九年级数学下册《组合图形阴影面积求解策略》专题复习教案

九年级数学下册《组合图形阴影面积求解策略》专题复习教案

一、课程背景与设计理念

在深化课程改革、发展学生核心素养的背景下，本课的设计突破了传统“就题论题”的复习模式，立足于“大单元教学”理念，将初中阶段零散的面积求解知识进行系统整合与重构。本课不仅关注数学内部知识的逻辑关联（如几何变换、函数思想、方程建模），更致力于打破学科壁垒，融入物理光学（影子问题）、美术构图（留白与布局）的视角，以“组合图形阴影面积”为载体，旨在培养学生直观想象、逻辑推理、数学抽象和数学建模等关键能力。课程设计秉持“以学生为中心”的原则，通过问题驱动、自主探究、合作交流、技术赋能等方式，引导学生在解决复杂问题的过程中，自主构建知识网络，领悟数学思想方法，最终达成深度学习与高阶思维的发展。

二、教学内容分析

（一）教材地位与作用

本节课选自北师大版九年级下册，是初中几何知识的综合与提升环节。阴影部分面积的计算，是历年中考的【高频考点】和【区分度较高的题型】。它并非孤立的知识点，而是将三角形、四边形、圆、扇形、弓形等基本图形的面积计算公式，与全等、相似、平移、旋转、轴对称等几何变换以及函数知识紧密结合的产物。通过本课的学习，能够有效检验学生对基础知识的掌握程度、灵活运用能力以及分析问题、转化问题的综合素养，是学生从“学会”走向“会学”的关键一步。

（二）学情分析

1.知识储备：学生已经系统学习了三角形、特殊四边形、圆、扇形等基本图形的面积公式，掌握了全等、相似、平移、旋转、轴对称等图形变换的基本性质，具备了一定的函数基础知识。

2.能力现状：九年级学生具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力，但在面对复杂、非标准的组合图形时，普遍存在“识图不清”、“转化无路”、“方法不当”的问题。【难点】在于如何引导学生从复杂的图形中剥离出基本模型，并能根据图形特征灵活选择最优的求解策略。

