人教版初中数学九年级下册《27.2.1 相似三角形的判定》教案

人教版初中数学九年级下册《27.2.1相似三角形的判定》教案

一、设计理念与理论依据

本教案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本指导，立足于发展学生的核心素养，特别是几何直观、推理能力、模型观念和应用意识。教学设计超越传统的“定理-证明-练习”模式，秉承“再创造”数学教育思想，将课堂构建为学生主动探索、发现和建构数学知识的“学术场域”。

核心理念如下：

1.结构化教学：将“相似三角形的判定”置于“图形变换”与“度量关系”的整体框架中。引导学生主动建立新旧知识（全等三角形的判定、平行线分线段成比例）的联系，理解相似判定是全等判定的推广（从“保距”到“保形”），从而形成结构化的知识网络。

2.探究式学习：遵循“观察—猜想—验证—证明—应用”的完整科学探究路径。充分利用几何画板等动态数学软件，让学生在“变动中寻不变”，直观感知判定条件，经历定理的发现与生成过程，提升数学抽象和逻辑推理能力。

3.情境化与模型化：创设源于测量、工程、艺术等领域的真实问题情境，引导学生抽象出相似三角形模型，运用判定定理解决问题，深化对数学本质的理解，体会数学的广泛应用价值，实现从“解题”到“解决问题”的跃迁。

4.差异化与精准化：通过多层次的问题链、阶梯式的任务设计，以及形成性评价的即时反馈，尊重并适应学生的个体认知差异，实现从“学会”到“会学”的引导，促进全体学生在最近发展区内获得最大发展。

二、教学内容与学情分析

（一）教材地位与内容解析

“相似三角形的判定”是“图形的相似”这一核心主题的枢纽内容，隶属于“图形与几何”领域。它上承“比例线段”与“平行线分线段成比例”等预备知识，下启“相似三角形的性质”、“位似变换”以及后续的锐角三角函数、圆的综合证明等重要内容。它是沟通全等与相似、连接几何与代数（比例式）、搭建直观感知与逻辑论证的关键桥梁。人教版教材编排了三个基本判定定理（AA，SAS，SSS）及直角三角形的特殊判定（HL的推广），逻辑清晰，由特殊到一般，符合学生的认知规律。

（二）学情分析

认知基础：九年级学生已系统掌握全等三角形的判定（SSS，SAS，ASA，AAS，HL）与性质，具备一定的逻辑推理和规范书写证明过程的能力。同时，他们已经学习了比例的基本性质、成比例线段以及平行线分线段成比例定理，为本节课的探索提供了知识迁移的可能。

认知障碍：学生的主要困难可能在于：第一，从“边相等”到“边成比例”的思维转换，容易混淆全等与相似的判定条件；第二，对“夹角”在“两边对应成比例”这一判定中的关键性作用理解不深；第三，面对复杂图形时，快速、准确地识别和构造相似三角形模型存在困难。

发展需求：学生需要经历从直观实验到严格论证的思维升华，需要将零散的几何知识系统化、结构化，更需要发展在面对陌生、复杂几何问题时，灵活运用判定定理进行分析与转化的高阶思维能力。

三、教学目标

基于核心素养导向，确立以下三维整合的教学目标：

（一）知识与技能

1.理解相似三角形判定的基本原理，掌握“两角分别相等”（AA）、“两边成比例且夹角相等”（SAS）、“三边成比例”（SSS）三种判定定理，以及“斜边和一条直角边成比例”对于判定两个直角三角形相似的应用。

