《信号分析与处理》-第 2 章 连续时间信号的时域分析

2.1信号的分类信号的种类很多,可从不同角度对信号进行分类。1.确定信号与随机信号若一信号能表示为确定的时间函数,对于给定的某一时刻,信号有确定的函数值,这种信号称为确定信号。例如,电路课程中研究的正弦信号、指数信号等都是确定信号。随机信号不是时间的确定函数,它在每一个确定时刻的取值是不确定的,只能通过大量实验测出某时刻取某一数值的概率。无线通信中的干扰与噪声、电路元件中的热噪声等,都是随机信号。下一页返回2.1信号的分类实际传输的信号几乎都是随机信号。若传输的是确定信号,则对接收者来说,就不可能由它得知任何新的信息,从而失去了传送消息的本意。但是,在一定条件下,随机信号也会表现出某种确定性,例如在一个较长的时间内随时间变化的规律比较确定,即可近似地看成是确定信号。本书中只研究确定信号。2.周期信号与非周期信号根据信号在时间上是否具有周而复始的特性可将信号分为周期信号与非周期信号。周期信号是指每隔一定时间T,周而复始且无始无终的信号,其表达式常表示为f(t)=f(t+nT)n=0,±1,±2,…(2-1)上一页下一页返回2.1信号的分类满足式(2-1)的最小T值称为该信号的周期,常见的周期信号如正余弦信号。若信号在时间上不具有周而复始的特性,则称该信号为非周期信号,如指数信号就是典型的非周期信号。非周期信号也可以看成周期T趋于无穷大的周期信号。实际传输的信号大部分是非周期信号,本书将对这两种信号分别进行研究。上一页下一页返回2.1信号的分类3.连续时间信号与离散时间信号根据时间函数取值是连续还是离散可将信号分为连续时间信号与离散时间信号。若在讨论的时间间隔内,除若干不连续点之外,对于任意时间值都可给出确定的函数值,此信号称为连续时间信号。连续时间信号的幅值可以连续也可以是离散的,若时间及幅值均连续称为模拟信号,如正弦信号,如图2-1(a)所示。若幅值为有限个不连续点的连续时间信号称为量化信号,如图2-1(b)所示。离散时间信号在时间上是离散的,只在一些特定的时间点上有函数值,其他时间点无定义。离散时间信号的幅值可以是连续的也可以是离散的,若时间及幅值均离散称为数字信号,如图2-2(a)所示;若时间离散,幅值连续称为抽样信号,如图2-2(b)所示,抽样信号是模拟信号数字化的中间结果。上一页下一页返回2.1信号的分类4.一维信号与多维信号根据时间函数的变量是一个还是多个可将信号分为一维信号与多维信号。一维信号的变量只有一个,如语音信号就是一维信号。多维信号的变量可以有多个,若变量为两个称为二维信号,如黑白图像就是一个二维信号。若变量为三个称为三维信号,如黑白电视信号就是一个三维信号,本书为研究方便只研究一维信号。信号的常见分类除以上形式外,还可将信号分为能量信号与功率信号、实信号与复信号,在此因篇幅限制不做一一阐述。上一页返回2.2连续时间信号及其基本特性2.2.1常用信号的基本特性1.指数信号指数信号的表达式为

A为直流信号的幅值,指数信号的波形如图2-3所示。实际中的指数信号常为单边衰减的指数信号,其表达式为下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性式中,α>0,α的倒数称为指数信号的时间常数,记为τ。单边信号指的是信号只在t≥0有值,其波形如图2-4所示,由图可知,在时间τ处,信号衰减到初始值的36.8%。指数信号最重要的特性为该信号的微分与积分仍然是指数形式。2.正弦信号正弦信号与余弦信号因相位上只相差π/2,故一般可统称为正弦信号,其一般形式为实际分析中,经常还会遇到单边衰减的正弦信号,其表达式为上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性单边衰减的正弦信号的波形如图2-6所示。单边衰减的正弦信号以正弦信号振荡,其幅度按指数规律衰减。3.抽样信号抽样信号有时也称为抽样函数,其表达式为抽样信号的波形如图2-7所示。4.复指数信号若将指数信号的指数因子换成复数,则称之为复指数信号,其表达式为上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性式中,s为复数,称为复频率,可以表示为s=σ+jΩ,借助欧拉公式将式(2-8)展开,可得2.2.2单位阶跃信号和单位冲激信号在连续时间信号中,除了上述常见的信号外,还有一类信号,这些信号本身有不连续点(跳变点)或者它的微分与积分存在不连续点的情况,这类信号统称为奇异信号或奇异函数。上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性1.