九年级数学下册相似三角形判定定理（三）教案

九年级数学下册相似三角形判定定理（三）教案

一、课程基本信息与设计理念

1.设计理念

本教案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为指导，立足于发展学生核心素养，特别是几何直观、推理能力、模型观念和应用意识。设计秉承“学生为主体，教师为主导，探究为主线”的现代教学理念，打破传统判定定理教学的机械记忆与重复练习模式。通过创设真实且富有挑战性的问题情境，引导学生经历“观察—猜想—验证—证明—应用—拓展”的完整数学探究过程。本设计注重知识的生成性与结构性，将“两边成比例且夹角相等”的判定方法置于相似三角形判定定理的整体知识框架中，通过对比与联系，帮助学生构建系统化的认知网络。同时，深度融合信息技术（如动态几何软件），将抽象的几何关系可视化、动态化，降低认知负荷，深化理解。教学过程中有机融入数学史与跨学科应用，展现数学的文化价值与应用广度，激发学生内在学习动机。

2.教材与学情分析

1.教材分析：本节课内容选自人教版九年级数学下册第二十七章《相似》中的“27.2.1相似三角形的判定”。此前，学生已学习了平行线分线段成比例基础、相似多边形概念以及相似三角形的定义，并掌握了两个判定定理：“平行于三角形一边的直线构成相似三角形”和“三边成比例的两个三角形相似”。本节课的“判定定理3：两边成比例且夹角相等”是三角形相似判定方法的完善与关键一环，它相比“三边成比例”条件更易在具体问题中验证和应用，是解决实际测量问题和复杂几何证明的核心工具。教材的编排遵循从特殊到一般、从简单到复杂的认知规律，本节课承上启下，为后续学习相似三角形的性质及其在测量、位似变换中的应用奠定坚实基础。

2.学情分析：九年级学生已具备一定的逻辑推理能力、图形观察能力和合作探究意识。他们对三角形全等的判定（尤其是SAS）已有深刻印象，这为类比学习相似三角形的判定提供了良好的认知锚点。但学生也存在以下潜在困难：一是容易混淆全等判定（SAS）与相似判定（两边成比例且夹角相等）的条件异同；二是在复杂图形中准确识别“夹角”对应的两组边存在困难；三是将判定定理灵活应用于非标准图形或实际问题时，建模与转化能力不足。因此，教学设计需强化对比辨析，加强变式训练，并搭建从具体到抽象的思维脚手架。

3.教学目标

基于核心素养导向，设定以下三维教学目标：

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握相似三角形的判定定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

2.3.能准确书写该判定定理的数学符号语言，并能对照图形进行表述。

3.4.能够熟练运用判定定理3证明两个三角形相似，并解决相关的计算与证明问题。

4.5.能综合运用已学的三个判定定理，根据已知条件灵活选择最优方法判定三角形相似。

6.过程与方法：

1.7.经历通过画图、测量、计算、猜想、几何论证发现判定定理的过程，体验数学探究的一般方法。

2.8.通过类比全等三角形SAS判定法，体会从特殊（全等）到一般（相似）的数学思想。

3.9.在解决实际问题中，发展从实际情境抽象出几何模型（相似三角形）的建模能力。

4.10.通过运用几何画板等软件，感受信息技术在探索动态几何关系中的强大功能。

11.情感态度与价值观：

1.12.在探究活动中获得成功的体验，增强学习几何的自信心和兴趣。

2.13.体会数学定理的严谨性与简洁美，感受数学内部（全等与相似）及数学与其他学科（如物理、工程）的紧密联系。

3.14.培养合作交流、勇于质疑、言必有据的科学态度。

4.教学重点与难点

1.教学重点：相似三角形判定定理3的理解与应用。

2.教学难点：

1.3.定理证明中辅助线（平行线）的添加思路及其合理性理解。

2.4.在复杂图形或实际问题中，准确识别并构造满足“两边成比例且夹角相等”条件的三角形。

3.5.判定定理的灵活选择与综合运用。

5.教学准备

1.教师准备：多媒体课件（含几何画板动态演示文件）、导学案、三角板、实物投影仪。

2.学生准备：直尺、圆规、量角器、练习本、导学案。

3.教学环境：配备多媒体和互动白板的教室，便于动态演示和学生展示。

二、教学过程实施

第一环节：情境激趣，问题导入(预计时间：8分钟)

1.创设现实问题情境

教师展示一组图片/视频：

1.图片1：古希腊数学家泰勒斯测量金字塔高度的历史故事插图。

2.图片2：现代工程中，测量人员利用标杆测量河宽的现场照片。

3.图片3：物理光学实验中，小孔成像的光路示意图。

教师提问：“同学们，这些跨越古今的场景有一个共同的数学‘秘密武器’，你们知道是什么吗？……对，就是相似三角形。我们已经掌握了两种判定三角形相似的方法。现在，假如你是一名测量员，手上只有一把刻度尺和一个量角器，面对一个不可直接到达的物体（如对岸的树、金字塔），如何利用有限的工具和最少的测量数据，高效地构建相似三角形模型，从而计算出目标的高度或宽度呢？”

