2025-2026学年下学期河北秦皇岛高二数学3月开学考试卷（含解析）

高二数学注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第一、二册。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.数列−14,−2A.−nnC.−nn2.下列求导正确的是A.x3−C.xD.e3.已知向量a=−1,A.7B.8C.9D.104.已知数列an满足an=1A.1B.5C.45D.5.图1所示的为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径AB=82,深度MO=2,信号处理中心图1图2A.4B.8C.2D.46.已知A1,−1,B为直线l:2x−y+5=0上的动点，C为ABA.2x−yC.2x−y7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A.3B.5C.3D.58.已知m∈1,e,若对任意的x∈0,+∞,不等式2A.-1B.-2C.0D.1二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知三条直线l1:2x+y−3=0,l2A.-2B.−12C.10.若函数fx=x1−lnxA.−1C.1eD.11.任取一个正整数，若是奇数，则将该数乘3再加上1；若是偶数，则将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”等).如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→ 8→4→2→1A.若m=26,则使得an=1B.若m=4,则C.若m=1，则数列an的前D.若a6=4，则m三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.A1,−1,1是直线l上一点,a=1,1,0是直线13.已知函数fx=sin2x−π14.一条光线从点A−2,3射出,经x轴上的点Pm,0反射后,与圆四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数fx(1)求fx(2)若x∈−2,416.(15分)记Sn为等差数列an的前n项和,已知(1)求数列an和Sn(2)求数列an的前n项和T17.(15分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AB=2AC，∠BAC=90∘，D，E，F(1)证明:DF⊥(2)证明:BD//平面AEG(3)求平面AEG与平面ABC夹角的正弦值.18.(17分)已知函数fx=xex(1)求函数Fx=(2)判断经过点2,0的曲线y(3)当x≤3时，3−12x19.(17分)在平面直角坐标系xOy中,过点A−2,0,B2,0的两条直线SA与直线SB的斜率分别为k1,k2(1)求C的方程.(2)已知D是线段AB上一点(异于A，B)，过点D的直线l与C交于M，N两点，直线BM,BN分别交直线x=3于(i)若点D在x轴的正半轴上,则是否存在直线l,使得△BMN的面积是△BEF面积的4倍?(ii)是否存在点D，使得ME⋅NF为定值？若存在，求出点D高二数学参考答案1.A通项公式可以为an2.D因为x3−11x+6′=3x2+11x2,所以A不正确;因为cosπ3′=12′=03.C由题意可得a+2b=−14.B依题意得a2=1−1a1=45.A可设该抛物线的方程为y2=2px,点A的坐标为2,42,所以32=4p6.D设Cx,y,则B2x−1,2y+1,由B在直线l:2x−y+5=07.B由题意可知双曲线C的渐近线方程为y=±bax,令x=2,得y=±2ba.不妨设A(2,2ba,B2,−2ba,则AB=4ba.因为△OAB的面积为8,所以8.A因为2lnx−mx≤12x2+n,所以2lnx−mx−12x2≤n.令fm=−mx+2lnx− 12x2,则只需fmmax≤n.因为1)上单调递增,在1,+∞上单调递减,所以gxmax=g1=−32,所以9.AC要使三条直线共有两个不同的交点,则有两条直线平行,第三条直线与它们不平行.因为直线l1与l2不平行,所以l1//l3或l2//l3.当l1//l3时,2a−1=0,3a−1≠0,10.BC fx存在零点等价于函数gx=x1因为g′x=−lnx,所以gx在0,函数y令g′x=1,得x=1e;令因为g1所以gx在x=1e,x=e处的切线方程分别为11.ABD当m=26时,根据上述运算法则得出26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1,则使得an=1需要10步“雹程”,A正确.当m=4时,a1=4,a2=2,a3=1,a4=4,⋯,则数列an是周期为3的周期数列,故a2025=a3=1, B正确.当m=1时,a1=1,a2=4,a3=2,a4=1,⋯,则数列an是周期为3的周期数列,故数列a12.22由题可得AP=1,2所以点P2,1,1到直线l13.43因为f′x=2所以lim=214.14,2由题可知反射光线所在直线l经过点A′−2,−3,则直线l的方程为y+3= 3m+2x+2,即3x−m+2y−3m=0.15.解:(1)因为f′x=x2+2x−8=x+4x当x变化时,f′xx−∞,−-4(-4,2)2(2,+∞)f+0-0+f单调递增28单调递减-8单调递增5分所以fx的单调递增区间为−∞,−4和2,+∞,单调递减区间为(2)由(1)知当x=2时，fx因为f−2所以fxmax16.解:(1)∵S11∴等差数列an的公差d=∴an∴Sn(2)∵an=2n−12，∴当n≤6且n∈N+时，an≤0，当n>6且n∈N+Tn=−当n>6且n∈N∴Tn17.解:由题意可知A1B1,A1C1,A1A两两垂直,则以A1为原点,A1B1(1)证明:由题中数量关系可得D0,1,4，F1,0,0，E0,因为DF⋅EG所以DF⊥EG,即DF(2)证明:由题中数量关系可得A0,0则BD=−2,1,0,AE则n⋅AE=2y−2z=0,n因为BD⋅n所以BD⊥n,又BD⊄平面AEG,所以BD//平面(3)由(2)可知平面AEG的一个法向量为n=因为平面ABC的一个法向量为m=0所以cos⟨n,设平面AEG与平面ABC的夹角为θ,则sinθ=18.解:(1)因为fx=xex因为Fx所以F′x令F′x>0,得x<−1或x>0;所以Fx在−∞,−1,0,+∞上单调递增,在所以Fx的极大值为F−1=1e(2)因为f′x所以曲线y=xex在点x0,将2,0代入，得e因为Δ>0,所以方程x2−2x−2=0即经过点2,0的曲线y=fx(3)由3−12x⋅记gx=3x−12①当a<0时，则g′x≥0，所以gx在−∞,3②当a=0时，gx=3x−12x2=−12x显然x<0时，gx<③当0<a<e3时，令g′因为lna<3,所以当x<lna时,g′x<0即gx在−∞,lna上单调递减,在lna,3由glna=−12因为0<a<e3④当a≥e3时，g′x≤0，所以gx由g3=92−ae3≥0综上所述,a的取值范围是e2−19.解:(1)设Sx,y,则k1k2=yx所以C的方程为x24+