3.心理特征：处于复习阶段的学生，对单一的习题讲解容易产生倦怠感。本课设计将通过创设富有挑战性和现实意义的情境，激发学生的求知欲和探索热情。

三、教学目标设计

基于核心素养导向，确立本节课的教学目标如下：

（一）知识与技能目标【基础】

1.熟练掌握三角形、四边形、圆、扇形、弓形等基本图形的面积公式。

2.理解并掌握求解组合图形阴影面积的四种核心策略：直接法、割补法、等积变换法、整体与部分关系法。

3.能够准确识别复杂图形中的基本构图，并灵活运用上述策略解决相关问题。

（二）过程与方法目标【非常重要】

4.经历从具体问题中抽象出数学模型的过程，体会“转化”这一解决数学问题的核心思想。

5.通过小组合作探究一题多解、多解归一，培养学生思维的灵活性、发散性和深刻性。

6.借助几何画板等信息技术工具，动态演示图形变换过程，帮助学生直观理解等积变换的原理，发展几何直观与空间想象能力。

（三）情感态度与价值观目标

7.在探索与求解的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

8.感受数学图形的对称美、和谐美，体会数学方法解决实际问题的应用价值。

9.养成严谨求实、勇于探索的科学态度和合作交流的学习习惯。

四、教学重难点

（一）教学重点【高频考点】

掌握求解组合图形阴影面积的常用策略，并能根据具体图形特征进行合理选择和运用。

（二）教学难点【难点】

灵活运用“转化思想”，将不规则的、复杂的阴影部分面积转化为可求的基本图形面积的和或差。

五、教学策略与方法

本课采用“问题情境—自主探究—合作交流—变式提升—总结反思”的教学模式。

1.启发式教学：通过精心设计的问题串，层层递进，引导学生思考和发现。

2.探究式学习：鼓励学生动手画图、动脑思考，在操作和思辨中寻找解题路径。

3.合作学习：组织小组讨论，交流不同的解题思路，实现思维的碰撞与共享。

4.信息技术融合：运用几何画板动态演示图形的生成、平移、旋转、对称等变换过程，直观呈现等积变形的原理，突破教学难点。

六、教学实施过程（核心环节）

（一）情境导入，激发兴趣（约5分钟）

1.创设情境：上课伊始，通过多媒体展示一组图片：精美的镂空窗花、阳光透过树叶投下的斑驳光影、城市中错落有致的建筑剪影、一副由几何图形构成的抽象画。引导学生从数学的视角观察这些现象，提问：“在这些美丽的图案中，你们看到了哪些熟悉的几何图形？它们是如何组合的？光线照不到的地方（阴影部分）或图案留白部分，它们的面积你能计算吗？”

2.揭示课题：从生活实例中抽象出数学问题，顺势引出本节课的核心主题——“组合图形阴影面积求解策略”。并指出，计算这些看似复杂的面积，其背后蕴含着精妙的数学思想和简洁的数学方法。

（二）温故知新，构建基础（约8分钟）

1.核心知识回顾：【基础】教师引导学生快速回顾求解面积所依赖的“基石”。

（1）基本图形面积公式：矩形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆、扇形（扇形面积公式：S=nπR²/360或S=1/2lR，需强调圆心角n与弧长l的作用）、弓形（由扇形与三角形组合推导）。

（2）重要定理与性质：全等三角形的面积相等；相似三角形的面积比等于相似比的平方；同底等高（或等底等高）的三角形面积相等；平行线间的距离处处相等。

2.模型初探：【重要】通过一个简单例题，让学生快速进入状态。例如：在边长为a的正方形中，分别以各边为直径向形内画半圆，求四个半圆围成的花瓣形（阴影）的面积。引导学生分析：这是最基本的“组合”问题，阴影可以看作是四个半圆（两个整圆）的面积之和减去正方形的面积。初步感知“整体与部分”的关系。

（三）合作探究，建构策略（核心环节，约25分钟）

本环节是本课的重中之重，教师将精心挑选并呈现三个层层递进的典型例题，引导学生分组探究，从不同角度寻找解题路径，并归纳总结出通用的解题策略。

【探究活动一】“割”与“补”的艺术——不规则变规则

例题1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6。分别以A、B为圆心，以AC、BC的长为半径画弧，交AB边于点E、F。求阴影部分（即两个扇形与三角形重叠之外的部分）的面积。

教学实施：

1.独立观察：学生首先独立思考，尝试在图形上标注已知条件，识别图形构成。

2.小组讨论：小组内交流各自的初步想法。教师巡视，捕捉学生中的典型思路。

3.思路展示与辨析：请两个小组的代表上台，利用投影仪展示本组的解题思路。

1.4.思路一（直接法）：发现阴影部分无法直接用公式，尝试将其分割成两个规则的小弓形和一个三角形？发现分割后的小弓形计算复杂（需要用到三角函数求圆心角），不是最优解。

2.5.思路二（割补法）：【非常重要】【高频考点】有学生提出，虽然两个扇形有重叠部分，但如果我们换个视角。整个图形由Rt△ABC、扇形AEF和扇形BFC构成。阴影面积=扇形AEF的面积+扇形BFC的面积-Rt△ABC的面积。学生解释：因为两个扇形相加，覆盖了△ABC的面积一次，加上两个扇形重叠的区域（四边形DCFE？需要更精确）被计算了两次，减去△ABC后，正好剩下两个扇形的重叠部分？不对，这样反而复杂了。此时，教师介入，引导学生重新审视两个扇形的圆心角和半径。学生发现，两个扇形的半径分别是8和6，但它们的圆心角∠A和∠B的和是90°（因为∠C=90°）。这提示了可以将两个扇形拼合起来。

