2026年山东济宁市高三一模高考数学试卷试题（答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年高考模拟考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数满足，则复数（

）A． B． C． D．2．集合，则（

）A． B．C． D．3．抛物线的焦点坐标是（

）A． B． C． D．4．已知数列的首项，且满足，则（

）A． B． C．10 D．125．已知中，若，且点在上，则（

）A． B． C． D．16．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若图象的一个对称中心为，则的最小值为（

）A． B．1 C． D．27．四面体中，平面平面，，，则该四面体外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．已知函数，为的导函数，若，使得，则实数的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是（

）A．数据的第50百分位数为32B．已知随机变量服从正态分布，则C．已知两个变量线性相关，其经验回归方程为，若，则D．若样本数据的方差为2，则数据的方差为410．已知双曲线的左､右焦点分别为，过且斜率为的直线与的右支交于点，则（

）A．的离心率为B．C．的最小值为-9D．若以实轴为直径的圆与相切，则11．对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（

）A．若集合，则B．若集合，则C．若集合，则D．记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．展开式中的常数项为__________.（用数字作答）13．圆与直线相切于点，则直线的斜率为__________.14．已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且.(1)若，求的大小；(2)当取得最小值时，求的面积.16．已知函数.(1)求函数的单调区间和极值；(2)求证：当且时，.17．如图，在三棱柱中，平面平面，为的中点，为的中点.(1)求证：平面；(2)若三棱柱的体积为，求与平面所成角的正弦值.18．已知椭圆的两焦点分别为，离心率为，为椭圆上三个不重合的点，且直线经过点与关于轴对称.(1)求椭圆的标准方程；(2)求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标；(3)求内切圆半径的取值范围.19．2026年春节期间，甲乙两名同学在商场参加一个小游戏，且分在同一组.现有三个不透明的盒子，盒中分别装有若干个除颜色不同外，其他均相同的球，盒中有1个红球，2个黄球；盒中有1个红球，3个黄球；盒中有5个红球，3个黄球.游戏规则如下：两人为一组参加游戏，游戏按轮依次进行，每一轮都是甲先从盒中随机摸出1个小球，记录颜色后再放回盒内，然后，乙根据甲摸到小球的颜色在指定的盒子中有放回地摸一个小球.若甲摸到红球，则乙从盒中摸球；若甲摸到黄球，则乙从盒中摸球.记录乙摸出小球的颜色后放回小球，本轮结束.在一轮摸球过程中，若甲和乙摸出的小球颜色相同，则二人获得一张“骐骥”卡片；若颜色不同，则二人获得一张“驰骋”卡片.规定连续两轮获得“驰骋”卡片时游戏结束，否则，继续游戏.假设每轮摸球结果互不影响.(1)求甲乙两人在一轮摸球游戏中，获得一张“驰骋”卡片的概率；(2)记甲乙两人在第轮摸球结束时依然未终止摸球游戏的概率为，且.（i）求；（ii）求，并判断：当时，是否无限趋近于一个常数？若是，求出的值；若不是，请说明理由.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【分析】由复数的除法运算，分子分母同乘分母的共轭复数，化简即可得出结果.【详解】故选：C【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了运算求解能力，属于容易题目.2．C【分析】先分别解指数不等式、绝对值不等式得到集合、，再计算的补集，最后求交集得到结果.【详解】因为指数函数是上的增函数，所以由，可得，即；而，等价于或，解得或，即或所以，故.3．A【详解】抛物线方程为，标准形式：，可得，解得，焦点坐标为.4．A【分析】根据递推关系得，结合等差数列定义写出的通项公式，即可得答案.【详解】由题意可得：，令，则可得：，所以是等差数列，公差为2.又因为，所以，所以.5．C【详解】中，由，得，，又，且点在上，则，所以.6．B【分析】求出图象的对称中心后利用代入法可得，故可求的最小值.【详解】因为图象的一个对称中心为，故图象的对称中心为，故，故，而，故.7．B【分析】先由正弦定理求出的外接圆半径，作于点，求得，证明，先后求得，得，求出，进而，推得点为该四面体外接球的球心，即可求得其表面积.【详解】如图，设的外心为点，过点作于点，连接，取边的中点为点，连接，则.因平面平面平面平面，平面，则平面又平面故.因为，，所以，在中，由正弦定理，，解得，在中，，则，在中，由面积相等可得，解得，则，，在中，，在中，，即，故点为该四面体外接球的球心，故其表面积为.8．C【分析】求导得的解析式，根据基本不等式，可得的值域及的单调性，根据条件可得与的值域的关系，结合二次不等式的解法，即可得答案.【详解】由题意，定义域为R，因为恒成立，所以，当且仅当，即时取等号，则的值域为，且在R上单调递增，由，得，因为，使得，所以，即，令，则，解得或（舍），所以，解得，则实数的最小值为.9．BC【分析】利用第50百分位数的性质判断A，利用正态分布的性质判断B，利用回归方程的性质判断C，利用数据方差的性质判断D即可.【详解】对于A选项，按顺序排列数据27，30，31，32，38，41，48，54，第50百分位数即为中位数，所以该数为，故A错误；对于B选项，因为随机变量服从正态分布，，则，所以，所以，故B正确；对于C选项，因为，经验回归方程为，所以，解得，故C正确；对于D选项，因为样本数据的方差为2，所以数据的方差为，故D错误.10．