2.能准确、熟练地运用上述判定定理证明两个三角形相似，并能进行相关的计算和推理。

3.能在复杂图形中识别或通过添加辅助线构造相似三角形的基本模型。

（二）过程与方法

1.经历通过类比全等三角形判定、动手操作、几何画板动态演示探索相似三角形判定定理的过程，积累数学活动经验，发展合情推理与演绎推理能力。

2.通过解决具有实际背景的几何问题，经历“实际问题→数学抽象→建立模型→推理求解→解释应用”的过程，增强模型观念和应用意识。

3.在小组合作探究与辨析中，学会用数学语言清晰表达和质疑，提升交流协作能力。

（三）情感、态度与价值观

1.通过探索定理获得成功体验，感受数学内部和谐统一（从全等到相似）的美感，激发数学学习兴趣和探究欲。

2.在了解相似三角形判定在测高、测距、工程制图等领域的历史与应用中，体会数学的实用价值和人文内涵，形成科学态度和理性精神。

四、教学重难点

1.教学重点：相似三角形判定定理（AA，SAS，SSS）的探索、理解与初步应用。

2.教学难点：“两边对应成比例且夹角相等”判定定理的探究与理解；在综合性强、图形复杂的背景下灵活选择和运用判定定理。

五、教学策略与方法

1.主导策略：启发式教学、支架式教学。

2.主体方法：探究发现法、类比迁移法、合作研讨法、讲练结合法。

3.技术支持：动态几何软件（Geogebra/几何画板）辅助探究，多媒体课件整合资源，实物投影展示学生成果。

六、教学准备

教师准备：多媒体课件、Geogebra交互式课件、三角板、导学案。

学生准备：复习全等三角形判定及平行线分线段成比例定理，准备直尺、量角器、方格纸。

七、教学过程设计（分两课时）

第一课时：探索与发现——从全等到相似

（一）创设情境，温故孕新（预计时间：8分钟）

1.情境导入：

1.2.问题1（历史中的数学）：展示泰勒斯测量金字塔高度的故事插图。“两千多年前，古希腊学者泰勒斯仅用一根木棍就测出了金字塔的高度，他是如何做到的？这其中蕴含了什么数学原理？”（引发好奇，点明相似的应用价值）。

2.3.问题2（生活中的数学）：展示不同尺寸的国旗、手机型号的相似设计图。“这些图形大小不同，但形状相同，我们称它们为‘相似图形’。如何从数学上严格定义两个三角形相似？”引导学生回顾相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例。

4.温故设问：

1.5.问题3：判定两个三角形全等，我们有哪些简洁的方法？（SSS,SAS,ASA,AAS,HL）。其核心思想是什么？（寻找有限的等量条件，避免逐一验证六个元素）。

2.6.问题4（核心驱动性问题）：类比全等三角形的判定，要判定两个三角形相似，是否也需要逐一验证三个角和三条边共六个条件呢？能否找到更少的条件来判定相似？你认为至少需要几个什么条件？

3.7.设计意图：

从历史和现实双线导入，激发兴趣。通过类比全等，提出核心探究问题，明确本课方向，实现知识的自然迁移。

（二）合作探究，建构新知（预计时间：25分钟）

探究活动一：最少条件的猜想——一个角相等？两个角相等？

1.动手实验：请学生在方格纸上任意画一个ΔABC。然后，只满足∠A’=∠A，画出ΔA‘B’C‘。请学生展示作品，并测量计算对应边是否成比例。结论：仅一个角相等，两个三角形不一定相似（可能形状迥异）。

2.深化猜想：一个条件不够，两个条件呢？引导学生列举可能的组合（两角、两边、一边一角）。基于定义，最容易判断的是角。

3.几何画板验证：教师用Geogebra演示：固定ΔABC，构造ΔA‘B’C‘，使得∠A’=∠A，∠B‘=∠B。动态拖动点，观察∠C’与∠C的度量值关系、三组对应边的比值关系。学生直观发现：只要两角对应相等，第三个角必然相等，三边比值为定值（即相似）。

4.定理生成（AA判定）：学生尝试用文字语言归纳。教师板书定理：两角分别相等的两个三角形相似。符号语言：在ΔABC和ΔA‘B’C‘中，∵∠A=∠A‘，∠B=∠B‘，∴ΔABC∽ΔA’B‘C’。

5.即时理解：追问：此判定方法对直角三角形有何特殊表述？（一个锐角相等即可）。

探究活动二：类比迁移——探索“边角边”和“边边边”

1.提出新问题：三角形元素除了角，还有边。类比全等SAS和SSS，两边成比例且夹角相等、三边成比例，能否判定相似？

2.小组合作探究（SAS判定）：

1.3.任务单：①画ΔABC，使AB=4cm，AC=5cm，∠A=60°。②画ΔA‘B’C‘，使A’B‘=6cm，A’C‘=7.5cm，∠A’=60°。③测量∠B与∠B‘，∠C与∠C’，计算BC与B‘C’的长度比。④你们发现了什么？猜想结论。

