导数应用的错解成因及应对策略

3/3导数应用的错解成因及应对策略导数作为一种工具,在解决数学问题时应用极为方便,尤其是利用导数可以求函数的单调性、极值、最值以及曲线的切线，但在学习的过程中由于概念不清面导致错误的情形也时常发生。本文对导数应用中常见的误区作一简要剖析，为同学们学习导数助一臂之力。△x△x→0lim例1、已知函数，则_________错解：∵f/(x)=-3x4-7x3,∴原式=f/(1)=-10△x→0lim剖析:在导数定义中,增量△x的形式是多种多样的,但不论△x选择哪一种形式,相应△y中也必须选择对应的形式,即上述解法是用导数的定义求解,△y中x的增量为2△x,则分母也应为△x→0lim正解：原式=2f/(1)=-20对导数的几何意义应用有误导致错解例2、曲线f(x)=x3-3x,过点A(0,16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程误解：f/(x)=3x2-3,根据导数的几何意义可知，曲线的切线斜率k=f/(0)=-3，所以曲线的切线方程为y=-3x+16.剖析：本题错在对导数的几何意义理解有误，切线的斜率应是在切点处的导数，而点A(0,16)不在曲线上，故本题应先设切点，再求斜率，然后才能写出直线方程。正解：设切点为M(x0,x03-3x0)，则切线的斜率为k=f/(x0)=3x02-3,切线方程为y=(3x02-3)x+16,又∵点M在切线上,∴x03-3x0=(3x02-3)x0+16,x0=-2∴曲线的切线方程为y=9x+16.误把极值当最值导致错解例3、求函数f(x)=x3-3x在[-3,3]上的最值错解：f/(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),由f/(x)=0解得x=1或x=-1.经验证x=1,x=-1为极值点，即f(1)=-2为极小值,f(-1)=2为极大值.∴函数f(x)的最大值为2,最小值为-2.剖析：本题误把极值当成最值出现了错误，极值只是f(x)在该点附近的最值，而非在闭区间上的最值，要求f(x)在闭区上的最值,还应与端点值比较大小.正解：∵f(-3)=-18,f(3)=18,∴f(x)在[-3,3]上的最大值为18，最小值为-18求单调区间不完善造成错解例4、求函数f(x)=(x∈(0,+∞))的单调递增区间错解：剖析：上题解法虽然正确，但结论并不完善，f(x)在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增，又因为f(x)在x=1处连续，根据函数连续的性质可知f(x)在（1，+∞）内单调递增。例5、求函数f(x)=ln(2-3x)的单调区间。错解：f/(x)=f(x)=ln(2-3x)的单调递增区间是（，+∞），单调递减区间是（-∞，）。剖析：在解与函数有关的问题时,一定要考虑函数的定义域.这里出错恰恰在于忽视了原函数的定义域,显然.当x＞时,2-3x＜0,原函数无意义.正解:由2-3x＞0可知原函数的定义域为x＜,此时f/(x)＜0,因此函数的单调递减区间是（-∞，）五、将“驻点”等同于“极值点”而造成错解对于满足f/(x0)=0的点x0（称为驻点），f/(x0)=0只是它为f(x)的极大（小）值点的必要而不充条件。把驻点等同于极值点，容易导致失误例6、函数f(x)=(x2-1)3+1的极值点是()Ax=1Bx=-1CX=1或-1或0Dx=0错解:∵f/(x)=x6-3x4+3x2,∴由f/(x)=6x5-12x3+6x=0得极值是x=±1和x=0,因此答案为C剖析:这三点都是驻点,是不是极值点呢?由f/(x)=6x5-12x3+6x=6x(x+1)2(x-1)2知,当x∈(-∞,-1)时,f/(x)＜0;当x∈(-1,0)时,f/(x)＜0;当x∈(0,1)时,f/(x)＞0;当x∈(1,+∞)时,f/(x)＞0;故f(x)在(-∞,-1)∪(-1,0)上单调递减,在(0,1)∪(1,+∞)上单调递增.因此只有x=0时为极小值点,而-1和1都不是极值点(称为拐点),故选D例7、已知函数f(x)=f/(1)=0,函数g(x)=在区间（a-6,2a-3）上是减函数，求a的取值范围。错解：由已知得f/(1)=0得b=1-a,当x＜a时,g/(x)＜0,g(x)在(-∞,a)上单调递减.∴（a-6,2a-3）(-∞,a),∴a-6＜2a-3≤a,故所求的范围为-3＜a≤3。剖析：以上解法忽视了一个细节；解题过程只用到f/(1)=0，即x=1是f(x)的驻点，那么它究竟是不是极值点呢？当b=1-a时，f/(x)=x3+(1-a)x2-(2+a)x+2a=(x-1)(x+2)(x-a),如果a=1,那么x=1就是拐点而非极值点，因此a的取值范围应是-3＜a≤3且a≠1。判断函数的单调性时忽视特殊情况而导致错解当f/(x)在某区间D上恒大于0时,函数f(x)在D上为增函数,若反过来则结论如何呢?例8、已知函数f(x)=在R上是增函数，求实数m的取值范围错解：依题意f/(x)=x2-2(4m-1)x+15m2-2m-7在R上恒大于0，∴△=4（m2-6m+8）＜0,解得2＜m＜4.