六年级下册数学期末思维拓展专题化难为易思想方法领航课件教案

六年级下册数学期末思维拓展专题化难为易思想方法领航课件教案

一、教学背景与目标设定

（一）教学内容分析

本课隶属于小学数学六年级下册期末总复习阶段的思维拓展专题。在小学数学课程体系中，六年级下册是学生小学阶段数学学习的终结，也是向初中数学过渡的关键期。本课内容并非全新的知识点讲授，而是基于学生已掌握的“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四大领域知识，进行的纵向深挖与横向联通。【重要】本课的核心在于提炼并应用数学思想方法，特别是“化难为易”这一核心策略，帮助学生应对复杂的、具有挑战性的综合性问题。通过对典型思维题型的剖析，引导学生领悟在面对复杂数量关系或抽象图形时，如何通过“退”，退到最简单、最原始的情境中去观察、归纳、类比，进而发现规律，再“进”来解决原问题。这既是对小学阶段数学思想的升华，更是为初中阶段学习代数思维、几何推理铺设思维台阶，体现核心素养导向下“会用数学的思维思考现实世界”的要求【3】【9】。

（二）学情分析

六年级学生经过近六年的学习，已经具备了基本的运算能力、初步的逻辑推理能力和空间观念。他们能够解决常规的、步骤明确的数学问题。然而，在面对信息量大、关系隐蔽、或需要自主构建模型的“思维拓展题”时，往往会感到无从下手，产生畏难情绪。【难点】学生的思维习惯仍以具体形象思维为主，正逐步向抽象逻辑思维过渡，但尚未形成系统的思想方法意识。他们习惯于套用公式和固定模式，缺乏“退”的勇气和“进”的策略。因此，本课的教学重点在于通过精心设计的问题串，让学生在经历“山重水复疑无路”的困惑后，通过“化难为易”的引导，体验“柳暗花明又一村”的顿悟，从而在认知冲突中主动建构思想方法，完成从“解题”到“解决问题”的能力跃升【4】【7】。

（三）教学目标

1.【基础】知识与技能：能够运用“化难为易”的思想，通过枚举、画图、列表等策略，探索并发现隐含在复杂问题中的数学规律（如数线段、图形分割、等积变形等），并能用准确的数学语言表达规律，进而解决相关问题。

2.【重要】过程与方法：经历“复杂问题—简单情境—探寻规律—解决原题”的探究过程，掌握“退-进-解”的问题解决策略。【高频考点】在观察、比较、分析、归纳、类比等数学活动中，提升逻辑推理能力、抽象概括能力和迁移类推能力。

3.【非常重要】情感态度与价值观：在克服困难的探究过程中，树立自信心，体验数学思考的乐趣与魅力。感受数学思想方法（如转化、数形结合、模型思想）在解决问题中的强大力量，培养理性精神和创新意识，为小初衔接做好思维与心理的双重准备【6】【9】。

（四）教学重难点

1.【重点】掌握“化难为易”的数学思考方法，能主动地从简单情形入手，寻找规律，解决复杂问题。

2.【难点】能够根据不同的问题情境，灵活选择合适的“退”的起点（如从n=1,2,3开始），并在观察数据的过程中，准确抽象出一般性的数学模型（规律），并运用该模型返回到原复杂情境中进行解答。

二、教学准备

多媒体课件（PPT），内嵌GeoGebra或网络画板动态演示素材【1】；探究学习单（含分层任务）；小组合作磁力贴板。

三、教学实施过程

（一）创境激疑，引出“难”题——开启思想之门

1.呈现生活情境，制造认知冲突

课件动画展示：【热点】“学校要举办毕业典礼，需要在礼堂天花板上的钉子之间拉彩带。如果每两个钉子之间都要拉一条彩带，现有30个钉子，一共需要准备多少条彩带？”

教师引导学生初步思考：“同学们，这是一个实际问题，也是一个数学问题。你能把它转化为一个数学模型吗？”（引导学生抽象出“点数”与“线段”的关系）

学生尝试列式或思考，很快会感受到数据太大，逐一画线或列举不现实。

教师顺势引导：“感觉怎么样？是不是有点复杂，甚至觉得无从下手？像这种直接思考感觉很‘难’的问题，在数学中非常常见。今天，我们就来学习一种‘以退为进’的智慧，专门攻克这类难题。”（板书课题：化难为易思想方法领航）【非常重要】

2.揭示课题，明确方向

教师点明：“面对复杂问题，伟大的数学家华罗庚先生告诉我们：‘善于‘退’，足够地‘退’，‘退’到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍。’今天，我们就来当一回‘小小数学家’，用这个诀窍来解决问题。”