3.6.思路三（拼合法/割补法的高级应用）：受直角三角形两锐角互余的启发，能否将两个扇形“移动”到一起？在几何画板中，教师动态演示：将扇形BFC绕点B逆时针旋转，或将扇形AEF绕点A顺时针旋转。最终引导学生发现，可以将两个扇形通过旋转拼成一个以C为圆心、但半径不同的组合体？更精确的操作是，因为∠A+∠B=90°，所以两个扇形可以拼成一个半径为？的圆的四分之一？但两个半径不相等，不能直接拼成一个整扇形。那么，能否将小扇形剪下一部分补到大扇形中？这过于复杂。此时，教师引导学生回归到“面积和差”的本质上。阴影面积是△ABC中未被扇形覆盖的两个小月牙形区域。这两个小月牙的面积=△ABC的面积-两个扇形覆盖在三角形内的部分。两个扇形在三角形内的部分，分别是两个小扇形（圆心角为∠A和∠B，半径分别为8和6）。所以，S阴影=S△ABC-(S扇A+S扇B)。S扇A=(∠A/360)×π×64，S扇B=(∠B/360)×π×36。因为∠A+∠B=90°，所以S扇A+S扇B=(90/360)×(π×64+π×36)/？不对，这里不能直接提取公因式，因为分母的360需要统一。正确的计算是：S扇A+S扇B=(π×64×∠A)/360+(π×36×∠B)/360=[π(64∠A+36∠B)]/360。由于∠A+∠B=90°，不能直接化简成(1/4)π(64+36)的形式，除非∠A=∠B。此路受阻。

7.教师点拨与策略提炼：教师引导学生从另一个角度思考“割补”。我们要求的是两个“弯弯”的阴影。直接求困难。但是，整个图形中，还有哪些部分？我们可以用总面积减去空白部分。总面积是Rt△ABC。空白部分是两个扇形在三角形内的部分。这两个扇形的半径已知，但圆心角未知。然而，我们知道这两个扇形的圆心角∠A和∠B互余。如果我们能构造出一个与这两个扇形面积之和相等的、规则的扇形就好了。这里需要用到【等积变换】的思想。虽然两个扇形半径不同，但我们可以利用三角形相似或三角函数求出具体角度？可以，但复杂。继续观察，两个扇形在三角形内的部分，其边界交于一点？设两弧交于D点。连接CD。那么扇形A(圆心角∠A，半径8)和扇形B(圆心角∠B，半径6)。它们的面积和无法直接合并。但如果我们过D点作垂线？过于复杂。

8.重构思路：回到最简单的逻辑。阴影部分的面积等于Rt△ABC的面积减去两个扇形的面积。那么，我们只需要求出∠A和∠B的度数。在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，AB=10。sinA=BC/AB=3/5，sinB=4/5。∠A和∠B的度数可以用反三角函数表示，虽然不是特殊角，但在计算扇形面积时，我们不需要具体的角度值，只需要知道∠A和∠B占360°的比例。S阴影=1/2×6×8-(∠A/360×π×64+∠B/360×π×36)=24-(π/360)(64∠A+36∠B)。因为∠A+∠B=90°，所以∠B=90°-∠A，代入化简，还是无法直接得到数值结果。说明此题的意图不在于得出精确数值，而在于建立模型。或者，此题的数据是精心设计的？验算：AC=8，BC=6，那么tanA=6/8=3/4，∠A≈36.87°，∠B≈53.13°，代入计算可得数值结果。

9.策略归纳：通过此题，师生共同归纳出策略一：【割补法】。即通过添加辅助线，将不规则的图形分割成若干规则图形，或将图形中的一部分切割下来，补到另一部分上，使其成为一个规则图形，从而简化计算。同时也涉及到【整体与部分关系法】（总面积减空白）。

【探究活动二】“移”与“转”的智慧——等积变换的魅力

例题2：如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6。以A为圆心，AB为半径画弧，交AD于E；以C为圆心，CD为半径画弧，交CB于F。求阴影部分（即两弧在矩形内围成的区域）的面积。