BCD【分析】对于A选项，通过离心率的定义求解即可；对于B选项，直线与双曲线联立，由韦达定理以及直线与双曲线交于右支求解即可；对于C选项，设，分别表达出，，再由在双曲线上求解即可；对于D选项，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，求解，再由直线与双曲线联立，由余弦定理求解即可.【详解】对于A选项，由双曲线方程为，可得，，所以，所以，，所以离心率为，故A错误；对于B选项，，设直线：，直线与双曲线联立可得，，，，，，因为直线与双曲线右支交于一点，所以，解得，故B正确；对于C选项，设，，，所以，由在双曲线上可得，代入可得，，当时，取得最小值，可得，故C正确；对于D选项，以实轴为直径的圆，圆心为原点，半径，直线与圆相切，由点到直线的距离公式，，联立求解坐标，将代入双曲线方程，可得，解得，，所以，，，，故D正确.11．AC【分析】选项A，用裂项相消法求和；选项B，通过试根分解多项式，判断实根个数后计算集合模长；选项C，构造函数求导分析单调性与最值，确定方程根的个数，再通过函数关系推导两根之和的范围；选项D，找到周期内最大和规律后计算不同值下的模长差值.【详解】选项A，，A正确；选项B，解方程得：，二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误；C选项，设，求导得，时，递增；时，递减；最大值，且，因此一个零点；又，因此另一个零点，则，C正确；选项D，集合元素差为或，均小于，因此可将按每个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可，时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和；每组（第组，）的和为，因此时总和：，，D错误.12．【详解】，令，得，故展开式中的常数项为．13．##【详解】由圆与直线相切于点，得，解得，圆的圆心为，过切点的圆的半径所在直线斜率为，所以直线的斜率为.14．【分析】分类讨论，求得函数的解析式，利用数形结合求得实数的取值范围.【详解】函数在上单调递增，，在上单调递增，，当，即时，，且，当，即，，且，当，即时，，且，因此，在坐标系内作出函数和的图像，如图所示关于的方程恰有三个不相等的实数根，则.所以实数的取值范围是.15．(1)；(2)【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出；（2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积.【详解】（1）因为，由正弦定理得，因为的角平分线交BC于点D，所以，由，得，则，即，所以，在中，由余弦定理得，即；（2）由，得，得，化简得，即，所以，当且仅当时等号成立，取得最小值，此时，面积为．16．(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】（1）对函数求导并令导数为，找到临界点，通过分析导数在不同区间的符号确定函数单调性，进而求出极小值与极大值；（2）构造函数并求导，将问题转化为分析导函数的最小值，结合已知的范围判断恒正，从而推出单调性，最终证明不等式.【详解】（1）函数的定义域为，,令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增。所以的单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值.（2）令，则，由（1）可知，即的最小值为，已知，代入得：，因此对任意恒成立，故在上单调递增，当时，，即：得证.【点睛】本题的核心是通过导数分析函数单调性，以极值为桥梁，将不等式证明转化为函数最小值的符号判断.17．(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形为平行四边形，进而可得，可证结论；（2）由已知可得平面，结合柱体的体积公式求得，建立空间直角坐标系，利用向量法可求得与平面所成角的正弦值.【详解】（1）取的中点为，连接，因为为的中点，所以且，又因为为的中点，，，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因为平面平面，平面平面，，所以平面，所以为三棱柱的高，所以，所以，解得，在平面内作，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，令，则，则平面的一个法向量为，设与平面所成角为，所以.所以与平面所成角的正弦值为.18．(1)(2)证明见解析，定点为(3)【分析】（1）根据焦点坐标，可得c值，根据离心率，可得a值，则可求出，即可得答案.（2）直线AC的方程为，与椭圆联立，设，则，根据韦达定理，可得表达式，求出直线AB的方程，化简整理，即可得答案.（3）根据椭圆的定义，可得的周长，即可得内切圆半径r的表达式，根据韦达定理，可得的面积S的表达式，结合基本不等式，可得S的范围，即可得答案.【详解】（1）由椭圆的焦点分别为，得，由离心率，得，则，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：由直线AC过，设直线AC的方程为，因为不重合且B与关于轴对称，所以m存在且，联立，得，设，则，则又直线AB的斜率，所以直线AB的方程为，整理得令，得，所以直线AB恒过点.（3）由椭圆的定义得的周长为，则的面积，所以，又令，由，得，则，所以，因为在上单调递增，所以，则，所以，即内切圆半径的取值范围为.19．(1)(2)（i），（ii），当时，是否无限趋近于一个常数，即.【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式，结合分类讨论即可求解，（2）根据，可得递推关系，分情