九年级数学下册《图形的位似变换》单元整体教案

九年级数学下册《图形的位似变换》单元整体教案

一、单元整体设计

1.单元教学设计理念

本单元教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，秉承“核心素养导向”的课程理念，致力于超越孤立的知识点教学，构建以“图形的位似变换”为核心概念的结构化学习单元。设计着眼于发展学生的几何直观、空间观念、推理能力和模型思想，通过“情境-问题-探究-应用-反思”的线索，引导学生经历完整的数学抽象与再创造过程。

我们深刻认识到，“位似”作为“相似”知识体系中的特殊与高阶形态，是连接图形全等变换、相似变换与后续投影几何、仿射变换的桥梁。因此，本单元设计强调整体性、关联性与发展性：纵向上，紧密勾连已学的全等变换（平移、旋转、轴对称）和相似图形基础知识；横向上，适度渗透与物理光学、美术透视、计算机图形学等领域的联系，彰显数学的跨学科应用价值。教学将深度融合信息技术（如动态几何软件），构建可视化、可交互的探究环境，促进学生对位似本质——即“形状相同、位置特定、缩放有序”的深度理解。

2.课程标准与教材分析

课标要求分析：

《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形与几何”领域明确要求：“了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。”这一要求位于“图形的变化”主题之下，其内涵远不止于识记定义。课标隐含了对学生以下能力的期待：

1.能从具体情境中抽象出位似变换的数学特征。

2.能理解位似中心、位似比等核心要素的决定性作用。

3.能掌握基本的位似作图方法，并理解其原理。

4.能初步运用位似的知识解决简单的实际问题，或解释相关现象。

教材（人教版）结构解析：

人教版教材将“位似”安排在九年级下册第二十七章“相似”的最后一节（27.3），具有总结与升华的意义。教材编排遵循从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律：

