20.2勾股定理的逆定理及其应用（第2课时）（教学设计）-人教版(2024)八下

一、内容和内容解析1.

内容本节课是在学习勾股定理的逆定理的基础上，应用勾股定理及其逆定理解决问题．2.

内容分析本节课是勾股定理及其逆定理知识的综合应用阶段，核心是实现“判定直角三角形”与“计算边长”的双向结合。课程内容聚焦实际场景和数学背景，通过“先判定直角→再计算边长”或“先计算边长→再判定直角”的逻辑链，解决方位判断、面积计算等问题。其本质是培养学生的模型思想和综合推理能力，让学生体会两个定理“性质与判定”的互补价值。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：应用勾股定理及其逆定理解决数学问题和实际问题。二、目标和目标解析1.

目标（1）应用勾股定理的逆定理解决实际问题，发展应用意识。（2）进一步加深对勾股定理与其逆定理之间关系的认识，发展推理能力。2.

目标解析（1）学生能从实际问题中抽象出三角形或四边形模型，通过逆定理判定直角三角形，再用勾股定理计算未知边长，解决实际问题，形成“实际场景→数学模型→定理应用→实际结论”的解题思路。（2）学生能清晰区分勾股定理（已知直角三角形求边长）与逆定理（已知三边长判定直角三角形）的适用场景，在综合问题中灵活切换使用两个定理，理解二者“互逆互补”的逻辑关系，提升综合推理和问题解决能力。学生能将四边形等复杂图形转化为直角三角形组合，通过分割法计算面积，培养图形转化和化归思想。三、教学问题诊断分析可能出现的问题：（1）综合应用两个定理时，混淆适用场景，如该用逆定理判定直角时误用勾股定理，或该用勾股定理计算边长时不知先判定直角。（2）处理四边形问题时，缺乏“分割为直角三角形”的转化意识，难以找到解题突破口。应对策略：（1）通过对比表格明确两个定理的适用场景，在例题中标注“判定直角（逆定理）”“计算边长（勾股定理）”的关键步骤，强化学生对逻辑链的认知；设计“定理选择”专项辨析题，帮助学生精准区分应用场景。（2）针对四边形问题，引导学生观察图形中的直角条件，示范“连接对角线分割为直角三角形”的方法，通过板书展示分割过程和面积计算逻辑，培养转化思想。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：灵活应用勾股定理及其逆定理解决问题。四、教学过程设计（一）复习引入勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.利用勾股定理的逆定理，可以解决一些实际问题.设计意图：快速回顾两个核心定理的内容，明确二者的“性质与判定”关系，为综合应用奠定基础；以“解决实际问题”引出本节课主题，直接点明学习目标，自然过渡到例题探究。（二）合作探究例2如图，港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile.它们离开港口1.5h后分别位于点Q，R处，且相距30nmile.如果“远航”号沿东北方向航行，那么“海天”号沿什么方向航行?分析在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果能求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.解：根据题意，PQ=16×1.5=24，PR=12×1.5=18，QR=30.因为242+182=302，即PQ2+PR2=QR2，所以∠QPR=90°.由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.因此∠2=45°,即“海天”号沿西北方向航行.例3如图，在四边形ABCD中，AB=5，BC=3，AD=53，DC=133.如果AC⊥BC，判断AC与AD分析若能求出AC的长，就可以根据勾股定理或其逆定理判断△ACD是不是直角三角形，从而判断AC是否垂直于AD.解：因为AC⊥BC，所以∠ACB=90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，AC²=AB²−BC²=5²−3²=16.所以AC=4.在△ACD中，AC²+AD²=4²+(53)²=1699，CD²=(133)²=所以AC²+AD²=CD².因此△ACD是直角三角形，即AC⊥AD.设计意图：例2选取航海方位问题，贴近生活实际，考查“先算边长→用逆定理判定直角→求方向角”的逻辑链，培养学生的模型抽象和方位判断能力；例3聚焦四边形转化，考查“先用勾股定理求边长→再用逆定理判定直角”的综合应用，培养图形转化思想。两个例题覆盖“实际问题”和“几何图形问题”，全面展示定理的综合应用场景，为学生提供清晰的解题范例。（三）典例分析1.A，B，C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向?解：根据题意，AB=12，BC=5，AC=13.因为AB2+BC2=AC2，即122+52=132，所以∠B=90°.∴C地在B地的正北方向.2.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°.求四边形ABCD的面积.解：根据勾股定理得，AC2=AB2+BC2=32+42=25，∴AC=5，∴AC2+CD2=25+122=169，∵AD2=132=169，∴AC2+CD2=AD2，∴∠ACD=90°.∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB×BC2+AC设计意图：典例1是例2的变式，强化“方位判断”的解题思路；典例2强化“四边形分割为直角三角形”的转化方法，巩固面积计算的技巧。通过同类变式训练，帮助学生固化解题思路，提升知识迁移能力。（四）巩固练习1．如图是王叔叔建房时所挖地基的平面图，按标准，四边形ABCD四个角都应是直角，他在挖完后测量发现AB=CD=6m，AD=BC=8m，AC=BD=10m，则他挖的地基2．如图，有一块三角形空地，它的三条边线分别长30m,40m和50m，已知40m长的边线为南北向，则30m长的边线方向为（

A

）A．东西向B．东北向 C．东南向 D．西北向3．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行速度都是400m/min，甲客轮用30min到达A处，乙客轮用40min到达B处．若A，B两处的直线距离为20000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（

C

）A．北偏西30° B．南偏西30° C．南偏东60° D．南偏西60°4．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（

A

）A．30平方里B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里5.高师傅有5根长度(单位：dm)分别为a=6，b=8，c=10，d=24，e=26的钢条，准备选3根焊接一个直角三角形钢架.请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.答：组合1：a，b，c.组合2：c，d，e.6．如图，在四边形ABCD中，已知AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD(1)求证：∠ADC(2)求四边形ABCD的面积．解：（1）如图：连接AC，在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，∴AC=∵CD2=7∴C∴△ACD为直角三角形，∠（2）∵在Rt△ABC中，AB=20，BC=15，在Rt△ADC中，∴S∴四边形ABCD的面积为234m设计意图：巩固练习题型丰富，梯度分明：第1-3题聚焦实际问题，强化模型抽象和方位判断；第4-6题聚焦几何图形，强化三角形面积计算和四边形转化。练习覆盖不同应用场景，既能强化学生对“定理综合应用”的掌握，又能及时反馈学习效果，帮助学生查漏补缺。归纳总结

（六）感受中考

1．（湖南长沙）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（A）A．7.5平方千米B．15平方千米C．75平方千米D．750平方千米2．（2021广西玉林）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿北偏东50°方向航行．3．（2020年山西）阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？如图，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD=30cm，然后分别以D，C为圆心，以50cm与40cm为