（二）探究体验，经历“退-进”之程——核心环节

1.案例一：从“点线难题”入手，初建模型【非常重要】【高频考点】

（1）明确“退”的策略：

课件出示核心问题：30个点，每两个点连一条线段，一共可以连多少条线段？

师问：“30个点太多了，连起来很容易出错。根据华老先生的诀窍，我们应该怎么‘退’？”

引导学生回答：减少点数，从最简单的开始。

（2）动手探究，合作交流：

发放探究学习单（一），引导学生从2个点开始，依次增加点数，通过画一画、数一数、填一填，完成表格。

（学习单设计：表格列数包括“点数”、“示意图”、“新增线段数”、“总线段数”）

小组合作要求：一人画图，一人记录，一人汇报，全员思考规律。

教师巡视，选取典型作品（有序、无序的）准备展示。

（3）汇报展示，发现规律：

点数的选择：2个点（1条）、3个点（总3条，新增2条）、4个点（总6条，新增3条）、5个点（总10条，新增4条）。

重点追问：【难点】“为什么增加第4个点时，只增加了3条线段？增加第5个点时，只增加了4条线段？”（引导学生明确：新增的点只能和之前已有的每一个点各连一条，所以新增线段数等于原有点数。）

引导学生观察“总线段数”这一列，发现：2个点：1；3个点：1+2；4个点：1+2+3；5个点：1+2+3+4。

学生归纳规律：总线段数就是从1开始，一直加到比点数少1的那个数的和。

板书模型：n个点连成的线段数=1+2+3+……+(n-1)

（4）运用“进”的策略，解决原题：

师问：“现在，我们找到了规律，能不能‘进’回去，解决30个点的问题？”【重要】

学生列式：1+2+3+……+29。

教师介绍等差数列求和公式的简易算法（首项+末项）×项数÷2，并引导学生计算：（1+29）×29÷2=435（条）。

教师总结：这就是“以退为进”的威力！【非常重要】我们从最简单的1、2、3点开始，排除了干扰，找到了规律，最后轻松解决了大数据的难题。

2.案例二：走进“图形分割”，深化思想【难点】【热点】

（1）变式呈现，独立尝试：

课件出示：一个长方形，如果用一条直线切，可以把它分成两部分；如果用两条直线切，最多可以把它分成几部分？三条、四条……十条直线最多可以把一个长方形分成几部分？

师问：“这个问题和刚才的‘点线’问题一样，直接想10条线很困难。我们该怎么办？”

引导学生再次明确：化难为易，从直线条数最少的情况开始研究。

（2）动手操作，数形结合：

学生在学习单（二）上画一画。要求：探索“最多”的切法，即每一条新增直线都要与之前的每一条直线相交，且交点不重合。

从0条线开始（1部分），1条线（2部分），2条线（最多4部分），3条线（最多7部分）。

引导学生将抽象的数字与图形的分割过程对应起来。

（3）聚焦“新增部分”，探寻规律：

小组讨论：仔细观察，每增加一条直线，最多增加的部分与已有直线条数有什么关系？

通过动态课件演示【1】，让学生直观看到：第3条直线被前2条直线截成了3段，每一段都把原来的一个区域一分为二，所以新增了3个部分。

归纳规律：

直线数：0，1，2，3，4

部分数：1，2，4，7，11

新增数：/，+1，+2，+3，+4

总结：当画第n条直线时，最多可以新增n个部分。

（4）类比迁移，解决问题：

学生独立计算10条直线最多分成的部分数：1+(1+2+3+……+10)=1+55=56（部分）。

教师小结：【重要】无论是数线段还是分割图形，当我们遇到“最多”或“总数”的问题时，从最简单的情形开始，研究“新增量”的变化规律，是一种非常有效的通法。

3.案例三：挑战“等积变形”，拓展思维【非常重要】【热点】

（1）呈现问题，引发猜想：

课件出示（结合教材P90练习题7变形【1】）：在一张长18厘米、宽12厘米的长方形硬纸板上，剪出半径为2厘米的圆片，最多可以剪多少个？

学生初次尝试：可能会用大面积除以小圆面积来计算。列式：长方形面积=216cm²，圆面积≈12.56cm²，216÷12.56≈17.2，得出最多剪17个的猜想。

教师不置可否，而是引导实际操作思考：“真的能剪出17个吗？在纸上画圆，能像面积相除那样严丝合缝吗？这里面有什么隐藏的难点？”（引导学生关注“空隙”和“排列方式”）