1.引入：通过生活中放大照片、放映电影等实例，直观感知“放大或缩小”但形状不变的图形关系，引出位似的初步概念。

2.概念形成：精确定义位似图形、位似中心、位似比（特别是同侧与异侧位似）。

3.性质探究：探究位似图形的对应点连线交于一点、对应边平行（或共线）、周长比等于位似比、面积比等于位似比的平方等核心性质。

4.作图与应用：学习利用位似中心放大或缩小图形的作图方法，并解决简单的实际问题（如绘制区域地图）。

教材的例题与练习设计侧重于概念辨析与基础作图，为本单元教学的深度与广度拓展留下了充足空间。

3.学情分析

九年级下学期的学生已具备以下认知基础：

1.知识基础：熟练掌握全等三角形的性质与判定；理解了相似多边形、相似三角形的定义与基本性质（对应角相等，对应边成比例）；掌握了平行线分线段成比例定理。

2.能力基础：具备一定的几何直观和空间想象能力；能够进行简单的几何推理和论证；初步适应了从具体实例中抽象数学概念的学习方式。

3.经验基础：在生活中对图形的放大与缩小有大量感性经验（如使用放大镜、查看地图比例尺、调节图片大小等）。

然而，学生可能面临以下学习挑战：

1.概念混淆：容易将位似与一般的相似混淆，难以把握“对应点连线交于定点（位似中心）”这一核心区别。

2.思维定势：习惯于静态观察图形，对动态的变换过程，特别是位似中心位置变化对图形位置的影响，想象困难。

3.综合应用薄弱：将位似性质与先前所学的相似三角形、坐标等知识综合运用的能力有待提高。

4.单元学习目标

1.知识与技能：

1.理解位似图形、位似中心、位似比（包括同侧与异侧）的概念，能准确识别位似图形。

2.掌握位似图形的基本性质，并能用几何语言进行描述和简单证明。

3.能熟练运用尺规或坐标方法，按要求作出一个图形的位似图形。

4.能综合运用位似知识解决简单的测量、绘图等实际问题。

2.过程与方法：

1.经历从生活实例抽象数学概念的过程，提升数学抽象能力。

2.通过观察、猜想、验证、归纳位似性质的活动，发展合情推理与演绎推理能力。

3.在利用几何画板等软件探索位似动态变化的过程中，增强几何直观和空间想象能力。

4.在解决跨学科情境问题的过程中，初步建立数学模型，体验数学的应用价值。

3.情感、态度与价值观：

1.感受位似变换的和谐与统一之美，激发学习几何的兴趣。

2.体会数学与生活、科技、艺术的广泛联系，认识数学的价值。

3.在合作探究中养成严谨求实的科学态度和乐于分享的协作精神。

5.单元教学重难点

1.教学重点：

1.2.位似图形的概念及其核心特征（对应点连线交于一点）。

2.3.位似图形的性质（对应边平行、线段比、周长比、面积比）。

3.4.位似图形的作图方法。

5.教学难点：

1.6.位似概念中“对应点连线交于一点”与一般相似的区别与联系。

2.7.位似中心在图形内部、边上、外部及无穷远处时，位似图形的不同情况。

3.8.在平面直角坐标系中，探索以原点和非原点为位似中心的位似变换坐标规律，并进行综合应用。

6.单元教学规划（共4课时）

1.第1课时：走进位似世界——概念的形成与辨析

2.第2课时：探秘位似性质——从猜想到论证

3.第3课时：位似的画笔——作图与坐标表示

4.第4课时：位似之光——跨学科应用与项目实践

二、分课时教学设计

第1课时：走进位似世界——概念的形成与辨析

教学目标：

1.通过丰富的现实情境，直观感知位似现象，经历位似概念的抽象过程。

2.能准确叙述位似图形、位似中心、位似比的定义，理解其核心数学特征。

3.能正确区分位似图形与相似图形，能判断两个图形是否位似，并找出位似中心和位似比。

4.了解同侧位似和异侧位似的区别。

教学重难点：

1.重点：位似图形概念的形成及其核心特征的理解。

2.难点：从“形状相同”的相似中，剥离出“位置特殊（连线共点）”的位似本质。

教学准备：

多媒体课件、几何画板软件、课前拍摄的校园景物一组不同焦距的照片、网格纸、学习任务单。

教学过程：

（一）创设情境，激趣引思（预计时间：8分钟）

1.视觉对比：大屏幕同时呈现三组图片：

1.2.组1：同一座教学楼的两张照片，一张正常拍摄，一张用长焦镜头“拉近”拍摄。

2.3.组2：一个三角形用投影仪投射到幕布上，幕布前后移动形成的两个大小不同的三角形影子。

3.4.组3：利用扫描仪将一幅小图案放大200%前后对比图。

5.问题链驱动：

1.6.“这三组图片中的两个图形，它们形状上有什么关系？”（引导学生回顾“相似”）

2.7.“它们仅仅是相似吗？仔细观察每组中两个图形对应点（如楼的顶点、三角形的顶点、图案的关键点）之间的位置关系，有什么特别之处吗？”（鼓励学生用语言描述，如“好像都朝向一个点”、“连线会相交”）

3.8.“你能在每组图片中大致指出这个所有连线似乎都要经过的‘神秘点’吗？”

9.揭示课题：教师总结学生的发现，引出这种特殊的相似——位似，并板书课题。

【设计意图】从学生熟悉的多元场景切入，设置认知冲突（是相似，但位置关系特殊），激发探究欲望。问题链引导学生从关注“形状”深入到关注“点与点之间的位置关系”，为概念抽象做铺垫。

（二）操作探究，建构概念（预计时间：15分钟）

1.活动一：网格纸上“造”位似

1.2.学生在网格纸上给定一个△ABC和一个点O。

2.3.任务：连接OA、OB、OC，分别在这些射线上取点A‘,B’,C‘，使得OA’/OA=OB‘/OB=OC’/OC=2。连接A‘B’，B‘C’，C‘A’，得到△A‘B’C‘。

