九年级数学下册：由不共线三点确定二次函数表达式教案

九年级数学下册：由不共线三点确定二次函数表达式教案

一、课标依据与学术背景

（一）课标定位分析

本节课隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“函数”主题下的核心内容。课标明确要求：“探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用函数表达的方法。”具体到二次函数部分，要求“会用待定系数法确定二次函数的表达式”，并“体会通过函数表达式研究函数性质的一般方法”。本节课正是这一要求的关键载体，是连接函数解析式与图象性质的重要枢纽，体现了数学模型构建的基本思想。

（二）知识结构地位

在初中函数知识体系中，学生已经系统学习了一次函数（包括正比例函数）的表达方式、图象与性质，掌握了通过两点确定一次函数的基本方法。本节课将这一“待定系数法”的思想从一次函数迁移、推广至二次函数，完成了从线性关系到非线性关系的认知飞跃。同时，本节课为后续学习二次函数的图象变换（平移、对称）、性质研究（最值、增减性）以及实际应用（抛物线形问题）奠定了不可或缺的解析基础。从更广阔的数学视角看，本节课是“曲线拟合”思想的启蒙，暗含了通过离散数据点建立连续函数模型这一重要的数学建模思想，为高中乃至大学的插值法、最小二乘法等高级内容埋下伏笔。

（三）跨学科视野与核心素养承载

二次函数作为描述自然界和社会现象中大量非线性关系的经典模型，其确定方法具有极强的跨学科意义。在物理中，匀变速直线运动的位移-时间关系、抛物运动轨迹；在经济学中，某些成本、收益与产量的关系；在工程学中，拱桥、抛物面天线的设计，都涉及由关键点（数据）确定二次函数模型的问题。因此，本节课的教学设计应超越单纯的计算技能训练，着重培养学生的“数学抽象”（从三点坐标抽象出代数方程）、“逻辑推理”（解方程组确定系数的必然性）、“数学建模”（建立刻画现实问题的函数模型）和“数学运算”（解三元一次方程组）等核心素养。这要求教学必须创设真实或拟真的问题情境，引导学生体会数学作为通用语言和工具的强大力量。

二、学情深度剖析

九年级学生处于形式运算思维的形成与巩固期，其认知特点决定了本课教学的挑战与机遇。

1.已有知识与技能储备：

1.2.熟练掌握解二元一次方程组，对解三元一次方程组有概念性了解，但缺乏系统训练和熟练度。

2.3.深刻理解“待定系数法”确定一次函数表达式的原理与步骤（设、代、解、写）。

3.4.明确二次函数的一般形式y=ax²+bx+c(a≠0)

，理解a,b,c是常数且a决定开口方向。

4.5.具备扎实的代数运算基本功和坐标平面内点的概念。

6.认知障碍预判：

1.7.迁移障碍：从“两点定一线”到“三点定一曲线”的确定性理解可能存在疑惑。学生可能直观上觉得两个点就能“固定”一条抛物线，不理解为什么需要三个点，这是对二次函数三个独立参数决定其唯一性的认知难点。

2.8.运算障碍：解三元一次方程组是新的技能挑战。计算过程繁琐，容易出错，尤其是在消元策略的选择和符号处理上。

3.9.建模障碍：如何将具体问题中的三个条件（点）准确转化为三个独立的方程，理解“独立条件”的含义。

4.10.抽象障碍：将几何问题（图象过某点）与代数问题（点的坐标满足函数解析式）进行自由转换的灵活性有待提高。

11.学习心理与动机：

学生可能将本节课视为繁琐的计算课，产生畏难或厌倦情绪。因此，教学设计的首要任务是激发认知冲突和探索欲，通过富有挑战性和意义感的问题，让学生感受到“确定”一个函数模型的成就感和应用价值。

