人教版初中数学九年级下册《29.1 投影》第1课时教案（平行投影与中心投影）

人教版初中数学九年级下册《29.1投影》第1课时教案（平行投影与中心投影）

一、课标解读与核心素养锚定

本节课属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域的重要内容。课标明确要求，通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念；能辨别现实生活中的投影现象是属于中心投影还是平行投影；初步了解视图与投影在现实生活中的应用，发展学生的空间观念和几何直观。

从核心素养的维度审视，本节课承载着多重培养目标：

1.空间观念：通过从具体实物到抽象投影的转化过程，以及逆向根据投影想象原物体的思维活动，构建二维平面图形与三维立体世界之间的心理映射，是发展空间观念的典型载体。

2.几何直观：利用光线（投射线）的直观想象，将物体的形状用影子（投影）这种直观的方式表现出来，帮助学生“用图形思考”，是培养几何直观的绝佳途径。

3.应用意识：投影知识与美术（透视学）、工程技术（制图）、地理（日晷）、传统文化（皮影戏）等紧密相连，引导学生用数学眼光观察现实世界，用数学思维分析实际问题。

4.创新意识：在探究投影规律、设计投影实验的过程中，鼓励学生大胆猜想、动手验证，激发创新思维。

二、学情分析与教学起点研判

认知基础：九年级学生已经掌握了基本的立体几何图形（如柱、锥、球）的性质，具备初步的空间想象能力。在物理学科中已学习了“光沿直线传播”的基本原理，这为理解投影的形成条件奠定了跨学科知识基础。同时，学生对“影子”这一生活现象有丰富的感性经验。

思维特征：该年龄段学生的抽象逻辑思维正处于发展的关键期，能够逐步从具体形象思维向理论型抽象思维过渡。他们乐于参与探究活动，但对概念的严谨性、分类的系统性仍需教师引导和强化。

潜在困难：学生容易混淆“投影”与“影子”的概念（投影更强调“图”的结果，影子偏向“区域”）；对平行投影与中心投影的本质区别（投射线是否交于一点）理解可能停留在表象；在复杂情境下辨别投影类型可能存在困难。

教学起点：本节课应从学生最熟悉的“影子”游戏和现象入手，通过科学化、数学化的提炼，上升到“投影”概念，进而通过对比观察和实验探究，归纳出两种投影的本质特征与区别。

三、教学目标（基于素养导向）

维度

具体目标

知识与技能

1.理解投影、投影线、投影面的概念。

2.掌握中心投影与平行投影的定义，能准确识别其本质特征（投射线是否交于一点）。

3.能根据光源（太阳或灯泡）的位置特征，判断其形成的投影类型，并能举例说明生活中的两种投影现象。

4.初步感知平行投影中正投影的特性，为后续学习三视图埋下伏笔。

过程与方法

1.经历从实际背景中抽象出投影概念的过程，体会数学抽象的思想方法。

2.通过小组合作实验、观察对比、归纳概括，掌握区分中心投影与平行投影的方法，发展探究能力和归纳能力。

3.在运用数学知识解释生活现象、解决简单实际问题的过程中，体验数学模型的应用价值。

情感、态度与价值观

1.感受投影知识与日常生活、科学技术、传统文化的密切联系，激发学习兴趣和求知欲。

2.在探究活动中培养严谨求实的科学态度和合作交流的团队精神。

3.欣赏投影艺术（如皮影戏、建筑光影）的美学价值，提升人文素养和数学审美。

四、教学重难点

1.教学重点：

1.2.投影、投影线、投影面等基本概念的形成。

2.3.中心投影与平行投影的概念及其本质区别。

4.教学难点：

1.5.从感性具体的“影子”现象中，抽象出理性一般的“投影”数学模型。

2.6.在动态变化的情境中（如光源移动、物体移动），准确判断和分析投影类型及其变化规律。

五、教学准备

1.教师准备：

1.2.多媒体课件：包含丰富的图片（日晷、皮影戏、建筑图纸、舞台灯光、行道树影、手影游戏等）、动画（演示投影形成过程、两种投影的对比、投射线动态变化）。

2.3.实验器材（分组）：小手电筒（模拟点光源）、平行光源（如打开手机闪光灯并附加自制平行光栅，或用小型激光笔模拟）、不同形状的几何体模型（立方体、三棱锥、圆柱、圆锥）、白色卡纸（作投影面）、铅笔、三角板。

3.4.教具：一个较大的不透明物体（如玩具汽车）、一台可移动的台灯、一块大屏幕或白板。

5.学生准备：预习课本相关内容，观察生活中的影子现象。

六、教学过程设计

（一）创设情境，悬疑激趣(预计用时：8分钟)

活动一：光影之问——从生活到数学

1.情境导入：教师播放一段简短的混合视频，内容依次为：清晨拉长的身影、皮影戏表演、建筑工地的图纸、夜晚路灯下的树影、手术室的无影灯。播放后提问：

“同学们，这些场景中都蕴含着一个共同的数学元素，是什么？”（预设：影子/光与影）

“这些‘影子’一样吗？它们形成的原因有没有区别？”