3.4.观察与思考：△ABC与△A‘B’C‘有什么关系？测量角度和边长验证。连接AA’，BB‘，CC’，你有什么惊人的发现？

4.5.小组交流后汇报：两个三角形相似；对应点连线AA‘,BB’，CC‘交于同一点O；对应边A’B‘//AB,B’C‘//BC,C’A‘//CA。

6.活动二：几何画板动态验证

1.7.教师用几何画板预先制作好模型：一个△ABC，一个自由点O，以及按固定比值（可调节）在射线OA,OB,OC上取点构造的△A‘B’C‘。

2.8.动态演示1：拖动点O，观察△A‘B’C‘的变化，但AA’,BB‘,CC’始终交于点O。

3.9.动态演示2：调节比值k（从正到负），观察当k>0和k<0时，△A‘B’C‘与△ABC的位置关系（同侧与异侧）。特别演示当|k|<1时，图形是缩小。

4.10.引导学生用语言描述所见规律。

11.归纳定义，明晰要素

1.12.在学生活动与观察的基础上，师生共同归纳位似图形的精确定义。

2.13.板书核心内容：

位似图形：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。

位似比：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比k。

分类：k>0时，对应点在位似中心同侧；k<0时，对应点在位似中心异侧。

【设计意图】通过“动手画”和“动态看”两个层次的活动，让学生亲历位似图形的“创造”过程，从具体操作中自然发现其核心特征。几何画板的动态演示将抽象的“位似中心移动”、“位似比变化”可视化，有效突破了难点，帮助学生深刻理解概念的三要素。

（三）辨析深化，巩固理解（预计时间：12分钟）

1.概念辨析题（判断并说明理由）：

1.2.所有相似图形都是位似图形。（×，强调“对应点连线共点”的必要性）

2.3.位似图形一定是全等图形。（×，强调k≠1时不等）

3.4.位似中心一定在图形的外部。（×，展示位似中心在边上、内部的几何画板示例）

4.5.两个全等图形一定是位似图形。（√，此时位似中心是两图形对应点连线的交点，位似比为1）

6.技能训练题：

1.7.课件出示几组图形（包括位似和非位似的相似图形），请学生快速判断哪些是位似图形。若是，请用不同颜色笔在图上标出可能的位似中心，并估测位似比。

2.8.课本例题及变式练习：已知位似中心和位似比，判断对应点。

【设计意图】通过辨析正反例，特别是针对学生易错点设计判断，深化对概念本质的理解。技能训练则强化识别与标注的关键操作，将概念转化为可执行的动作。

（四）课堂小结，勾连体系（预计时间：5分钟）

1.引导学生用思维导图或关键词云的形式小结本节课核心：一个概念（位似）、两个要素（位似中心、位似比）、一个核心特征（对应点连线共点）、两种类型（同侧、异侧）。

2.将位似“嵌入”已学的图形变换知识体系：图形变换→保形变换→相似变换→位似变换（缩放+特定方向）。提问：“我们学过的平移、旋转、轴对称也是保形变换，它们和位似变换有什么根本不同？”（引发思考，为下节课比较性质埋下伏笔）。

板书设计：

（左侧）27.3图形的位似（一）

（中部）

一、概念

1.定义：……（关键词突出）

2.要素：位似中心(O)、位似比(k)

3.分类：k>0（同侧位似）；k<0（异侧位似）

二、特征

对应点连线交于一点（位似中心）

（右侧）学生探究成果展示区（网格图、判断练习）

作业设计：

1.基础题：完成课本对应习题，巩固概念识别。

2.探究题：寻找生活中或网络上的位似现象实例（不少于3个），拍照或截图，并尝试分析其位似中心和大致位似比。

3.预习思考：位似图形除了“对应点连线共点”，还有哪些性质？与一般相似图形的性质有何异同？

第2课时：探秘位似性质——从猜想到论证

教学目标：

1.通过观察、度量、猜想位似图形的几何性质，发展合情推理能力。

2.能够证明位似图形对应边平行（或共线）、周长比等于位似比、面积比等于位似比的平方等核心性质。

3.理解位似性质与相似性质之间的包含与递进关系。

4.能初步运用位似性质进行计算和简单推理。

教学重难点：

1.重点：位似图形性质（对应边平行、线段比例关系）的探究与证明。

2.难点：面积比等于位似比平方的推导，以及性质的综合灵活运用。

教学准备：

几何画板软件、证明用题组卡片、小组合作学习记录单。

教学过程：

（一）复习回顾，提出问题（预计时间：5分钟）

1.快速提问：什么是位似图形？决定位似的关键是什么？（对应点连线共点）

2.情境回顾：上节课的网格图作图活动中，除了对应点连线交于一点，你还观察到位似图形之间有什么其他关系？（学生可能答：边平行、形状一样但大小按比例等）

3.提出核心问题：“位似作为一种特殊的相似，它‘特殊’在位置关系上。那么，从度量和逻辑的角度，它除了继承相似图形的所有性质（对应角相等，对应边成比例）之外，还会有哪些独有的或更深入的性质呢？今天，让我们化身数学侦探，一起探秘！”