2.4.几何画板深度验证：教师展示更一般的动态图。固定比值k和夹角，拖动三角形一边，观察非夹角的另两组角是否始终保持相等。学生确认猜想。

3.5.辨析关键：提出反例——演示“两边成比例，但其中一边的对角相等”的情况，两个三角形不相似。强调“夹角相等”这一条件的关键性。

4.6.定理生成（SAS判定）：板书：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。

7.自主类比探究（SSS判定）：

1.8.引导学生根据前两个探究的经验，自主设计验证方案（如给定三边比为2:3:4，画两个大小不同的三角形，测量角是否相等）。

2.9.定理生成（SSS判定）：学生归纳，教师板书：三边成比例的两个三角形相似。

（三）初步应用，巩固理解（预计时间：10分钟）

1.概念辨析（口答）：判断对错，并说明理由。

1.2.(1)有一个底角相等的两个等腰三角形相似。（√，由AA可推）

2.3.(2)有一个锐角相等的两个直角三角形相似。（√）

3.4.(3)两边成比例的两个直角三角形相似。（×，需明确是直角边成比例还是斜边直角边成比例）

4.5.(4)两个等腰三角形，只要腰与腰的比等于底与底的比，它们就相似。（×，需考虑顶角或底角是否相等）

6.基础例题：

例1：如图，在ΔABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE//BC。求证：ΔADE∽ΔABC。

1.7.引导分析：这是“A”字型基本模型。由平行能直接得到什么角的关系？（∠ADE=∠B，∠AED=∠C）。满足哪个判定定理？（AA）。

2.8.学生完成证明，教师规范板书。此结论非常重要，可作为直接推论（“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”）。

9.简单应用：

例2：根据下列条件，判断ΔABC与ΔDEF是否相似，并说明理由。

(1)∠A=70°，∠B=48°；∠D=70°，∠F=62°。

(2)AB=4，BC=6，AC=8；DE=12，EF=18，DF=24。

设计意图：

通过辨析厘清概念细节；通过经典例题巩固AA判定，并引出重要推论；通过直接应用熟悉三个判定定理的符号语言表述。

（四）课堂小结，布置作业（预计时间：2分钟）

1.小结：引导学生以表格形式对比总结全等与相似的判定。

全等三角形判定（部分）

相似三角形判定

ASA,AAS

AA

SAS

SAS（边成比例，夹角相等）

SSS

SSS（边成比例）

强调思想：从“等”到“比”的推广，判定条件在“减弱”。

2.作业布置：

1.3.基础题：教材课后相应练习。

2.4.思考题：对于两个直角三角形，除了AA（一个锐角相等）判定，全等判定中的“HL”能否类比推广为相似的判定？需要什么条件？（为下节课铺垫）。

第二课时：深化与综合——定理的应用与思维升华

（一）复习回顾，承接思考（预计时间：5分钟）

1.快速回顾：提问相似三角形的三个判定定理及其符号表示。

2.思考题讲评：探讨上节课留下的“直角三角形相似的判定”问题。引导学生提出猜想：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么它们相似。如何证明？（需要用到勾股定理证明第三边也成比例，从而转化为SSS判定）。引出并板书直角三角形相似的特殊判定：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

3.明确目标：本节课重点在于灵活运用判定定理解决更复杂的问题。

（二）典例精析，突破难点（预计时间：20分钟）

例3（“共角”型相似模型探究）：

如图，在ΔABC中，∠1=∠2。

(1)求证：ΔABC∽ΔACD；

(2)若AD=3，AB=8，求AC的长。

1.引导分析：

1.2.模型识别：观察图形，ΔABC与ΔACD有一个公共角∠A。

2.3.条件转化：已知∠1=∠2，结合公共角∠A，能否找到两组对应角相等？可以（∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD？不对）。注意对应关系：在ΔABC和ΔACD中，公共角∠A是它们的对应角。那么∠1与∠2，应该分别对应哪个三角形的哪个角？引导学生明确：∠1是ΔADC中∠ADC的邻补角吗？不，应直接看：在ΔABC中，∠B=180°-∠A-∠1；在ΔACD中，∠ACD=180°-∠A-∠2。因为∠1=∠2，所以∠B=∠ACD。从而得到∠A=∠A，∠B=∠ACD。满足AA判定。