2.聚焦现象：展示两张对比鲜明的图片：正午时分笔直的行道树影子与夜晚同一盏路灯下行人长短、方向变化的影子。

“请大家观察，这两种影子给你的直观感受有何不同？猜想一下，为什么会有这样的不同？”

（引导学生从光源的特点——太阳“遥远”且“巨大”，路灯“近”且“小”——进行思考。）

3.揭示课题：教师总结：“‘影子’在我们的生活中司空见惯，但其中却蕴含着深刻的数学原理。今天，我们就将‘影子’请进数学课堂，用一个更科学、更严谨的术语来研究它——‘投影’。我们将一起揭开平行投影与中心投影的奥秘。”

【设计意图】从跨学科、多维度的生活与艺术场景切入，快速聚焦核心现象，制造认知冲突（影子为何不同），激发学生的好奇心和探究欲。将生活语言“影子”自然过渡到数学语言“投影”，明确本节课的研究对象。

（二）操作探究，建构概念(预计用时：22分钟)

活动二：模型初建——提炼核心要素

1.概念形成：

1.2.教师利用台灯和玩具汽车，在屏幕上现场制造一个影子。引导学生用语言描述影子是如何产生的。

2.3.师生共同梳理关键要素：光线（灯光）→照射物体（汽车）→在背景（屏幕）上留下。

3.4.教师给出标准数学表述：照射的光线叫做投影线；留下影子的屏幕叫做投影面；得到的影子叫做这个物体的投影。

4.5.板书关键概念：投影线、投影面、投影。

5.6.巩固理解：请学生用刚学的三个术语，重新描述一次手影游戏的过程。

7.实验探究（一）：感知两种投影

1.8.分组实验：学生以4人小组为单位，利用提供的器材进行探索。

2.9.任务一：用手电筒（点光源）照射一个几何体（如立方体），观察在白色卡纸上形成的投影。缓慢改变手电筒的位置（前后、左右、上下），观察投影的大小和形状如何变化。保持物体和投影面不动。

3.10.任务二：换用平行光源（或模拟平行光）照射同一个几何体，观察投影。同样改变光源方向（注意是改变照射方向，而非位置前后移动），观察投影的变化。

4.11.教师巡视指导，提示学生关注“投影线”的几何特征，并用自己的语言记录观察结果。

活动三：对比归纳——揭示本质区别

1.汇报交流：各小组派代表分享观察发现。

1.2.对于手电筒（点光源）：投影线是从一个点（灯泡）发散出去的；移动光源，投影大小变化非常明显；投影的形状有时与物体本身差别较大（如立方体可能产生非矩形的投影）。

2.3.对于平行光源：投影线是平行线；移动光源方向，投影大小可能变化，但形状与物体的某个面更“像”；当光线方向改变时，影子方向也改变。

4.抽象建模：

1.5.教师利用动画课件，将两种实验情境进行几何抽象。

2.6.动画一：展示一个点光源S，发出光线SA,SB,SC…照射物体△ABC，在平面H上形成投影△A'B'C'。强调所有投影线SA,SB,SC都相交于同一点S。

“像这样，投影线交于一点的投影，称为中心投影。这个交点叫做投影中心。”

（举例：皮影戏、电影放映机、眼睛看物体形成的视觉图像本质上都是中心投影。）

3.7.动画二：将点光源S移至无限远处，投影线SA,SB,SC逐渐变得平行。此时，照射物体△ABC，在平面H上形成投影△A'B'C'。

“我们可以想象，当投影中心距离投影面无限远时，投影线可以看作是平行的。像这样，投影线互相平行的投影，称为平行投影。”

（举例：太阳光下的影子、工程制图中的正投影与斜投影。）

4.8.关键对比：课件将两幅图并列，用不同颜色高亮投影线。核心问题驱动：

“中心投影与平行投影最根本的区别是什么？”

（引导学生得出核心结论：投影线是否交于一点（是否有唯一的投影中心）。）

9.概念辨析：

1.10.提问：“太阳是一个巨大的球体，它发出的光严格来说不是平行光，为什么我们把阳光下的影子归为平行投影？”

2.11.引导学生理解：由于太阳离地球非常遥远，到达地球表面的阳光可以近似看作平行光。这是一种数学模型化的思想——抓主要特征（方向大致相同），忽略次要细节（轻微的散射）。

3.12.强调：平行投影中，根据投影线与投影面是否垂直，可分为正投影（垂直）和斜投影（不垂直）。正投影是后续学习“三视图”的基础，此处只需感知。

【设计意图】本环节是概念建构的核心。通过“实验—观察—描述—抽象—归纳”的完整科学探究过程，让学生亲历概念的形成。从具体操作到几何抽象，从现象差异到本质区别，层层递进，帮助学生牢固建立中心投影与平行投影的数学模型，并深刻理解其区分的关键。对太阳光的讨论，渗透了数学建模和近似思想。

（三）深化理解，辨析应用(预计用时：12分钟)