三、教学目标设计（基于核心素养的细化）

（一）知识与技能

1.理解并阐述“不共线三点唯一确定一个二次函数”的数学原理。

2.熟练运用待定系数法，通过建立并求解关于a,b,c的三元一次方程组，确定二次函数的表达式。

3.能根据问题情境，灵活选择二次函数的表达形式（一般式、顶点式），优化计算过程。

（二）过程与方法

1.经历“类比猜想—实验验证—理论归纳—方法提炼—应用拓展”的完整探究过程，体会从特殊到一般、化归与转化的数学思想。

2.在解决具体问题的过程中，发展分析条件、构建方程、规划解题策略（选择消元路径）的系统性思维能力。

3.通过小组合作探究，学会在复杂运算中分工协作、相互校验，提升解决问题的效率与可靠性。

（三）情感、态度与价值观

1.在克服三元方程组求解困难的过程中，培养严谨细致、坚韧不拔的运算品质和科学态度。

2.通过感受二次函数模型在跨学科领域中的广泛应用，增强数学应用意识，体会数学的理性美与实用价值。

3.在成功的模型构建中，获得积极的数学学习体验，增强自信心。

四、教学重点与难点

1.教学重点：用待定系数法求由不共线三点所确定的二次函数表达式。

1.2.依据

：这是本节课的核心技能与知识落脚点，是达成技能目标的直接体现。

3.教学难点：

1.4.理解“三个独立条件”的必要性：从函数解析式参数个数和方程组解的唯一性角度，理解为何不共线的三点才能唯一确定二次函数。

2.5.解三元一次方程组的策略优化与准确计算：如何引导学生选择高效的消元顺序，并保证庞大计算过程中的准确性。

3.6.方法的灵活迁移：在面对特殊三点（如包含顶点、与y轴交点等）时，能主动思考并选择更简便的函数形式（顶点式、交点式）。

1.7.依据

：难点1涉及对数学本质的理解；难点2是操作层面的最大障碍；难点3是方法内化与应用创新的体现。

五、教学准备与资源

1.教师准备：

1.2.交互式电子白板课件，内嵌动态几何软件（如GeoGebra）演示页面，能动态展示过两点的无数条抛物线和过三点的唯一抛物线。

2.3.精心设计的“探究学习任务单”（含问题链、例题、分层练习）。

3.4.预设学生可能出现的错误类型及应对策略。

4.5.联系实际的视频或图片素材（如投篮抛物线、拱桥、卫星天线）。

6.学生准备：

1.7.复习待定系数法求一次函数表达式，复习解二元一次方程组。

2.8.预习二次函数的三种表达形式。

3.9.计算器（用于复杂数字的校验）。

10.环境准备：学生四人小组合作学习座位布局。

六、教学实施过程（详案）

第一环节：创设情境，激疑引思（预计时间：8分钟）

活动1：现实模型导入

教师播放一段篮球明星库里投篮的短视频片段（慢放），定格在篮球出手后在空中划出弧线的瞬间。

【师】提问：“如果我们忽略空气阻力，篮球的运动轨迹近似是什么图形？”

【生】齐答：抛物线。

【师】“没错，它可以用一个二次函数的图象来刻画。假设我们通过高速摄影测量，得到了篮球在空中的三个不同时刻的位置坐标（投影出示：如(0,2)，(2,4)，(4,2)，单位：米）。那么，我们能否找到这个二次函数的‘密码’——也就是它的表达式，从而精确预测篮球在任意时刻的高度呢？”

设计意图

：从学生感兴趣的体育情境切入，瞬间点燃课堂气氛。将抽象的数学问题植根于生动的现实背景，凸显学习价值，激发求知欲。

活动2：认知冲突，提出问题

【师】“我们已经学过，知道两个点的坐标，就可以确定一个一次函数。那么，要确定一个二次函数，我们需要几个点的坐标呢？请大家先凭直觉猜一猜。”

学生猜测：两个？三个？更多？

教师利用GeoGebra进行动态演示：

1.先在坐标系中固定两个点A和B。

2.编程绘制所有经过A、B两点的二次函数图象（通过滑动条控制a值变化）。学生观察到，过A、B两点的抛物线有无数条，它们开口大小、方向各异。

【师】“看来，两个点‘锁定’不了一条抛物线。那么，再加一个点呢？”

3.在屏幕上再固定一个不与其他两点共线的点C。程序自动计算并画出一条唯一的抛物线。

【师】“现象告诉我们，似乎三个不共线的点可以确定一条唯一的抛物线。今天，我们就来深入探究：如何由不共线三点的坐标，确定二次函数的表达式。”

设计意图

：利用技术手段将“无数”与“唯一”可视化，制造强烈的认知冲突，打破学生的思维定势（类比一次函数），从而自然、深刻地引出本节课的核心问题。强调“不共线”的条件，为后续理解“独立条件”埋下伏笔。

第二环节：探究建构，化未知为已知（预计时间：22分钟）

活动3：类比迁移，初试方法

【师】“回顾求一次函数表达式的方法，关键步骤是什么？”

