第6讲二次函数的综合应用

第一轮基础复习第三章函数第16讲二次函数的综合应用

1.(2025·深圳模拟)如图，若被击打的小球飞行高度h(单

位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为h＝30t

－6t2，则小球从飞出到落地所用的时间为

s.52.(2025·茂名三模)高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠久而驰名中外.在销售荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高于80元，商家发现销售量y(单位：kg)与每千克售价x(单位：元)之间的函数关系如图所示.(1)求y关于x的函数关系式；解：(1)由图，可知销售量y(单位：kg)与每千克售价x(单位：元)

之间的函数关系为一次函数，设y＝kx＋b，将(40，90)，(80，40)分别代入，

(2)设该商家挂绿荔枝的销售额为w(单位：元)，当每千克售价定为多少元时，销售额最大？最大销售额是多少？2.(2025·茂名三模)高州荔枝以品种多、品质优、口感佳和历史悠久而驰名中外.在销售荔枝过程中，每千克售价不低于40元且不高于80元，商家发现销售量y(单位：kg)与每千克售价x(单位：元)之间的函数关系如图所示.

∴当x＝56时，w有最大值，最大值为3920.答：当每千克售价定为56元时，销售额最大，最大销售额为3920元.3.(2025·广州模拟)如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量.如图2是一棵树枝AB在平面直角坐标系中的示意图，树枝AB近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度y(m)与它到树干OA的水平距离x(m)近似满足一次函数关系y＝0.1x＋1，树枝AB经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点P距离地面0.7

m，且与树干OA的水平距离为1.5

m.(1)求该抛物线的解析式(无需写出自变量的取值范围)；解：(1)一次函数关系y＝0.1x＋1与x轴交于点A，当x＝0时，得y＝1，∴A(0，1).设该抛物线的解析式为y＝a(x－1.5)2＋0.7.

(2)经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足(1)中的抛物线，且测得树枝端点C处距离地面1.9

m.为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干OA不得超过4.7

m，试通过计算判断此树枝是否需要修剪.解：(2)此树枝不需要修剪.理由如下：

解得x1＝4.5，x2＝－1.5(不合题意，舍去).∵4.5＜4.7，∴此树枝不需要修剪.

4.

如图，正方形OABC的边长为2，OC与y轴正半轴的

夹角为30°，点A在抛物线y＝ax2(a＜0)的图象上，则a

的值为

⁠.

5.(2025·广州二模)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度.科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球(发射台离地面距离忽略不计).(1)当v0＝12时，①求小球离地面的最大高度；解：(1)由题意，当v0＝12时，解：(1)由题意，当v0＝12时，①小球离地面的最大高度对应二次函数为h＝－5t2＋12t，

∴最大高度h＝－5×(1.2)2＋12×1.2＝7.2.②经过多少时间小球的高度达到4

m？解：②由题意，令h＝4，则－5t2＋12t＝4，整理为－5t2

＋12t－4＝0，∴t＝0.4或t＝2.答：经过0.4s或2s小球的高度达到4m.解：②由题意，令h＝4，则－5t2＋12t＝4，整理为－5t2＋12t－4＝0，∴t＝0.4或t＝2.答：经过0.4s或2s小球的高度达到4m.5.(2025·广州二模)从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h(m)满足关系式h＝－5t2＋v0t，其中t(s)是物体运动的时间，v0(m/s)是物体被发射时的速度.科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球(发射台离地面距离忽略不计).(1)当v0＝12时，

解：(2)结论正确，理由如下：小球总时间t满足－5t2＋v0t＝0.

∴v0＝5t.

∴该比值为常数5.

(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的坐标；解：(2)如图1，当点P在BC下方时，解：(2)如图1，当点P在BC下方时，图1∵∠PCB＝∠OBC，∴PC∥OB.

∴点P与点C关于抛物线对称轴对称.

∴点P的坐标为(8，－3).如图2，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于H，∵∠PCB＝∠OBC，∴CH＝BH.

∴CH2＝BH2.设H(m，0)，∴(0－m)2＋(－3－0)2＝(9－m)2.图2解得m＝4.∴H(4，0).设直线PC解析式为y＝