教学实施：

1.问题解析：此题图形比上题更复杂。阴影部分由两个四分之一圆（扇形）在矩形内重叠形成的一个不规则“橄榄”形？实际上是两个扇形的重叠部分？仔细观察，以A为圆心的扇形ABE，半径4，圆心角90°，覆盖了矩形左上角。以C为圆心的扇形CDF，半径4，圆心角90°，覆盖了矩形右下角。两个扇形有重叠区域吗？没有直接重叠。阴影部分实际上是矩形减去两个扇形后，剩下的两部分？不对，图形中的阴影标注的是中间那个类似平行四边形的区域？需要根据教材或常见题明确。通常这类题，阴影是两弧围成的一个类似“透镜”的区域，即两个扇形的交集。如果是交集，则阴影面积=扇形ABE的面积+扇形CDF的面积-某个可求图形？但它们没有直接重叠，其交集是空的，除非两弧相交。所以，合理的图形应是：分别以A和C为圆心，AB长为半径画弧，分别交AD于E，交BC于F，那么这两条弧是分离的，它们围成的区域实际上是矩形中间的一个“鼓形”？这不合理。更常见的图形是：以B为圆心，BC为半径画弧交CD于E；以D为圆心，AD为半径画弧交AB于F，两弧相交于矩形内一点，求围成的图形面积。为避免图形歧义，在此我们调整为标准的“等积变换”经典题。

（为了教学效果，此处采用更经典的等积变换模型）

调整后例题2：如图，正方形ABCD的边长为4，分别以B、D为圆心，以边长为半径在正方形内画弧，两弧交于一点，求两弧所围成的阴影部分（类似一个“树叶”形，即两个扇形的重叠部分）的面积。

2.方法探究：

1.3.解法一（直接分拆）：连接两弧交点与B、D，阴影被分成两个相等的弓形。求出其中一个弓形的面积乘以2即可。弓形面积=扇形（圆心角？）面积-等边三角形？连接交点与B、D，发现三角形B?D是等边三角形？以B为圆心，边长为半径画弧，则弧上的点到B的距离等于边长，所以交点C？不对，交点应满足到B和D的距离都等于边长4，所以三角形BD?是边长为4的等边三角形，因此圆心角为60°。解法可行。

2.4.解法二（等积变换）【非常重要】【热点】：引导学生思考，能否不分割，而通过整体构造来求解？连接正方形的对角线BD。此时，我们发现阴影部分被BD分成两个完全一样的弓形，与解法一本质相同。

3.5.解法三（更高阶的等积变换）：启发学生，阴影部分可以看成是两个半径为4、圆心角为90°的扇形（即四分之一圆）的面积之和，再减去一个什么图形的面积？两个90°扇形相加，覆盖了整个正方形，并且重叠部分恰好就是阴影部分被算了两次。因此，S阴影=S扇B+S扇D-S正方形。S扇B=1/4×π×16=4π，同理S扇D=4π。所以S阴影=8π-16。这个解法如此简洁！其本质就是利用了“整体与部分”的关系，将两个规则扇形相加，再减去构成的正方形，巧妙地绕过了对不规则形状的直接分割。这种方法体现了“容斥原理”的思想，也是【割补法】的一种高级形式。

6.策略归纳：通过对比，学生深刻体会到解法三的优越性。教师进一步点明，无论是连接对角线分割，还是利用容斥原理，其核心思想都是“等积变换”——即在保持面积不变的前提下，通过重组图形各部分的位置关系，建立起与规则图形之间的联系。总结出策略二：【等积变换法】（包含旋转、平移、对称、容斥等）。

【探究活动三】“建”与“算”的结合——函数思想的融入

例题3：如图，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C。点P是抛物线上第一象限内的一个动点。当△PBC的面积最大时，求点P的坐标，并求出这个最大面积。