【设计意图】温故知新，从已有观察经验中直接引出本课探究主题，目标明确。

（二）合作探究，猜想验证（预计时间：20分钟）

探究活动：位似性质大发现

1.组织形式：4人小组，每组配备安装几何画板的平板电脑或共用教师主控的大屏幕。

2.任务与步骤：

1.3.动态观察：在几何画板中打开上节课的位似模型（△ABC与△A‘B’C‘，位似中心O，位似比k可调）。

2.4.大胆猜想：拖动点A、B、C或O，改变k值（正、负），观察并记录两个三角形在边的位置关系、周长、面积等方面的关系。将猜想记录在《学习记录单》上。

3.5.小心求证：选择1-2个你们认为最重要的猜想，尝试进行几何证明。可参考课本，也可自主思考。

6.教师引导性提问（巡回指导时使用）：

1.7.“对应边AB和A‘B’除了成比例，在位置上有什么特点？当O在它们之间时呢？”（引导发现：对应边平行或共线）

2.8.“△ABC的周长与△A‘B’C‘的周长之比，和k有什么关系？如何证明？”

3.9.“面积之比呢？是等于k吗？数格子或利用面积公式算算看。”

4.10.“如果两个图形是位似多边形，这些性质还成立吗？”

11.预期猜想与发现：

1.12.性质1（位置关系）：位似图形的对应边互相平行（或在同一直线上）。（对于一般多边形，是“对应边所在直线平行”）

2.13.性质2（继承与深化）：位似图形的对应角相等，对应线段（边、高、中线、角平分线等）之比等于位似比|k|。

3.14.性质3（周长）：位似图形的周长比等于位似比|k|。

4.15.性质4（面积）：位似图形的面积比等于位似比的平方，即k²。

【设计意图】将课堂还给学生，让他们在信息技术支持下进行开放探究。从观察到猜想，再到尝试证明，完整经历数学发现过程。合作学习促进思维碰撞。

（三）论证交流，体系建构（预计时间：12分钟）

1.小组汇报：各小组派代表分享他们的发现及证明思路。教师将核心性质板书。

2.集体论证：针对难点“面积比等于k²”，组织全班进行逻辑推导。

1.3.思路引导：从特殊（位似三角形）到一般（位似多边形）。

2.4.对于△ABC与△A‘B’C‘：

∵S△ABC=1/2*AB*h(h为AB边上的高)，

∵AB/A‘B’=h/h‘=|k|(性质2，对应高之比也等于|k|)，

∴S△ABC/S△A‘B’C‘=(AB*h)/(A’B‘*h’)=|k|*|k|=k²。

3.5.对于多边形，可分割为三角形进行证明。

6.对比联系：将位似性质与相似性质列成表格进行对比。

性质

相似图形

位似图形（特殊相似）

对应角

相等

相等

对应边

成比例

成比例

对应点连线

无特定关系

相交于一点（位似中心）

对应边位置

无特定关系

平行或共线

周长比

等于相似比

等于位似比

k

面积比

等于相似比的平方

等于位似比平方k²

强调：位似具备相似的一切性质，并增加了关于“位置”的特定性质。

【设计意图】通过汇报和集体论证，将感性猜想上升为理性认知，完成知识的内化。对比表格帮助学生厘清知识间的逻辑关系，构建清晰的知识网络。

**（四）应用迁移，巩固提升（预计时间：8分钟）

1.基础应用：

1.2.已知两个位似五边形的位似比为3:2（同侧），大五边形周长为30cm，求小五边形周长。

2.3.已知两个位似三角形的面积比为4:9，则它们的位似比是多少？（注意正负两种情况）

4.综合推理：

1.5.如图，△ABC与△ADE位似，点C为位似中心，且BC:CE=2:1。若△ABC的面积为12，求四边形BDEC的面积。

2.6.（本题需要学生识别位似中心在图形外部的情况，并综合运用面积比性质）

板书设计：

（左侧）27.3图形的位似（二）：性质

（中部）

一、核心性质

1.对应边平行（或共线）

2.对应角相等；对应线段之比=|k|

3.周长比=|k|

4.面积比=k²

二、与相似的关系

（右侧表格对比）

作业设计：

1.必做题：课本习题中涉及位似性质证明与计算的题目。

