19.4 二次根式的除法（同步练习）（解析版）-人教版(2024)八下

专题19.4二次根式的除法教学目标1.掌握二次根式的除法运算，并能够熟练的进行运算。2.掌握商的算术平方根的性质，并能够结合二次根式的性质对二次根式进行化简。3.掌握二次根式的混合运算法则，并能够熟练的进行混合运算。教学重难点重点（1）二次根式的除法运算及其混合运算；（2）商的算术平方根。2.难点（1）结合二次根式的乘除法运算以及积与商的算术平方根的性质对二次根式进行计算化简；（2）对二次根式进行混合运算，注意结果化到最简；知识点01二次根式的除法法则二次根式的除法法则：两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除。即ab拓展：【即学即练1】1．计算8÷A．2 B．3 C．4 D．2【答案】A【解答】解：原式=82故选：A．【即学即练2】2．计算：12a3b÷b【答案】12【解答】解：1=1=1=1故答案为：12知识点02商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于算术平方根的商。即分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去。分母有理化因式：两个含二次根式的代数式相乘时，若它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式。若分母只有单独的一项，则分母有理化因式为本身；若分母是一个式子，则分母有理化因式与分母组成平方差公式。即的分母有理化因式为a；的有理化因式为a∓b。【即学即练1】3．如果x+3x-1=x+3x-【答案】x＞1．【解答】解：如果x+3那么x+3≥0解得x＞1，故答案为：x＞1．【即学即练2】4．x+A．x-y B．x+y C．x【答案】D【解答】解：根据二次根式的有理化的目的就是去掉根号，所以，x+y的一个有理化因式是即x+y×x故选：D．【即学即练3】5．下列各式中，a+A．a+b B．a-b C．a【答案】D【解答】解：根据有理化因式可知：a+b的有理化因式是故选：D．【即学即练4】6．化简：（1）748（2）2.5（3）95（4）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）7=7×3=21（2）2.5=5=5×2=10（3）9=9×5=3（4）9y【即学即练5】7．已知a=5+3，b=25A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5【答案】A【解答】解：b=25-3故选：A．【即学即练6】8．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如53，23，22323以上这种化简的步骤叫做分母有理化．23+1（1）请用不同的方法化简25（2）化简：13【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①②2（2）原式==2知识点03二次根式的乘除混合运算二次根式的混合运算步骤：①将算式中的除法转化成乘法。②将根号前面的系数和被开方数分别相乘。③化成最简二次根式。【即学即练1】9．计算：（1）214×37（（3）912÷5412×3【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）214×37=672（2）12（3）912（4）ab3⋅(-32a题型01二次根式的除法运算【典例1】计算：（1）-45y235y（y＞0）；（2）245÷32135；（3）12【答案】（1）-y；（2）19；（3）18【解答】解：（1）原式=-=-1=-y（2）原式＝1×=2=2=1（3）原式=12=1=18b【变式1】计算：（1）182（2）726（3）b5÷b20【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）182=（2）726=72（3）原式=b5×20（4）原式=a【变式2】计算：（1）4010；（2）412÷214；（3（4）27a4÷3a2（a＞0）；（5）46x【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）4010=（2）41（3）672÷（﹣36）＝6÷（﹣3）72÷6=-4（4）27a4÷3a2（a＞（5）46x3÷2x3（x＞0）＝4÷26x3题型02求式子的有理化因式【典例1】下列各数中，与23A．2 B．6 C．5 D．3【答案】D【解答】解：A、2×23=2B．6×23=6C．5×23=2D．33×23=故选：D．【变式1】二次根式a+A．a+b B．a+b C．a【答案】A【解答】解：二次根式a+b的有理化因式是故选：A．【变式2】下列式子中，与23A．23-2 B．23+2 C【答案】B【解答】解：∵（23-2）（2＝12﹣2＝10，∴与23-2互为有理化因式的是：故选：B．题型03二次根式的化简【典例1】化简：（1）364；（2）16×2564；（3）2x23y（x＞0，y＞0）；【答案】（1）38（2）52（3）x6（4）25【解答】解：（1）364（2）16×2564（3）2x23y（x＞0，y＞（4）4125【变式1】化简12A．3-2 B．3 C．2 D【答案】A【解答】解：由题意得，12故选：A．【典例1】把a-1A．--a B．-a C．-a【答案】A【解答】解：a-=-a=--故选：A．【变式1】把(1-xA．1-x B．x-1 C．-1-【答案】D【解答】解：∵二次根式有意义，∴x﹣1＞0，则1﹣x＜0，∴原式＝﹣（x﹣1）1=-(=-(故选：D．【变式2】把（a﹣b）-1A．b-a B．a-b C．-【答案】C【解答】解：（a﹣b）-1a-b得a﹣（a﹣b）-1故选：C．题型04判断二次根式的关系【典例1】已知a=3+2，b=3-A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．a是b的平方根【答案】B【解答】解：∵a=3+2，∴ab＝（3+2）（3-故a与b的关系为互为倒数．故选：B．【变式1】若a＝1+2，b=11-2，则A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数【答案】A【解答】解：b=11-2=1+2(1-2)(1+∴a与b互为相反数．