2.提出核心挑战任务

“我们已知‘三边成比例’可以判定相似，但测量三条边往往费时费力。能否像判定全等三角形‘SAS’那样，只测量两条边和它们的夹角，就能确定两个三角形相似呢？这就是我们今天要探究的核心问题。”

【设计意图】：从数学史、现代工程和物理实验等多角度导入，迅速点燃学生兴趣，明确学习价值。提出的挑战任务直接指向新知的必要性，将生活问题数学化，引发认知冲突，为探究活动做好心理和思维上的铺垫。

第二环节：合作探究，猜想验证(预计时间：15分钟)

活动一：动手操作，初步感知

学生以四人小组为单位，完成导学案上的探究任务1：

1.任意画一个△ABC。

2.在边AB、AC上分别取点D、E，使得AD/AB=AE/AC=k（k为预设值，如1/2或2/3）。

3.连接DE。

4.用量角器测量∠A与∠A'（即∠A本身）、∠ADE与∠B、∠AED与∠C的大小；用刻度尺测量DE和BC的长度，计算DE/BC。

5.改变k的值或△ABC的形状，重复上述步骤2-3次。

6.小组内交流观察到的数据规律，形成初步结论。

教师巡视指导，利用实物投影仪展示部分小组的作图与测量结果。

活动二：动态演示，深化猜想

教师利用几何画板进行动态演示：

1.固定△ABC和∠A。

2.在AB、AC上动态移动点D、E，但始终保持AD/AB=AE/AC为某一固定比值。

3.引导学生观察：△ADE的形状如何变化？它与△ABC的对应角关系如何？△ADE与△ABC的第三边之比（DE/BC）与已知比值k有何关系？

4.改变∠A的大小或比值k，再次进行动态演示。

教师引导学生归纳猜想：“根据我们的动手实验和电脑的精准演示，大家能提出一个关于三角形相似的猜想吗？”

学生尝试表述：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形可能相似。

【设计意图】：让学生亲自动手操作，获得直观体验，是猜想产生的感性基础。几何画板的动态演示弥补了手工测量误差，使规律呈现更加精准和震撼，将感性认识提升至理性猜想。学生经历完整的“实验—观察—归纳”过程，体会数学发现的乐趣。

第三环节：推理论证，形成定理(预计时间：12分钟)

1.命题的数学化表述

教师引导学生将猜想用规范的数学语言表述为待证明的命题：

已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，且AB/A'B'=AC/A'C'。

求证：△ABC∽△A'B'C'。

2.分析证明思路

关键提问：“我们目前证明相似的主要依据是什么？（定义或判定定理1）”

“如何利用已知的‘两边成比例且夹角相等’条件，构造出符合‘平行线截三角形得相似’的基本图形？”

引导学生回顾判定定理1（平行线型），启发思考：能否在较大的三角形中，通过截取的方式构造一个与小三角形全等且与大三角形满足“A字型”或“8字型”的三角形？

3.师生共证，突破难点

教师带领学生共同分析并完成证明，强调辅助线的添加方法和原理：

1.在边AB（或A'B'）上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC交AC于点E。

2.根据平行线分线段成比例定理，可得AE=?(引导学生得出AE=A'C')。

3.因此，△ADE≌△A'B'C'（SAS）。

4.又因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC（判定定理1）。

5.根据相似的传递性，最终证得△ABC∽△A'B'C'。

教师板书规范的证明过程，并强调每一步推理的依据。

动态演示辅助线添加过程：用几何画板展示截取、作平行线的动态过程，将静态的辅助线转化为动态的构造思路，帮助学生理解其“由来”而非机械记忆。

4.形成定理，辨析对比

师生共同总结，得到判定定理3，并用文字、图形、符号三种语言进行表述。

对比辨析活动：将全等三角形的SAS判定与相似三角形的本定理进行对比。

特征

全等判定(SAS)

相似判定(两边夹角)

边的关系

两组对应边相等

两组对应边成比例

角的关系

夹角相等

夹角相等

结论

三角形全等

三角形相似

引导学生理解：全等是相似比为1的特殊相似。此环节深化了对知识间联系的理解，防止条件混淆。

【设计意图】：证明环节是数学教学的核心，重在思路的启发而非结果的灌输。通过分析引导，让学生理解辅助线是为了“创造”已知定理（判定定理1）的使用条件，感悟化归思想。动态演示使抽象的证明思路可视化。对比辨析则促进了知识的结构化，构建了清晰的概念网络。

第四环节：典例精析，应用内化(预计时间：25分钟)

本环节采用“分层递进，变式拓展”的策略，精选例题。

例1：基础应用，规范书写

如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，AD=3cm，AB=5cm，AE=4cm，AC=6cm，且∠A=∠A。求证：△ADE∽△ABC。

教学处理：学生独立完成，教师点评。重点强调：①对应边的寻找与比例的书写（强调大边比大边，小边比小边）；②证明过程的规范表述（条件、结论、依据）；③明确“夹角”是已知相等的那个角。