2.选做题：证明“以多边形内任意一点为位似中心，将该多边形放大n倍，则新多边形面积是原图形的n²倍”。

3.实践题：用尺规作图法，将一个已知五边形按2:1放大（位似中心自定）。测量并验证周长比和面积比是否符合今天所学的性质。

第3课时：位似的画笔——作图与坐标表示

教学目标：

1.掌握利用位似中心作一个图形的位似图形（放大或缩小）的尺规作图方法。

2.探索在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换坐标规律，并能熟练应用。

3.初步探索以非原点为位似中心的坐标变换规律。

4.体会“形”与“数”在位似变换中的统一，提升数形结合能力。

教学重难点：

1.重点：位似作图的方法与步骤；坐标系中以原点为位似中心的坐标变换公式。

2.难点：理解位似作图原理；自主探索非原点位似中心的坐标规律。

教学准备：

直尺、圆规、多媒体课件、坐标网格纸、Geogebra软件。

教学过程：

（一）问题导入，引出作图需求（预计时间：5分钟）

1.展示情境：考古学家发现一个残破的古代图腾图案（一个简单的多边形），希望按原比例的2倍复原它，但只有一块碎片和其上的一个关键点O被认为是原始图案的中心点。

2.提出问题：“如何利用这个碎片（原图）和点O，精确地画出放大2倍后的完整图腾？”引出本课主题——位似作图。

【设计意图】创设具有挑战性的实际情境，让学生体会学习位似作图的必要性。

（二）探究活动一：尺规作图法（预计时间：15分钟）

1.原理分析：回顾位似定义和性质。要作出放大2倍的图形，即位似比k=2（同侧）。关键是确定原图形每个关键点的对应点，满足：连线过O点，且距离之比为2:1。

2.教师示范：以放大一个△ABC为例（点O在外部），分步演示尺规作图过程，并讲解每一步的原理。

1.3.步骤1：连接OA、OB、OC。

2.4.步骤2：分别在OA、OB、OC的延长线上取点A‘、B’、C‘，使得OA’=2OA，OB‘=2OB，OC’=2OC。

3.5.步骤3：顺次连接A‘、B’、C‘。

4.6.强调：取点顺序（先连线，再截取），使用圆规精确截取长度。

7.学生模仿与变式：

1.8.任务1：在学案上，仿照老师的方法，将给定的四边形按k=3放大（O在外部）。

2.9.任务2（挑战）：若要将△ABC按k=1/2缩小（即|k|=0.5），且O在三角形内部，该如何作图？（引导学生思考：此时点A’在线段OA上）

10.方法归纳：师生共同总结位似作图“三步法”：一连线（连接关键点与O）、二定比（按k在射线上截取）、三连接（连接新点成形）。并讨论k>0与k<0（异侧）时作图的区别（反向延长线）。

【设计意图】从原理到示范，再到模仿与变式练习，使学生扎实掌握这一重要的几何作图技能。强调原理理解胜过机械步骤记忆。

（三）探究活动二：坐标系中的位似（预计时间：18分钟）

1.情境转换：“尺规作图很精确，但效率较低。如果我们将图形放在平面直角坐标系中，能否找到更‘数学’、更快捷的方法来描述和实现位似变换？”

2.特殊到一般：以原点O为位似中心

1.3.活动：在Geogebra中展示第一象限的一个点P(2,3)。设定以原点O为位似中心，位似比k=2。

1.2.4.提问：点P‘在哪？请学生根据位似定义在坐标纸上标出估计位置。

2.3.5.动画演示：连接OP并延长，取OP‘=2OP，显示P’坐标(4,6)。

3.4.6.继续演示点Q(-1,2)，k=2时，Q‘(-2,4)；k=-1时，P’’(-2,-3)。

5.7.猜想与验证：分小组，给定不同的原有点和k值（正、负），在坐标纸上计算或作图找出对应点坐标，填写表格，寻找规律。

原有点坐标

位似比k

对应点坐标

规律猜想

(x,y)

2

(2x,2y)

(kx,ky)

(x,y)

-1

(-x,-y)

(kx,ky)

(x,y)

1/2

(x/2,y/2)

(kx,ky)