教学实施：

1.学科融合：本题将几何面积与代数函数深度融合，是【非常重要】的代数几何综合题，也是【高频考点】。

2.问题拆解：

1.3.第一步，求基础点坐标。令y=0，得x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3。所以A(-1,0)，B(3,0)。令x=0，得y=-3，所以C(0,-3)。

2.4.第二步，表示面积。△PBC的三边均不在坐标轴上，是斜三角形。求其面积，常用方法是“割补法”或“铅垂高法”。【重要】

方法一（铅垂高水平宽）：过点P作PQ⊥x轴，交BC于点Q。则S△PBC=½×PQ×(B的横坐标-C的横坐标)?更准确地，铅垂高水平宽公式：S△=½×铅垂高×水平宽。这里水平宽可取B与C的横坐标之差，即3-0=3。铅垂高即为PQ的长度。需先求出直线BC的解析式。由B(3,0)，C(0,-3)，易得直线BC：y=x-3。设P(m,m²-2m-3)，则Q(m,m-1)。则PQ=(m-1)-(m²-2m-3)=-m²+3m+2。所以S(m)=½×(-m²+3m+2)×3=-3/2m²+9/2m+3。

方法二（分割法）：连接OP，则S△PBC=S△POC+S△POB-S△OBC。分别计算三个三角形的面积。S△POC=½×OC×P点横坐标的绝对值=½×3×m=1.5m；S△POB=½×OB×P点纵坐标的绝对值=½×3×|m²-2m-3|，由于P在第一象限，m>0，且此时m²-2m-3可能为负，所以取绝对值需判断范围。当m>3时，y为正；当0<m<3时，y为负。因此需要分段讨论，略显繁琐。相比之下，铅垂高法更简洁。

3.5.第三步，求最值。S(m)=-3/2m²+9/2m+3(其中m是P点横坐标，且P在第一象限，故0<m<3?实际上P是动点，m的范围应为0<m<4?需结合抛物线图像，P在第一象限，则x>0，y>0，解得x>3。所以m>3)。这是一个开口向下的二次函数，顶点处取最大值。当m=-b/(2a)=-(9/2)/(2×(-3/2))=1.5。但1.5不在定义域m>3内，说明最大值在边界m=3处取得？但m=3时P与B重合，面积为零。这说明我们对定义域的判断有误。当P在第一象限且位于抛物线上时，其纵坐标大于0，即m²-2m-3>0，解得m<-1或m>3。结合第一象限，m>3。所以函数S(m)=-3/2m²+9/2m+3在区间[3,+∞)上是递减的，因为其对称轴为1.5，所以在m=3时取最大值，但m=3时三角形不存在。这揭示了一个问题：也许我们对“第一象限”的理解有偏差，或者题目中P点应为“抛物线上位于BC上方的一个动点”，这样m的范围就在0到3之间。调整题目条件，使问题更合理。设P是抛物线上BC上方的一个动点，则m的范围在0到3之间，此时S(m)的顶点m=1.5在区间内，最大值即为顶点值。

6.策略归纳：通过本题，学生掌握了利用【函数思想】解决面积最值问题的方法。核心是选择一个合适的变量（通常是动点坐标），将目标图形的面积表示成这个变量的函数，然后利用二次函数或一次函数的性质求出最值。这种“数形结合”的思想是解决动态几何问题的利器。

（四）变式训练，内化提升（约10分钟）

呈现一组变式题，要求学生快速判断应使用哪种核心策略，并简述思路。

1.变式1（割补法）：如图，是两个等圆相交，圆心分别在对方的圆周上，已知圆半径为R，求两圆公共部分的面积。

2.变式2（等积变换）：在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD的中点，连接AC、BE相交于点F，求四边形EFCD的面积与矩形面积的比。

3.变式3（函数思想）：在边长为2的正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的动点，且AE=BF，连接DE、AF交于点G，求△AGD面积的最大值。

学生分组讨论，口述解题关键。教师点评，强化对各种策略适用情境的认识。

（五）课堂小结，构建网络（约5分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结。

1.知