单位斜变信号斜变信号,指的是从某一时刻开始随时间正比增长的信号,若增长的斜率为1,称为单位斜变信号,开始时刻为0的单位斜变信号的数学表达式为开始时刻为0的单位斜变信号的波形如图2-9所示。若开始的时刻为t0,称之为延时的单位斜变信号,其数学表达式为其波形如图2-10所示。上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性斜变信号可用来表示三角脉冲信号。如图2-11所示的三角脉冲信号可用斜变信号表示为2.单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表达式为上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性单位阶跃信号的波形如图2-12所示。单位阶跃信号在t=0处函数值未定义,它有一个不连续点或称为跳变点,其跳变值为1,正是由于有这一跳变点,且跳变值为1,才将该信号形象地称为单位阶跃信号。若跳变点发生的时刻为t0,称之为延时的单位阶跃信号,其数学表达式为延时的单位阶跃信号的波形如图2-13所示。实际应用中会不会出现u(t)呢?考察如图2-14所示的电路。上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性阶跃信号具有如下一些性质:1)阶跃信号与斜变信号的关系容易看出,阶跃信号与斜变信号之间具有微积分的关系,即满足2)阶跃信号的单边特性当任意信号与阶跃信号相乘时,将保留阶跃信号作用时刻以后的波形。如图2-15所示的波形可用数学表达式表示为上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性如图2-16所示的波形可用数学表达式表示为3)阶跃信号可以用来表示某些脉冲信号常利用阶跃信号与延时阶跃信号之差来表示矩形脉冲,如图2-17所示的波形可用数学表达式表示为式中,E为脉冲幅度,简称脉幅;τ为脉冲宽度,简称脉宽,表示脉冲作用的时间,根据阶跃信号的这一特性,可以用它们来表示信号的作用区间,如图2-18所示的波形可用数学表达式表示为上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性也可以利用上述特性来表示其他脉冲信号,在表示时主要关注脉冲信号发生跳变的时刻、跳变时刻的跳变量、跳变的方向,其中跳变时刻确定阶跃信号的发生时刻,跳变量确定阶跃信号的系数,跳变方向确定阶跃信号的正负。如图2-19所示的波形可用数学表达式表示为3.单位冲激信号单位冲激信号是一种重要的奇异信号,它是对作用时间极短、幅值极大,但能量有限恒定的一种物理量的理想化模型,如雷电信号、打棒球的冲击力均可以看成冲激信号。上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性下面结合一个电路从物理概念上理解如何产生冲激信号。如图2-14所示电路,当t=0时,开关闭合,电压源向电容充电,电压源上电压的表达式如式(2-22)所示,若电路是理想电路,则电容上电压vC(t)与电压源相同,其波形如图2-20(a)所示:电容中的充电电流iC(t)的数学表达式为其波形如图2-21(a)所示:上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性冲激函数常有两种定义方法,一种是利用规则函数取极限的方法进行定义,另一种定义由狄拉克提出。利用规则函数取极限的方法中规则函数除矩形脉冲外,常采用三角脉冲及抽样信号。以三角脉冲为例,其演变为冲激函数的波形如图2-22所示。狄拉克给出的冲激函数定义式如下:由式(2-25)可知,冲激函数在t≠0时函数值为0,在t=0时函数值为无穷大,冲激函数与横轴所围的面积为1。单位冲激函数及延时的单位冲激函数的波形如图2-23所示。上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性冲激函数用箭头表示,箭头对应的时刻即为冲激发生的时刻,箭头旁括号内的数字表示面积,也称之为冲激强度。若冲激发生的时刻为t0,称之为延时的单位冲激函数,记为δ(t-t0),其数学表达式为若冲激强度为k的冲激函数记为kδ(t)或kδ(t-t0)。冲激函数的箭头方向可向上,也可向下,向下时冲激强度前加负号,向上的冲激函数表示在冲激发生的时刻释放能量,而向下的冲激函数表示在冲激发生的时刻获取能量。上一页下一页返回2.2连续时间信号及其基本特性4.冲激偶信号冲激偶信号是冲激信号的微分,用δ'(t)表示,其波形如图2-24所示:冲激偶信号具有如下一些特性:(1)冲激偶信号是奇函数,即(2)至此介绍了奇异信号中的斜变信号、阶跃信号、冲激信号及冲激偶信号,它们之间的关系如图2-25所示。