【生】回忆并总结：设解析式、代入点坐标、解方程（组）、写出解析式。

【师】“非常好！这是一种非常重要的数学方法——待定系数法。它的思想是：先设定一个含有未知系数（待定系数）的一般形式，然后根据已知条件建立关于这些系数的方程或方程组，最后通过解方程（组）来确定系数。今天，我们就将这个方法‘迁移’到二次函数上来。”

教师板书课题：§30.3用待定系数法求二次函数的表达式。

探究任务一：攻克一般情况

出示例1：已知二次函数图象经过三点A(-1,0)，B(1,-4)，C(3,0)，求这个二次函数的表达式。

【师】引导分析：

1.设：二次函数表达式可以设为什么形式？为什么？（引导学生选择一般式y=ax²+bx+c(a≠0)

，因为已知的是任意三点，无特殊信息）。

2.代：将三点坐标分别代入解析式，得到三个方程。请学生口述，教师板书：

a*(-1)²+b*(-1)+c=0

即a-b+c=0

…①

a*(1)²+b*(1)+c=-4

即a+b+c=-4

…②

a*(3)²+b*(3)+c=0

即9a+3b+c=0

…③

此处强调代入的规范性，以及化简后方程的标准形式。

3.解：这是关于a,b,c的三元一次方程组。

1.4.小组合作探究：请各小组讨论，如何解这个方程组？看哪组能找到清晰、高效的解法。

2.5.学生讨论，教师巡视，捕捉典型思路（加减消元法、代入消元法）和可能错误。

3.6.策略聚焦与优化：请两个小组代表上台展示不同的消元思路。

1.4.7.思路A：观察①和②，消去c简便（两式相减得-2b=4

=>b=-2

），再将b代入①、③，转化为关于a,c的二元一次方程组。

2.5.8.思路B：由①得c=-a+b

，代入②、③，消去c。

【师】引导学生比较，思路A更优，因为直接利用①和②的结构特点，一步就求出了b，简化了计算。强调解方程组前先观察方程特征，选择最优消元路径的重要性。

6.9.师生共同完成计算（板书详细步骤），得出结果：a=1,b=-2,c=-3

。

10.写：将a,b,c的值代回所设解析式，得到y=x²-2x-3

。

11.验：如何检验我们求得的表达式是正确的？（引导学生提出：将第三个点的坐标代入验证，或者用GeoGebra画图验证三点是否在函数图象上）。完成检验。

活动4：归纳步骤，提炼思想

师生共同梳理解题步骤，教师板书“四步法”：一设、二代、三解、四写（验）。

【师】深层追问：“为什么必须要求三点‘不共线’？如果三点共线会怎样？”

引导学生思考：若三点共线，则它们同时满足某个一次函数y=kx+m

。将三点代入y=ax²+bx+c

得到的三个方程，是否可能无解？或解出的a=0

？从而从代数角度（方程组无解或退化为一次函数）和几何角度（不存在一条抛物线同时经过共线的三点，除非这条“线”是抛物线的一部分，即抛物线退化为直线，此时a=0）理解“不共线”这一条件的必要性。

设计意图

：这是本节课的核心技能建构环节。通过一个典型例题，完整呈现方法的应用过程。将难点“解三元一次方程组”放手给学生探究，在“做数学”中暴露问题、分享策略、优化方法。最后的深度追问，将操作技能提升到数学原理的理解层面，实现“知其然更知其所以然”。

第三环节：变式演练，促进理解迁移（预计时间：12分钟）

探究任务二：面对特殊点，如何更聪明？

出示例2：已知二次函数图象的顶点是(2,-1)，且经过点(1,0)，求这个函数的表达式。

【师】“本题只给了两个点，能确定吗？仔细读题，有什么特殊信息？”

【生】发现一个点是“顶点”。

【师】“如果还设一般式y=ax²+bx+c

，代入后得到的方程组和刚才有什么不同？”（未知数还是三个，但方程只有两个，无法求解）。这促使学生思考：必须利用“顶点”这一特殊条件。

引导学生回忆二次函数的顶点式：y=a(x-h)²+k

，其中(h,k)

为顶点坐标。

【生】尝试：设顶点式y=a(x-2)²-1

，再将点(1,0)代入：0=a(1-2)²-1

，解得a=1

。所以表达式为y=(x-2)²-1

，即y=x²-4x+3

。

【师】引导学生对比两种方法：本题用顶点式，只需求一个未知数a，计算大大简化。强调：根据已知条件的特点，灵活选择二次函数的表达形式（一般式、顶点式、交点式），是优化解题的关键策略。