6.8.归纳结论：在平面直角坐标系中，如果以原点O为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。即：若原图形上点坐标为(x,y)，则其位似图形上对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)（分别对应同侧和异侧）。

9.拓展思考：非原点的位似中心

1.10.提出问题：如果位似中心不是原点，而是平面内任意一点C(a,b)，这个坐标规律还成立吗？如何找到新的规律？

2.11.引导思路：可以通过坐标系的平移，将问题化归为已解决的情况。

3.12.简要推导（可视学生接受情况决定讲解深度）：

将坐标系平移，使新原点与C重合。则在新坐标系X‘O’Y‘中，点P(x,y)变为P(x-a,y-b)。在新系中以O’进行位似变换得P‘(k(x-a),k(y-b))。再将P’坐标平移回原系，得到P‘(k(x-a)+a,k(y-b)+b)。

4.13.给出公式（供学有余力学生使用）：以点C(a,b)为位似中心，位似比为k，则对应点坐标变换为(x’,y‘)=(k(x-a)+a,k(y-b)+b)。

【设计意图】本环节是数形结合的典范。通过技术工具直观发现规律，再通过数学活动验证归纳，培养学生的抽象概括能力。引入非原点情况，体现了思维的深度和知识的完整性。

**（四）综合应用，灵活选择（预计时间：7分钟）

1.选择题：

1.2.（尺规作图题）将一个小图标按比例放大，用于制作海报。

2.3.（坐标计算题）在计算机图形处理中，一个多边形顶点坐标已知，编程实现其以某点为中心的缩放。

4.例题：已知△ABC顶点A(1,2),B(3,1),C(2,4)，以原点O为位似中心，位似比为-2，画出位似图形△A‘B’C‘，并写出各顶点坐标。

1.5.要求学生先用坐标公式计算，再在网格纸上验证作图。

板书设计：

（左侧）27.3图形的位似（三）：作图与坐标

（中部）

一、尺规作图法

1.原理：定义（对应点连线共点，距离成比）

2.步骤：一连、二截、三连

3.注意：k的正负（同侧/异侧）

二、坐标系中的位似

4.中心为原点O：(x,y)→(kx,ky)或(-kx,-ky)

5.中心为C(a,b)：(x,y)→(k(x-a)+a,k(y-b)+b)（拓展）

作业设计：

1.基础题：完成课本关于作图和坐标的练习题。

2.应用题：设计一个简单的班徽图案（由几个点、线段构成），并：

1.3.用尺规作图法将其放大1.5倍（位似中心自选）。

2.4.建立坐标系，标出关键点坐标，用坐标法验证你的作图。

5.探究题：在Geogebra中验证非原点位似中心的坐标变换公式。

第4课时：位似之光——跨学科应用与项目实践

教学目标：

1.能综合运用位似知识，解决测量、绘图等实际问题，提升数学建模能力。

2.了解位似在物理（光学）、艺术（透视）、工程制图、信息技术等领域的应用，体会数学的跨学科价值。

3.通过完成一个小型项目，经历“发现问题-建立模型-求解验证-表达交流”的完整过程，发展综合实践能力与创新意识。

教学重难点：

1.重点：位似知识的综合应用与跨学科联系。

2.难点：从实际问题中抽象出位似模型，并进行合理的解释与求解。

教学准备：

凸透镜成像实验器材（或视频）、透视画法的图片与视频、城市规划地图（局部）、多媒体课件、项目学习任务单。

教学过程：

（一）位似视角看世界：跨学科链接（预计时间：20分钟）

1.物理之光：凸透镜成像

1.2.播放凸透镜成像实验视频（或现场演示），展示物体在1倍焦距以外成倒立实像的现象。

2.3.建立模型：引导学生将凸透镜的光心抽象为位似中心，将物体和实像抽象为两个位似图形。

3.4.分析探讨：

1.4.5.为什么是“位似”而不仅仅是“相似”？（对应点连线通过光心）

2.5.6.此时的位似比（像高:物高）与什么有关？（物距、像距，引出物理公式1/u+1/v=1/f，并与位似比k=v/u联系）

3.6.7.成倒立实像对应位似中的哪种情况？（k<0，异侧位似）

7.8.意义：用简洁的位似模型，深刻揭示了复杂光学现象背后的几何本质。

9.艺术之美：透视与绘画

1.10.展示达芬奇《最后的晚餐》等运用透视原理的名画，以及简单的街景透视图。

2.11.现象分析：平行街道的铁轨、路灯、窗户，在画中为何会相交于一点（消失点）？

3.12.模型建构：将观察者眼睛视为一个点（视点），画面视为一个平面。三维空间中一组平行线（不与画面平行）投影到二维画面上，其投影线延长后会相交于一点（灭点）。这本质上是将三维空间中的物体，通过“中心投影”变换到二维平面上。