上一页返回2.3信号的运算2.3.1信号的加减和信号的相乘两个信号的和(或差)信号在任意时刻的值等于这两个信号在该时刻的和(或差),即该结论可以推广到多个信号,注意两信号必须是同一时刻的值才能进行加减。2.3.2信号的反褶、尺度变换与时移1.信号的反褶f(t)→f(-t)信号的反褶指的是以纵轴镜像对称,就是用-t替换f(t)表达式中的独立变量t;若原信号为偶函数,则翻转后的波形与原信号相同。下一页返回2.3信号的运算2.信号的尺度变换f(t)→f(at)信号的尺度变换是用at替换f(t)表达式中的独立变量t,若a>1,f(at)表示将f(t)的波形在时间轴压缩至原来的1/a;若0<a<1,f(at)表示将f(t)的波形在时间轴扩展至原来的1/a。3.信号的时移f(t)→f(t+t0)信号的时移是用t+t0

替换f(t)表达式中的独立变量t,若t0>0,f(t+t0)表示将f(t)的波形在时间轴上左移;若t0<0,f(t+t0)表示将f(t)的波形在时间轴上右移,在时移变换中,信号的波形并不发生变化,只是波形的位置相对于原来的位置发生了移动。上一页下一页返回2.3信号的运算2.3.3信号的微分与积分1.信号的微分信号的微分运算是指f(t)对t求导,常记作f’(t)或,若原信号有不连续点(或跳变点),则跳变点的导数为冲激函数,冲激的时刻为跳变点发生跳变的时刻,冲激的强度为跳变点的跳变量。2.信号的积分信号的积分运算是指f(t)在(-∞,t)区间内求积分,常记作f(-1)(t)或∫t-∞f(τ)dτ,它在任意时刻的值等于(-∞,t)区间内f(t)与时间轴所围的面积。上一页下一页返回2.3信号的运算2.3.4信号的卷积积分信号的卷积积分,常简称为卷积,用符号“*”表示,卷积的定义式为1.卷积的图形解释为理解卷积的概念,可结合图形进行解释,根据卷积的定义式,可将卷积的求解过程分为以下几个步骤:(1)变量替换,不改变原波形形状,即将f1(t)→f1(τ),f2(t)→f2(τ);(2)反褶,即将f2(τ)→f2(-τ);上一页下一页返回2.3信号的运算(3)时移,即将f2(-τ)→f2(t-τ),t的正负将影响移动的位置;(4)相乘,即将f1(τ)f2(t-τ);(5)积分,即对f1(τ)f2(t-τ)在(-∞,+∞)内求积分,一般将f1(τ)f2(t-τ)相乘不为零(即两信号有重叠部分)的区间作为积分的上下限,而且t的值对积分结果有影响。2.卷积的性质利用卷积的性质可使卷积运算的计算过程大为简化。1)卷积的代数性质(1)交换律上一页下一页返回2.3信号的运算由交换律可知,任意两个函数卷积时卷积的顺序可以交换。(2)分配律由分配律可知,任意信号与其他信号和相卷积等于该信号分别与其他信号卷积的和。(3)结合律由结合律可知,两信号卷积后与第三个信号卷积的结果,等于第一个信号与后两个信号卷积结果的卷积。上一页下一页返回2.3信号的运算2)卷积的微分与积分(1)卷积的微分(2)卷积的积分卷积的积分性质表明任意两个信号卷积的积分等于一个信号的积分与另一个信号的卷积。上一页下一页返回2.3信号的运算3)与冲激信号的卷积积分特性利用卷积的定义及冲激信号的特性,很容易得出任意信号与冲激信号的卷积的特性,其性质如下:4)卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t),则根据时移特性有:上一页返回2.4信号的分解在对信号进行分析与处理时,为简化分析常将复杂信号分解为一些简单的基本信号之和,不同的分解角度可得到不同的分量。1.奇分量与偶分量任意信号可分解为奇分量与偶分量和的形式,即式中,fe(t)为偶分量,其定义为fo(t)为奇分量,其定义为下一页返回2.4信号的分解在分析奇分量、偶分量与原信号的关系时,可用-t去替换式(249)中的变量t,得结合式(251)与式(252),可得信号分解为奇分量与偶分量的实例如图2-36所示。上一页下一页返回2.4信号的分解特别地,若原信号为偶函数,则其奇分量为零,偶分量为其本身;若原信号为奇函数,则其偶分量为零,奇分量为其本身。2.直流分量与交流分量任意信号可分解为直流分量与交流分量和的形式,即3.脉冲分量任意信号f(t)可分解为一系列矩形脉冲分量和的形式,分解后的图形如图2-37所示。4.正交函数分量任意信号f(t)可表示为n维正交函数之和,即上一页返回2.5利用MATLAB进行连续时间信号的时域分析MATLAB处理连续信号是采用信号在等间隔点的采样值来近似表示,当采样间隔足够小时,可以看成连续信号的近似。本章主要利用MATLAB进行连续时间信号的时域分析。1.连续时间信号的表示连续时间信号的表示方法有向量表示法与符号运算表示法两种。1)指数信号指数信号Aeat(a为实数)在MATLAB中可用exp函数表示,其调用形式为2)正弦信号正弦信