设计意图

：通过变式，打破学生“凡题必设一般式”的思维定势，引导他们审题时关注条件特征，选择最简捷的数学模型。这体现了数学的灵活性，培养了学生的策略性思维。

第四环节：综合应用，内化能力（预计时间：10分钟）

课堂练习（分层设计）

学生在“探究学习任务单”上完成。

A组（基础巩固）：

1.图象过(0,1),(1,2),(2,1)三点。

2.图象与x轴交于(-1,0),(3,0)，且过点(1,4)。（提示交点式的应用）

B组（能力提升）：

3.已知抛物线经过A(1,3)，B(0,4)，C(-1,7)三点。小明解题时，设解析式为y=ax²+bx+4

，他这样设的依据是什么？用他的方法求解。

（考查对“图象过点(0,4)”即“c=4”这一隐含条件的敏锐洞察，以及利用已知条件减少未知数个数的技巧。）

C组（拓展思考）：

4.是否存在一个二次函数，其图象同时过点(1,0),(2,0),(3,0)？若存在，请求出；若不存在，请说明理由。

（引导学生发现三点均在x轴上，即与x轴交点横坐标分别为1,2,3。可用交点式y=a(x-1)(x-2)(x-3)

？引发认知冲突，认识到这是一个三次函数。进而理解三个不同的点若都在x轴上，则它们共线，不满足“不共线”条件，无法唯一确定一个二次函数，但满足条件的二次函数有很多，其通式为y=a(x-1)(x-2)

？需要深入讨论。）

学生独立练习，教师巡视，针对性地指导有困难的学生。完成后，通过投影展示不同层次的学生解答，组织互评，教师点拨。

设计意图

：分层练习满足不同层次学生的需求，实现“保底不封顶”。A组巩固基本技能；B组培养条件分析和策略优化能力；C组作为弹性内容，供学有余力者挑战，深化对“不共线”和“唯一性”的理解，并触及知识边界。

第五环节：反思总结，体系建构（预计时间：5分钟）

活动5：回顾与梳理

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识：不共线三点唯一确定一个二次函数。

2.方法：待定系数法（设、代、解、写、验）。根据条件特点灵活选择函数形式（一般式、顶点式、交点式）。

3.思想：类比迁移、化归转化（化求函数式为解方程组）、数形结合、模型思想。

4.易错点：代入坐标时符号错误；解方程组策略不当导致计算繁杂；忽略“a≠0”的检验。

活动6：展望与链接

【师】“今天，我们学会了用‘代数密码’（解方程组）来锁定一条抛物线。这就像掌握了绘制抛物线的一种‘编程’方法。未来，当我们学习二次函数的性质时，这个‘密码’将成为我们分析的起点。更重要的是，当我们面对现实世界中诸如最优投资、最大利润、最短路径等非线性优化问题时，今天学到的方法，就是我们构建数学模型、寻找‘最优解’的强大工具。”

设计意图

：系统化、结构化的总结帮助学生将零散的知识点串联成网。富有激励性的结语将课堂所学与未来学习、现实世界相连，提升学习的高度和意义感。

七、分层作业设计

1.必做题：

1.2.教材课后基础练习题。

2.3.已知二次函数图象经过(0,-2),(-1,-1),(1,1)三点，求表达式。

3.4.一个抛物线的形状与y=2x²

相同，且经过点(1,-3)和(-2,0)，求其表达式。（考查对“形状相同”即|a|

相等的理解）

5.选做题：

1.6.尝试推导二次函数的“交点式”y=a(x-x₁)(x-x₂)

（其中x₁,x₂是抛物线与x轴交点的横坐标），并利用交点式解决练习中的第2题。

2.7.查阅资料，了解数学史上关于“插值法”的故事（如拉格朗日插值），写一篇200字左右的数学短文，谈谈它与本节课内容的联系。

8.实践探究题（小组合作）：

寻找生活中一个疑似符合二次函数模型的现-象或物品（如拱门、喷泉弧线、跳绳轨迹等），尝试测量或估算三个点的数据，建立二次函数模型，并利用模型进行一个简单预测（如最大高度），形成一份简短的探究报告。

八、板书设计（规划）

左侧（主板书区）

右侧（副板书/生成区）

课题：用待定系数法求二次函数的表达式

GeoGebra演示区（预留）

一、原理：不共线三点→唯一二次函数

学生解题展示区

二、方法步骤（四步法）：

例2解答过程：

1.设：y=ax²+bx+c(a≠0)

设y=a(x-2)²-1

2.代：代入点坐标，得方程组

代(1,0):0=a(1-