=160米，拖拉机沿PN方向行驶，速度为18km/h，周围100米内受噪音影响，学校是否受影响？若受影响，求影响时间。

这是勾股定理与含30°直角三角形性质的综合题。师生共同分析：第一问，判断是否受影响即看点A到直线PN的距离是否≤100米。过A作AH⊥PN于H，在Rt△APH中，∠APH=30°，PA=160，则AH=½PA=80米。80<100，故受影响。第二问，求影响距离——以A为圆心，100米为半径画弧，交PN于C、D两点，则CD段为受影响路段。在Rt△AHC中，AH=80，AC=100，由勾股定理得CH=60米，则CD=120米。拖拉机速度18km/h=5m/s，时间t=120÷5=24秒。此题是八下期末压轴高频原型，要求学生完整书写解题过程。【热点】【非常重要】

（四）纠偏·典型错例会诊归因（用时8分钟）

教师展示课前搜集的六道典型错题，以匿名方式呈现，组织全班“找茬”。

错例1：在△ABC中，∠A=90°，a=6，b=8，求c。

学生错解：c=√(a²+b²)=10。

会诊：∠A=90°，则边a是∠A的对边，即BC为斜边，正确关系应为b²+c²=a²或c=√(a²-b²)=√(36-64)?无解！实际三角形中，∠A=90°，斜边是a，两直角边为b、c，已知a=6，b=8，斜边小于直角边，三角形不存在。原题数据有误，但暴露了学生“见勾股就平方相加”的机械记忆。矫正策略：每次画草图，标直角符号，明确斜边再列式。

错例2：已知三角形三边之比为3:4:5，则此三角形是直角三角形吗？

错解：是，因为3²+4²=5²。

会诊：设三边为3k,4k,5k，则(3k)²+(4k)²=9k²+16k²=25k²=(5k)²，成立。但过程缺失设k这一步，直接由比例平方相加，在严格证明中不够严谨。应补充：设每份为k，则三边为...。教师强调：比例问题必须设份数，不能直接在数字3、4、5上平方。

错例3：在数轴上作表示√13的点。

错解：画数轴，取点3，垂直向上画2单位，连原点，量出长度，在数轴上截取。

会诊：尺规作图要求保留痕迹，步骤应为：构造直角三角形，使两直角边分别为2和3，斜边为√13；以原点为圆心，斜边长为半径画弧交数轴正半轴。部分学生“量出长度”违背尺规作图精神，且误差大。

错例4：勾股定理逆定理应用：已知a=0.6，b=0.8，c=1.0，问三角形形状。

错解：是直角三角形，因为0.6²+0.8²=1.0²。

会诊：从数值计算看正确，但0.6,0.8,1.0是小数，不是勾股数，但三角形仍是直角三角形。问题在于部分学生答“是勾股数”，概念混淆。应区分“勾股数”（正整数）与“能构成直角三角形的三边”（正实数）。

错例5：折叠问题中，将矩形一角折起，使顶点落在对边上，求折痕长。部分学生直接用量角器量，或用相似三角形估算。

会诊：折叠问题的通法是用勾股定理列方程，不可依赖测量。

错例6：最短路径问题中，将长方体表面展开时，部分学生只展开相邻两面，遗漏其他展开方式，导致答案非最优。

会诊：必须分类计算，比较大小。

此环节学生以四人小组为单位，每分析一个错例，组内达成共识，由组长汇总发言。教师将错因归类为“概念混淆型”“审题疏漏型”“方法欠缺型”“规范失分型”，并给出针对性处方。

（五）融合·跨学科视角与素养拓展（用时5分钟）

1.物理中的勾股定理

教师简述：光的反射定律“入射角等于反射角”在解决台球问题时，可通过“将军饮马”模型转化为勾股计算。如图，台球桌长a宽b，从底边某点击球，经底边反射后击中顶边某点，最短路径即入射点位置需运用勾股定理计算对称点距离。不要求全体掌握，但借此说明勾股定理是描述空间路径长度的基本工具，不仅属于数学。

2.艺术中的√2矩形

教师展示A4纸（210mm×297mm），引导学生测量长宽比约为297:210≈1.414:1=√2:1。教师演示：将A4纸对折，得到A5纸，长宽比仍为√2:1。这是德国工业标准（DIN）的数学原理——利用√2的无理数特性，保证缩放后不变形。学生计算A4纸对角线长度：√(210²+297²)≈363.7，与√3倍短边（210×1.732=363.7）吻合。此环节仅作文化欣赏，培养学生用数学眼光观察世界。

（六）淬炼·限时检测与即时反馈（用时12分钟）

学生独立闭卷完成复习任务单上的6道基础闯关题和2道能力提升题，要求书写完整步骤。

基础闯关（每题2分钟，共12分钟）：

[1]在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则AC=。

[2]三角形的三边为7、24、25，则最大边上的高为。

[3]写出两组常见的勾股数：、。

[4]直角三角形的两边长分别为2和3，则第三边长为______。

[5]如图，一棵大树离地面6米处折断，树顶落在离树根8米处，求大树原高度。

[6]判断以a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m>n>0）为三边的三角形是否是直角三角形，并说明理由。

能力提升（每题3分钟）：

[1]台风问题变式：台风中心位于点O，以20km/h速度向东北方向移动，点A在O南偏东30°方向，距离100km，台风影响半径为50km。问A是否受影响？若受影响，影响时间多长？（提示：需构造含30°直角三角形）

[2]如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=8，E为BC中点，F为CD上一动点，将△CEF沿EF折叠，使C落在C′处，当C′恰好落在AD上时，求DF的长。

学生作答期间，教师巡视，重点关注第4题（分类讨论，第三边可能是√13或√5）、第6题（部分学生只写结论不写推导过程）、能力提升第2题（折叠后C′在AD上，需两次勾股方程）。12分钟后，同桌交换答案，教师逐题公布标准解答，红笔批阅并统计正确率。第4题若漏掉√5或√13，教师再次强调“已知两边未指明直角边还是斜边”必须分两类讨论。

（七）升华·小结与认知结构固化（用时5分钟）

教师引导从“知识、方法、素养”三维度复盘。

知识维度：一个核心定理（勾股定理）、一个判定定理（逆定理）、两类特殊三角形（等腰Rt、含30°Rt）、三类基本应用（求边、判形、实际建模）。

方法维度：方程建模法、转化展开法、分类讨论法、数形结合法。教师板书四个关键词，并分别对应本节课一道典型例题。

素养维度：严谨的逻辑推理（逆定理使用前提）、大胆的几何想象（最短路径展开）、执着的探究精神（折叠问题中复杂根式