活动四：火眼金睛——概念的应用与辨析

1.快速判断（课件出示系列图片，学生抢答或齐答）：

1.2.探照灯的光柱（属于平行光线，但未形成物体投影，不是投影问题）。

2.3.教室中，在荧光灯下看书的影子（多光源，情况复杂，通常近似为平行投影）。

3.4.照相馆的影楼灯下的人像摄影（中心投影）。

4.5.用放大镜聚焦太阳光烧纸（光線汇聚，不是形成投影，不是）。

5.6.古代计时工具日晷上晷针的影子（平行投影中的正投影）。

教师强调：判断的关键是分析形成投影的光线（投影线）的几何关系，而不是光源本身的形状或强弱。

7.情境分析（小组讨论）：

1.8.问题1：小明的身高是1.6米，他在太阳下的影子长2米。同一时刻，一棵树的影子长10米。这棵树有多高？能用今天所学的知识解释计算方法吗？

（引导学生发现：太阳光是平行投影，因此物体高度与其影长成比例。这是平行投影的一个重要性质，为相似三角形应用做铺垫。）

2.9.问题2：晚上，你从路灯下走向远处，你的影子长度如何变化？为什么？

（引导学生用中心投影的模型解释：投影中心（路灯）固定，人远离时，投影线与地面的夹角变小，导致影子变长。）

10.错例辨析：

1.11.教师展示一个错误说法：“光线强的就是平行投影，光线弱的就是中心投影。”

2.12.引导学生批判：投影类型的划分依据是投影线的几何关系（是否平行），与光线的强弱、颜色等物理属性无关。

【设计意图】通过多层次、多角度的辨析与应用练习，促进学生对概念的理解从“记忆”走向“应用”和“批判”。快速判断巩固基本识别能力；情境分析将数学与生活、与其他数学知识（相似）联系起来，体现应用价值；错例辨析则锻炼思维的严谨性，杜绝概念误解。

（四）拓展联结，文化浸润(预计用时：5分钟)

活动五：光影纵横——跨学科的视野

1.投影与艺术：简要介绍“透视学”在西方文艺复兴绘画中的革命性作用。展示达·芬奇《最后的晚餐》的透视线稿，指出画家利用中心投影原理，在二维画布上创造了三维空间的深度幻觉。

2.投影与科技：展示一张建筑结构施工图，说明工程制图采用的都是平行投影中的正投影，因为它能准确反映物体的真实形状和尺寸，便于测量和施工。

3.投影与历史：介绍中国古代的“墨经”中已有关于小孔成像（一种特殊的中心投影）的记载，以及日晷（平行投影的应用）的发明，感受古人的智慧。

4.微项目预告：布置一个课后兴趣任务——尝试用中心投影的原理，绘制教室一角（或自己的课桌）的透视图；或设计一个简单的手影戏剧本。

【设计意图】打破学科壁垒，展示投影知识在美术、工程、历史等领域的广泛应用和深远影响，拓宽学生视野，感受数学的文化价值和力量。预告微项目，将学习延伸到课后，满足不同层次学生的需求。

（五）反思小结，体系内化(预计用时：3分钟)

活动六：回顾梳理——构建知识网络

1.学生自主小结：鼓励学生用思维导图或结构化语言，梳理本节课的核心知识点（投影三要素、两种投影的定义与区别、联系与实例）。

2.教师提炼升华：

1.3.知识线：我们由生活现象“影子”抽象出数学模型“投影”，并依据投影线的几何关系将其科学分类为中心投影与平行投影。

2.4.方法线：我们运用了观察、实验、比较、归纳、抽象等科学方法。

3.5.思想线：体会了从具体到抽象、分类讨论、数学建模的数学思想。

4.6.价值线：认识到数学源于生活、用于生活，是连接科学与艺术、技术与文化的桥梁。

【设计意图】通过自主梳理与教师精讲相结合，帮助学生将零散的知识点整合成结构化的认知网络，明确学习路径，感悟思想方法，实现知识、能力与素养的同步提升。

七、板书设计

图表

代码

全屏

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平行投影

定义:投影线互相平行

分类

正投影:投影线⊥投影面

斜投影:投影线不⊥投影面

特征:能反映物体实际形状/尺寸的某些特征

实例:阳光下的影子、工程图纸

中心投影

定义:投影线交于一点投影中心

特征:投影大小、形状随相对位置变化大

实例:路灯下人影、皮影戏、透视画

生活现象:“影子”

数学抽象:投影

核心三要素

投影线

投影面

投影

分类依据:投影线几何关系

（右侧辅助区）

1.关键区分：中心投影←投影线交于一点→平行投影

2.核心思想：抽象、分类、建模

3.随堂思考题：无影灯是如何消除手术中的影子的？（它用多个光源从不同方向照射，使物体产生的多个本影区域相互重叠抵消，本质上是对中心投影的综合运用与控制。）

八、分层作业设计

1.【基础巩固】（必做）

1.2.完成教材配套练习中关于识别中心投影与平行投影的基础题目。

2.3.列举生活中3个中心投影和3个平行投影的实例，并简要说明判断理由。

3.4.画出示意图，说明在