故选：A．【变式2】已知a=7+2，b=3A．ab＝1 B．ab＝﹣1 C．a＝b D．a＝﹣b【答案】C【解答】解：∵b=37∴a＝b，故选：C．题型05二次根式的乘除混合运算【典例1】计算：（1）123÷213×125；（【答案】（1）1；（2）33；（3）-5【解答】解：（1）原式=＝1；（2）原式＝23＝33；（3）原式=-52÷6=-5=-5=-5【变式1】计算：（1）12÷27×18；（2）123÷213×【答案】（1）22（2）1；（3）-16【解答】解：（1）12=12÷27×18=8=22（2）1=5=5=1＝1；（3）48a2÷2a=(-4÷2×2=-4=-4=-16【变式2】计算：（1）-4318÷(28×1（3）nmn2m3×(-1mn3m【答案】（1）-6（2）a2a；（3）-n（4）-6a【解答】解：（1）原式＝﹣42÷8=-6（2）原式＝2a＝3a2b＝a2a；（3）原式=-=-n=-n（4）原式＝﹣3×＝﹣2×＝﹣2×=-6a1．计算12A．2 B．2 C．22 D．2【答案】B【解答】解：原式=12故选：B．2．下列各式从左到右的变形正确的有（）①ab=a⋅b；②ab=aA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解答】解：①ab=a⋅b（a≥0，②ab=ab（a≥0，③a⋅④ab所以从左到右的变形正确的有2个，故选：B．3．下列与-12A．123 B．-C．(-12)(-3) D．-【答案】A【解答】解：-12-故选：A．4．计算：67×13A．﹣4 B．﹣23 C．40 D．7【答案】D【解答】解：67×1＝6×＝7．故选：D．5．等式3-xA．x≤3且x≠﹣1 B．x＞﹣1 C．﹣1＜x≤3 D．x≤3【答案】C【解答】解：根据二次根式有意义的条件可得3﹣x≥0且1+x＞0，解得：﹣1＜x≤3．故选：C．6．在下列各式中，是2aA．2a+b B．2a-b C【答案】A【解答】解：根据有理化因式的概念逐项分析判断如下：A．2aB．2aC．2aD．2a故选：A．7．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是x-A．x+y B．-x-y C．【答案】C【解答】解：A、(xB、(xC、(xD、(x故选：C．8．已知a=2-1，b=12+1A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣1【答案】A【解答】解：∵b=12+1=2故选：A．9．将（2﹣x）1xA．2-x B．x-2 C．-2-【答案】D【解答】解：∵1x-2＞0，则x﹣∴（2﹣x）1x-2=-（x﹣故选：D．10．若a，b为正有理数，则有a⋅a=a，(a+b)(a-b①13-②若bF(4)-F(3)-cF(3)+F(4)③若F（43﹣m）﹣F（11﹣m）＝4，则F（43﹣m）+F（11﹣m）＝8；④12A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解答】解：①1=3+=3+=3+②b=b=(4=3=43∴b+解得b=3∴可有b＝3c，故该结论正确，符合题意；③∵F（43﹣m）﹣F（11﹣m）＝4，∴[F（43﹣m）﹣F（11﹣m）][F（43﹣m）+F（11﹣m）]＝（43-m-11-＝（43﹣m）﹣（11﹣m）＝32，∴F（43﹣m）+F（11﹣m）＝8，故该结论正确，符合题意；④∵1=1=2=2-=1-2=1-100=1-1=9综上所述，结论正确的有4个．故选：D．11．写出一个2a+b的有理化因式2【答案】2a【解答】解：∵2a+b•2a+∴2a+b故答案为：2a12．计算54-11-411【答案】4-7【解答】解：5=5×(4+=5×(4+＝4+=4-7故答案为：4-713．一个长方形的面积为12，其中一边长为23，则另一边长为23【答案】23【解答】解：设另一边长为a，由长方形面积公式得：a=故答案为：2314．若mn＞0，m+n＜0，则化简mn÷nm=【答案】﹣m．【解答】解：∵mn＞0，m+n＜0，∴m＜0，n＜0，∴mn=mn=mn=m＝﹣m，故答案为：﹣m．15．化简：11+2+12+【答案】9．【解答】解：原式==2=-1+100＝﹣1+10＝9．故答案为：9．16．（1）214÷328×5227；（2）（3）52÷328×（﹣5167）；【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）214÷3=13×=5（2）2yxy5（=-2y×=-9＝﹣9x2yxy．（3）52÷328×=(-1÷3×5)5=-5=-5=-5（4）2=(2×1÷4=5=5=5=517．已知9-xx-6=【答案】2．【解答】解：∵9-x∴9-x由①得：x≤9，由②得：x＞6，∴不等式组的解集为：6＜x≤9，∵x为偶数，∴x＝8，∴x+1＞0，x﹣4＞0，∴1+=1+=x=x=x=8-4=4＝2．18．先来看一个有趣的现象：223=83=22×2（1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证；（2）你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律．【答案】（1）55（2）n+nn2-1（【解答】解：（1）55验证：5524=（2）规律：n+nn2-1（证明：n+nn19．创新是一个民族进步的灵魂，是国家文明发展的不竭动力，一个没有创新力的民族难以屹立于世界民族之林．今年我国出现了令世界震惊的具有超强创新能力的智能机器人以及AI助手DeepSeek，其创始人分别为王兴兴，梁文锋．在学习完实数的相关运算之后，小慧猜想出了一个新的问题：两个数比值的算术平方根与这两个数的算术平方根的比值可能存在相等关系？小慧用自己的方法进行了验证：因为49=23，而请你根据小慧的猜想，解答下列问题．（1）比较大小：916＝9（2）当a≥0，b＞0时，直接写出ab和a（3）运用（2）的结论，计算：①12116②已知一个长方形的面积为75，长为27，求这个长方形的宽．（4）直接写出32【答案】（1）＝；（2）ab（3）①114；②这个长方形的宽为5（4）45．【解答】解：（1）由材料知，916故答案为：＝；（2）当a≥0，b＞0时，ab（3