3.4.规范证明：师生共同完成证明过程，强调对应顶点写在对应位置。

4.5.应用求值：由相似得到比例式：AD/AC=AC/AB

，即AC²=AD·AB

。代入求解。引出“公共边是比例中项”的重要结论。

6.模型提炼：此图形被称为“母子型”或“共边共角型”相似模型。条件是“有一个公共角，且公共角的一边是另一三角形中某边的比例中项”。这是中考常见模型。

例4（综合判定与多解问题）：

如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，∠BAC=∠CDB。求证：ΔAOD∽ΔBOC。

1.思路探求：

1.2.条件给出的是∠BAC=∠CDB，它们分别在ΔABC和ΔDCB中，但与要证的ΔAOD和ΔBOC看似无关。

2.3.引导联想：能否找到中间桥梁（过渡的相似形）？观察∠AOB=∠DOC（对顶角）。如果能先证明ΔAOB∽ΔDOC，就能得到边成比例，进而为证明目标三角形相似创造条件。

3.4.分析路径：在ΔAOB和ΔDOC中，已有∠AOB=∠DOC。还需一组角。由已知∠BAC=∠CDB，即∠BAO=∠CDO。故ΔAOB∽ΔDOC（AA）。

4.5.完成证明：由ΔAOB∽ΔDOC，得AO/DO=BO/CO

。在ΔAOD和ΔBOC中，AO/DO=BO/CO

，且∠AOD=∠BOC（对顶角），故ΔAOD∽ΔBOC（SAS）。

5.6.方法升华：当直接证明目标三角形相似条件不足时，常常需要通过证明其他三角形相似来获得比例线段或等角，这是相似证明中的一种重要策略——“间接证明法”或“过渡法”。

（三）变式训练，拓展思维（预计时间：12分钟）

变式1（对例3的变式）：将例3图改为点D在AB延长线上（外分），∠ACD=∠B。求证：AC²=AD·AB

。结论是否依然成立？（成立，图形变为“子母型”，分析方法不变）。

变式2（对例4的开放题）：

在ΔABC中，AB=9，AC=6，D是AB边上一点，且AD=3。

(1)在AC边上找一点E，使ΔADE与ΔABC相似。求AE的长。

(2)满足条件的点E有几个？分别画出图形。

1.学生活动：小组讨论。关键分析：相似对应关系不确定。有两种可能：

1.2.情形一：ΔADE∽ΔABC，则AD/AB=AE/AC

，代入得AE=2。

2.3.情形二：ΔADE∽ΔACB（注意顶点对应！即∠A公共，∠ADE=∠C），则AD/AC=AE/AB

，代入得AE=4.5。

3.4.因此有两个点E，对应两种构图。

5.设计意图：此题为经典的“相似三角形存在性问题”，涉及分类讨论思想。能有效训练学生对判定定理的深层次理解，特别是“对应”的灵活性，提升思维严密性。

（四）链接实际，感悟价值（预计时间：5分钟）

应用问题：小张想测量校园内一棵古树的高度。他发现树在地面上有一段影子BC，同时他竖起一根1米长的木杆EF，测得其影长FG为0.8米。已知树的影长BC为6.4米，且太阳光线是平行的。你能帮小张建立数学模型并计算出树高吗？

1.引导学生抽象出数学模型：两个直角三角形（树和它的影子、木杆和它的影子）在平行光线下相似。

2.简述原理：因为太阳光线平行，所以∠ACB=∠EFG。又∠ABC=∠EGF=90°，故ΔABC∽ΔEGF（AA）。

3.列比例式计算：AB/EG=BC/GF

，即AB/1=6.4/0.8

，解得AB=8米。

4.简要介绍相似在测量、绘图、视觉设计、计算机图形学等领域的广泛应用。

（五）课堂总结，梳理升华（预计时间：3分钟）

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识网络：回顾四种判定方法（AA,SAS,SSS,RtΔ特殊判定）及其联系。

2.方法策略：

1.3.证明相似：优先找角（AA），再考虑边角（SAS）或边边（SSS）。

2.4.复杂图形：识别基本模型（A字型、X字型、母子型）；学会利用中间比进行过渡证明。

3.5.多解问题：注意分类讨论，理清对应关系。

6.核心思想：类比、转化、模型思想。

八、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：关注学生在探究活动中的参与度、操作规范性、猜想的大胆程度及合作交流的有效性。

2.3.提问与追问：通过层次性问题链，诊断学生对概念理解的深度和思维路径。

3.4.小组活动报告：对探究活动任务单的完成情况进行评价。

4.5.板演与展示：评价学生证明过程的逻辑性和书写规范性。

6.形成性练习：