（2）化繁为简，聚焦“排列”：

问题抽象：这其实是一个“密铺”或“优化排列”的问题。圆的直径是4厘米。【基础】

教师引导：“18和12相对于4来说虽然不大，但排列方式还是有点复杂。我们可以先从更简单的数据入手，比如把长方形改小一点，看看不同排列方式对数量的影响。”

引导学生将问题简化为：在长和宽都是4的倍数的长方形里，可以整齐排列（常规排列）；但当长或宽不是4的倍数时，或者为了利用边角料，我们还可以怎么排？（错位排列）

（3）动态演示，打破定式：

利用几何画板或网络画板课件【1】，动态演示两种排列方式：

方案一（常规排列）：每行对齐，行与行之间对齐。计算每行可剪几个，有几行。

方案二（错位排列）：第二行的圆嵌在第一行两个圆的空隙中。引导学生观察，这种排列方式虽然行与行之间的垂直距离变小了（由直径4厘米变成了约3.46厘米），但需要的宽度条件变了。

（4）合作探究，寻求最优：

学生分组，利用学具（画好格子的纸片或圆形磁粒）进行模拟摆放。

第一组：常规排列。18÷4=4（个）……2（厘米），12÷4=3（行），共4×3=12（个）。

第二组：尝试错位排列。计算宽边12厘米可以摆几行？第一行圆心在距边2cm处，第二行圆心垂直距离为2√3≈3.46cm处。计算12厘米内可以容纳的行数，并检查每行圆是否完全在长方形内。

教师提供数据支架：当采用错位排列时，若第一行摆了4个，第二行由于错位，可能只能摆3个，但总体高度利用更充分。经过精确计算和动态验证【1】，可以发现，在某些情况下，错位排列的总数会超过常规排列。

教师总结揭示：对于长18宽12，直径4的圆，通过精确计算，常规排得12个，但通过优化排列，可以排得更多（例如排成4行，其中两行4个两行3个，共14个）。【非常重要】这个案例告诉我们，化难为易不仅要简化数据，还要简化排列模型，通过“枚举不同策略”来寻找最优解，这才是真正的思维拓展。同时，也为初中学习相切圆、勾股定理埋下伏笔【3】。

（三）实践应用，体验“化易”之功

1.分层练习，巩固模型

基础层：【基础】8个点最多可以连成多少条线段？（学生独立完成，直接套用模型）

综合层：【重要】一个多边形，从一个顶点出发，连接与其他不相邻顶点的线段，可以将多边形分割成若干个三角形。请探究一下，十边形的内角和是多少度？（引导学生运用“化难为易”的思想，从四边形、五边形开始探究，发现分成三角形个数与边数的关系）【4】

拓展层：【热点】班级联欢会上，小强和同学们一一握手，一共握了36次手。你知道参加联欢会的共有多少人吗？（逆向思维，已知握手总次数，求人数，是数线段模型的逆向应用）

2.汇报交流，思维碰撞

重点讲解拓展层题目：握手问题与数线段模型是完全一致的。设共有n人，则握手总次数为1+2+……+(n-1)。我们根据结果36，想一下，从1开始加到几等于36？根据等差数列求和的逆运算，或者试数法，发现1+2+3+4+5+6+7+8=36，所以n-1=8，n=9。一共有9人。

（四）总结提升，感悟“思想”之魂

1.回顾梳理

引导学生回顾本节课研究的三类问题（点线、分割、剪圆），思考：我们是用什么共同的方法解决这些看起来很难的问题的？

师生共同提炼“三步曲”：

（1）退：遇到复杂问题，从最简单的情况开始研究（从少到多、从简到繁）。

（2）进：在简单情形中观察、比较，发现“新增量”的规律，建立数学模型。

（3）解：运用发现的规律，回到原问题中，列式解答。

2.升华思想

教师总结：【非常重要】“同学们，今天我们不仅仅是在解题，更是在学习一种解决问题的智慧——‘化难为易’。这种思想将伴随你们整个中学、大学乃至一生的学习。希望你们在未来的数学学习中，无论遇到多么复杂的题目，都能想起今天的‘退’与‘进’，用思想的武器去攻克难关，享受思考的乐趣。”

最后，引导学生完善自己的思维导图，将“化难为易”作为核心节点，链接数线段、图形分割、优化排列等具体案例，形成知识网络【2】【8】。

四、板书设计

六年级下册数学期末思维拓展专题——化难为易思想方法领航

复杂问题———→简单情形———→发现规律———→解决原题

（难）（退）（找）（进）

数线段：30个点2、3、4……点1→1+2→1+2+3……1+2+…+2