20.1勾股定理及其应用（第2课时）（教学设计）-人教版(2024)八下

20.1勾股定理及其应用（第2课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在学习勾股定理的基础上，学习应用勾股定理进行直角三角形的边长计算，解决一些简单的实际问题。2.

内容分析勾股定理的核心价值在于“应用”，本节课承接上一课时的定理探究与证明，聚焦定理在实际场景中的落地运用。其本质是引导学生将实际问题抽象为直角三角形的几何模型，通过定理建立边的数量关系，进而求解未知量。课程内容涵盖“生活场景—经典名题—综合应用”，既强调基础计算能力，又注重模型思想和抽象思维的培养。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：运用勾股定理计算线段长度，解决实际问题。二、目标和目标解析1.

目标（1）能运用勾股定理求线段长度，并解决一些简单的实际问题，发展应用意识。（2）在利用勾股定理解决实际问题的过程中，能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长，发展抽象能力和模型观念。2.

目标解析（1）学生能熟练运用勾股定理及其变形公式，解决“已知直角三角形两边求第三边”的基础计算；能结合实际场景，准确提取关键数据，通过计算解决实际问题，形成“用数学知识解决实际问题”的应用意识。（2）学生能通过分析实际问题中的垂直关系，自主抽象出直角三角形模型；能在复杂场景中，通过画图标注已知量和待求量，建立与勾股定理有关的等量关系，甚至结合方程思想求解，逐步提升抽象概括能力和模型建构能力。三、教学问题诊断分析学生可能出现的问题：（1）难以从实际问题中识别直角关系，无法快速抽象出直角三角形模型，导致找不到解题的切入点。（2）对实际问题中的关键数据提取不准确，或混淆直角三角形的直角边与斜边，误用勾股定理公式。（3）解决需要设未知数的实际问题时，缺乏方程思想，难以建立等量关系。应对策略：（1）教学中强调“找直角”的核心步骤，通过标注实际场景中的垂直关系，引导学生画出直角三角形示意图，强化模型观念。（2）在例题和练习中，要求学生先标注直角三角形的直角、已知边和待求边，明确斜边的特征，再代入公式计算，避免公式误用；通过基础题强化训练，巩固数据提取和公式应用能力。（3）针对含未知数的问题，通过示范设未知数的方法，引导学生分析已知量与未知量的关系，借助勾股定理建立方程，渗透方程思想；设计同类变式题，让学生反复练习，掌握解题思路。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能从实际问题中抽象出直角三角形模型。四、教学过程设计（一）复习引入1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.2.勾股定理的证明：勾股定理有广泛的应用，下面我们用它解决两个问题。设计意图：通过回顾勾股定理的核心公式和证明方法，唤醒学生的旧知记忆，为后续应用奠定基础；以“广泛应用”引出本节课主题，明确学习目标，自然过渡到实际问题的解决，激发学生的学习兴趣。（二）合作探究例2一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?分析：可以看出，木板横着或竖着都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过.门框对角线AC的长度是木板斜着能通过的最大长度.求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板能否通过.解：连接AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=12+22=5，∴AC=5≈2.24.因为AC大于木板的宽2.2m，所以木板能从门框内通过.例3如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外移动0.8m，那么梯子顶端也沿墙AO下滑0.8m吗?解：当梯子底端沿OB向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C.可以看出，AC=OA−OC.在Rt△AOB中，根据勾股定理，OA2=AB2−OB2=2.52−0.72=5.76，∴OA=2.4.在Rt△COD中，根据勾股定理，OC2=CD2−OD2=2.52−(0.7+0.8)2=4，∴OC=2.所以，AC=OA−OC=2.4-2=0.4.因此，当梯子底端向外移动0.8m时，梯子顶端并不是下滑0.8m，而是下滑0.4m.总结归纳设计意图：选取门框、梯子这两个贴近生活的场景，让学生感受勾股定理的实用性；例2侧重“判断能否通过”的决策类问题，引导学生发现“对角线为最大通行长度”这一解题关键；例3通过“移动距离与下滑距离是否相等”的疑问，培养学生的理性思考能力，避免直觉判断错误。两个例题均完整呈现“分析场景—抽象模型—应用定理—得出结论”的解题流程，帮助学生掌握解决实际问题的基本套路。（三）典例分析1.如图，A，B是池塘边上的两点，点C是与BA方向成直角的方向上一点，测得BC=60m，AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).解：根据勾股定理，AB2=BC2−AC2=602−202=3200，∴AB=402≈57(m).∴A，B两点间的距离约为57m.2.如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?此题源自《九章算术》，原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.(丈、尺是长度单位，1丈=10尺.)解：由题意得：AC=5尺，AB−BC=1尺.设BC=x尺，AB=(x+1)尺，根据勾股定理，AC2+BC2=AB2，即52+x2=(x+1)2，解得x=12，∴x+1=13.答：水深12尺，芦苇长13尺.总结归纳此处体现了方程思想.设计意图：典例1聚焦“测量不可直接到达的两点距离”，强化“构造直角三角形”的应用；典例2选取古代数学名题，既渗透数学文化，又引入方程思想，突破解题难点。通过总结归纳，让学生明确方程思想在勾股定理应用中的重要性，拓宽解题思路。（四）巩固练习1.如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度.位于地面上点A处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点B，仪器显示AB=23.1m；再将激光射向楼顶端的点C，仪器显示AC=31.9m；最后仪器自动显示出楼高BC=22m.你能说出其中的数学道理吗?解：根据勾股定理，BC2=AC2−AB2=31.92−23.12=484，∴BC=22(m).2.电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸(1英寸=2.54cm)为单位.王芳测得自家电视机的屏幕宽为71cm，高为40cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸(结果取整数)?解：记电视机屏幕为长方形ABCD，连接AC.由题意得：AB=71cm，BC=40cm.根据勾股定理，AC2=AB2+BC2=712+402=6641，∴AC=81.5(cm)≈32(英寸).∴这台电视机的屏幕尺寸约为32英寸.3．河滨公园有一块长方形的草坪如图所示，有少数的人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“路”，他们仅仅少走了6米，却踩伤了花草！青青绿草地，悠悠关我心，请大家文明出行，足下留“青”！4．如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东60°和南偏东30°方向出发，他们的速度分别是3m/s和4m/s，则20s后他们之间的距离为（D）A．70m B．80m C．90m D．100m5．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（

B

）A．3尺 B．3.2尺 C．3.6尺 D．4尺6．将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的最小值为11cm，h的最大值为12cm．设计意图：巩固练习覆盖多种实际场景，体现梯度性和综合性：第1-2题侧重基础应用，强化数据提取和公式计算；第3-4题结合生活常识和方位角知识，培养模型抽象能力；第5题呼应古代名题，深化方程思想；第6题涉及立体图形，提升综合转化能力。通过多样化练习，既能强化学生对解题套路的掌握，又能及时反馈学习情况，同时培养学生的文明意识和应用意识。归纳总结

（六）感受中考

1．（2025年江苏连云港）如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8m，则梯子顶端的高度h为2.4m．2．（2023年四川绵阳）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m，∠B=30°，则中柱AD（D为底边中点）的长为53．（2025年山东东营）如图，小丽在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳OA与地面垂直，摆绳长2 m，向前荡起到最高点B处时距地面高度1.3 m，摆动水平距离BD为1.6 m，然后向后摆到最高点C处．若前后摆动过程中绳始终拉直，且OB与OC成90°