4.13.与位似的关联：“中心投影”下，一个平面图形与其投影是位似关系吗？讨论得出：严格来说，只有投影平面与原图形平面平行时，才是位似（位似中心是视点）。但这体现了位似思想在更广泛变换中的应用。

14.工程之基：地图与工程制图

1.15.展示一张城市局部地图，上面有比例尺1:10000。

2.16.提问：地图与实地是什么关系？（相似）是位似吗？（从理论上，若忽略地球曲率，且地图采用正投影，可以把整个制图区域抽象为一个点光源下的投影，存在一个“制图中心”，但实际中常用的是更复杂的投影变换。然而，在小区域范围内，可以近似看作位似变换。）

3.17.应用计算：已知地图上两点距离为5cm，比例尺1:10000，求实地距离。

【设计意图】打破学科壁垒，展示数学（尤其是位似）作为基础工具在解释和改造世界中的强大力量。每个例子都力求建立清晰的数学模型，避免泛泛而谈，让学生真正看到数学的“有用”和“有趣”。

（二）项目实践：校园平面图绘制（预计时间：20分钟）

1.发布项目任务：以小组为单位，为学校操场区域的几个主要设施（如主席台、篮球架、旗杆等）绘制一张比例准确的平面示意图。假设无法直接测量远距离长度。

2.提供材料与约束：提供皮尺（长度有限，如20米）、测角仪（或简易量角器）、记录板。目标设施间距可能超过皮尺长度。

3.引导建立模型：

1.4.核心问题：如何利用有限工具测量无法直接到达的两点距离？

2.5.位似方法提示：能否在地面上构造一个小的、可测量的位似图形，来反推实际图形？

3.6.参考方案（供学生探索后提示）：

1.4.7.选择两个目标点A、B（如两个篮球架底座中心）。

2.5.8.在地面适当位置找一点O，使得可以同时看到A、B，并能量得OA、OB的距离（在皮尺范围内）。

3.6.9.在射线OA、OB上分别取点A‘、B’，使得OA‘/OA=OB’/OB=一个较小的比值（如1/5）。则△OA‘B’与△OAB位似。

4.7.10.测量A‘B’的长度。

5.8.11.根据位似比，计算AB=A‘B’/(1/5)=5*A‘B’。

12.小组合作实施：各小组制定测量方案，进行实地或模拟测量（可在教室用模型模拟），记录数据，进行计算，并绘制最终平面图。

13.交流与评价：各小组展示成果，重点阐述如何运用位似思想解决问题，并分析可能产生的误差及原因。

【设计意图】通过真实的项目任务，驱动学生创造性地应用所学知识解决复杂问题。测量问题引导学生主动构造位似模型，这是对知识最高层次的理解和应用。合作与实践过程全面培养了学生的综合素养。

（三）单元总结与升华（预计时间：5分钟）

1.知识网络重构：师生共同回顾本单元四节课的旅程，从概念到性质，从作图到坐标，再到跨学科应用，用一幅大的概念图将“位似”的知识结构、思想方法、应用领域清晰地呈现出来。

2.思想方法提炼：强调在本单元学习中贯穿的数学思想：从特殊到一般、数形结合、数学模型、类比联想。

3.结语：位似，不仅仅是图形的一种变换，更是一种观察世界的视角，一种解决问题的工具。希望同学们能用数学的眼光，去发现生活中更多隐藏的“位似”之美，用数学的思维去探索未知的世界。

板书设计：

（本课时板书以思维导图或概念图为主，呈现位似与各领域的联系及项目解决方案框架）

（中心）位似变换

（分支1）科学之光：凸透镜成像(O:光心，k=v/u，异侧)

（分支2）艺术之韵：透视原理(中心投影，灭点)

（分支3）工程之尺：地图与测量(比例尺，近似位似)

（分支4）实践之智：项目——间接测