例2：条件识别，灵活运用

如图，四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5。求证：△ABC∽△ACD。

教学处理：引导学生分析图形，△ABC与△ACD有公共顶点A，但并非直接相邻。需要引导学生发现∠B与∠ACD是已知相等的角，但它们是“夹角”吗？分别找出这两个角的两条夹边：在△ABC中，∠B的夹边是AB和BC；在△ACD中，∠ACD的夹边是AC和CD。然后验证AB/AC与BC/CD是否相等。此题旨在训练学生在非标准位置下准确识别“对应边”和“夹角”。

例3：综合判断，方法优选

已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD的中点。

求证：（1）△ADQ∽△QCP；（2）AQ⊥QP。

教学处理：第（1）问，引导学生从正方形背景中挖掘边角条件（直角、边比），自然选择判定定理3。第（2）问，在证明相似的基础上，利用相似三角形对应角相等，推导出∠AQD与∠QPC互余，从而证明垂直。此题综合性强，涉及相似判定、性质及几何计算，培养学生综合运用知识的能力。

例4：实际建模，提升素养

（承接导入问题）测量员在河岸一侧点B处，测得对岸一棵树底部点A的视线与河岸的夹角（∠ABD）为30°。沿着河岸向后走20米到点C，再次测得树底A的视线与河岸的夹角（∠ACD）为60°。已知测量员目高（B、C到地面的垂线段）可忽略，求河宽AD。（提供示意图）

教学处理：引导学生将实际问题转化为几何图形。关键点：①识别出两个直角三角形△ABD和△ACD；②发现∠ADB=∠ADC=90°，且∠ABD=30°，∠ACD=60°；③判断△ABD与△CAD是否相似？为什么？（∠ABD=∠CAD=30°吗？）需要利用三角形外角或内角和定理进行推导。最终建立比例式求解。此题为跨学科应用，提升建模能力。

【设计意图】：例题设计由易到难，从直接套用到灵活识别，从单纯证明到综合计算与实际建模，层层深入。每个例题解决后，进行方法小结，引导学生反思“何时优先考虑用判定定理3？”（通常已知比例关系和夹角信息时）。通过变式训练，突破难点，促进知识向能力的转化。

第五环节：变式训练，巩固拓展(预计时间：10分钟)

学生独立或小组合作完成导学案上的分层练习。

A组（基础巩固）：直接应用定理进行判断或简单证明。

B组（能力提升）：在复杂图形中寻找或构造满足条件的三角形，涉及简单的计算。

C组（拓展探究）：

1.一题多解：给定一个条件组合（如已知两边成比例和一角相等，但角不是夹角），能否用其他判定定理证明？比较不同方法的优劣。

2.逆向思考：若△ABC∽△DEF，且AB/DE=AC/DF，那么∠A与∠D一定相等吗？为什么？

3.联系展望：已知“两边成比例且其中一边的对角相等”（即所谓的“SSA”情况），两个三角形一定相似吗？请用几何画板探索。

教师巡视，个别辅导，收集共性问题。C组题为学有余力的学生提供深度思考空间，培养思维的发散性与批判性。

第六环节：课堂小结，反思提升(预计时间：5分钟)

引导学生从多维度进行自主总结，教师完善：

1.知识内容：我们今天学习了哪个新的判定定理？它的内容、符号语言、证明关键是什么？

2.知识结构：至此，我们学习了哪些三角形相似的判定方法？请用思维导图或表格进行归纳。（平行线型、三边成比例、两边成比例夹角相等）。它们与三角形全等的判定方法有何联系？

3.思想方法：在探究和运用定理的过程中，我们用到了哪些重要的数学思想？（类比、转化化归、分类讨论、数学模型）

4.应用价值：相似三角形判定在生活中有哪些广泛的应用？

5.疑惑反思：你还有哪些疑问？本节课最大的收获是什么？

第七环节：分层作业，个性发展

必做题：教材课后练习相应章节基础题。

选做题：

1.设计一个利用本节课知识测量校园旗杆高度或教学楼宽度的方案（写出步骤、示意图和计算原理）。

2.探究：在艺术和建筑中著名的“黄金分割”与相似三角形有何内在联系？写一篇数学小短文。

3.挑战题：一道融合了函数、相似的综合几何证明题。

三、板书设计

主板书区（左侧）：

课题：27.2.1相似三角形的判定（三）

一、判定定理3

1.内容：两组对应边成比例，且夹角相等→两三角形相似。

2.图形：画标准示意图△ABC和△A'B'C'，标出比例边和等角。

3.符号语言：

∵在△ABC和△A'B'C'中，

AB/A'B'=AC/A'C'，且∠A=∠A'

∴△ABC∽△A'B'C'

二、证明思路与过程

关键词：截取、作平行、证全等、用判定1、传递性。

（简洁呈现关键辅助线和推理链条）

三、相似判定方法体系（表格）

副板书区（右侧）：

用于例题的关键步骤分析、学生演算展示、课堂生成性问题的记录等。保持清晰、灵活。

四、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、合作交流情况、提出问题的能力。

2.3.提问与反馈：通过层次性提问，诊断学