九年级数学寒假作业06 相似三角形的判定与性质（13大题型）（巩固培优）（原卷版）

限时练习：60min完成时间：月日天气：作业06相似三角形的判定与性质知识点一、相似三角形的相关概念1、相似三角形的概念：对应角相等，对应边的比相等的两个三角形是相似三角形。三角形相似具有传递性。2、相似比的概念：相似三角形对应边的比叫做相似比。相似三角形对应边的比是有顺序的。知识点二、相似三角形的判定判定1：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。判定2：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。判定3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。判定4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似（此知识常用，用时需要证明）。知识点三、相似三角形的性质①对应角相等，对应边的比相等；②拓展：对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比。③相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。（相似多边形周长比等于相似比，相似多边形的面积比等于相似比的平方。）知识点四、利用相似三角形测高1、利用相似三角形的性质测量河的宽度，计算不能直接测量的物体的高度或深度。2、利用三角形的性质来解决实际问题的核心是构造相似三角形，在构造的相似三角形中，被测物体必须是其中一边，注意要把握其余的对应边易测这一原则。三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一相似三角形的判定1．（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在锐角三角形中，，上的高，相交于点D．(1)求证：；(2)连接，求证：．2．（25-26九年级上·浙江湖州·期末）如图，在矩形中，是边上的一点，连接，作交边于点．(1)求证：；(2)若，求的长．3．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点C作于点D，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过点F作于点H．(1)求证：；(2)若，求的长度．4．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且．(1)试说明；(2)若，求证：．5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，平分交于点，．(1)求证：．(2)若，，求的长．题型二选择或补充条件使两个三角形相似6．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，在五边形中，，延长、，分别交直线于点．若添加一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（

）A． B． C． D．7．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）如图，已知点D，E分别在的边上，连接．若添加下列一个条件后，可以判定，则这个条件是（

）A． B．C． D．8．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图：点D在的边上，连接，下列条件：①；②；③；④．其中不能判定的是（填序号）．9．（24-25八年级下·浙江金华·月考）如图，在中，点为边上的一点，选择下列条件：①；②；③；④中的一个，能得出和相似的是：（填序号）．10．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图，在四边形中，，点F，E分别在线段上，且，．(1)求证：；(2)请添加一个条件__________，使，并写出证明过程．题型三相似三角形判定综合11．（2025·江苏无锡·二模）如图，点E在的对角线上，当平分，且时．求证：(1)四边形是菱形；(2)．12．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知等腰和等腰有公共的顶点，且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接．(1)求证：；(2)若与相交于点，求证：．13．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接．(1)求证：；(2)若，求证：；14．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且．(1)求证：．(2)若，，求的长．15．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，是的中线，作于点E．(1)求证：；(2)若，，求的长．题型四相似三角形判定定理的证明16．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个17．（25-26九年级上·全国·阶段练习）如图，在矩形中，是边上的任一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交于点，则图中共有对相似三角形．（25-26九年级上·全国·阶段练习）(1)如图①，在中，是上一点，，垂足为D．求的长．(2)如图②，在中，，点分别在线段上，．求的长．19．（24-25九年级上·辽宁铁岭·月考）四边形为平行四边形，点和点分别为边，的中点，连接、，交对角线于点．(1)若，求的长；(2)如果，求证：．20．（24-25九年级上·海南儋州·期中）如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，．(1)求证：；(2)求证：四边形为平行四边形；(3)若，，，求的长．题型五证明三角形的对应线段成比例21．（24-25八年级下·上海静安·期末）如图，在四边形中，，，且，，点P在边上，点B关于直线的对称点为Q，的延长线交边于点R，如果，那么线段的长为．22．（24-25九年级上·上海浦东新·月考）如图，点D、E分别在的边AB、AC上，且，若DE=3，BC=6，AC=8，则．23．（25-26九年级上·江西抚州·期中）已知，点是上任意一点，菱形菱形．(1)求证：；(2)若，，求的长．24．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图，在正方形中，为边上一点，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的长；25．（2025·广东深圳·一模）如图①，在Rt中，，，点D为边上的一点，连接，过点C作于点F，交于点E，连接．(1)若，求证：；(2)如图②，若，，求的值．题型六利用相似三角形的性质求解26．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若，则是（

）A． B． C． D．27．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（

）A．4 B．6 C．8 D．1028．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，点在边上，过点的直线与边相交于点，若，，，当与相似时，的长为．29．（25-26九年级上·四川遂宁·期中）如图，在中，，在上取一点，使，，如果在上取一点，使与相似，则长为．30．（25-26九年级上·浙江·期末）如图，在中，点分别在边上，连结，与相交于点．已知四边形是平行四边形，且．(1)若，求线段的长．(2)若四边形的面积为32，求的面积．题型七相似三角形的判定与性质综合31．（24-25九年级上·云南德宏·期末）如图，在和中，，平分．(1)证明：；(2)若，，求的长．32．（25-26九年级上·河北唐山·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，交于点F，．(1)求证：；(2)如果．①若，求的长；②若四边形的面积为24，求的面积．33．（25-26九年级上·甘肃白银·期末）如图，在中，点P，D分别在边，上，，垂足为A，，垂足为P，且．(1)求证：(2)如果，，求的长．34．（25-26九年级上·安徽·期末）如图，在中，是边上一点，连接，，的平分线交于点．(1)求证：；(2)已知．①求的值；②若，求的值．35．（2026·湖北·模拟预测）（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．（3）如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．题型八利用相似求坐标36．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．37．（2025·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．538．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是．39．（24-25九年级上·江苏盐城·月考）在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是．40．（24-25九年级上·全国·阶段练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是．

题型九在网格中画与已知三角形相似的三角形41．（25-26九年级上·河北唐山·期中）如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁42．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．443．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）数学上把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点（）或整点．坐标平面内顶点为格点的三角形称为格点三角形．如图，点、、、都是格点，是一个格点三角形，且点的坐标是，若点、、、分别都和点、连接，且连接后构成的格点三角形和相似，则这个点的坐标是．44．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共有个．45．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均为的网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，并保留作图痕迹．(1)在图①中画的高．(2)在图②中画的中位线，使点、分别在边、上．(3)在图③中画，使点、分别在边、上，且，其面积比为．题型十相似三角形的动点问题46．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（

）A． B． C．或 D．或47．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（

）s后，与相似．A． B．或 C．或 D．或48．（25-26九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；同时动点从点出发，沿方向运动，如果点的运动速度为，点的运动速度为，那么运动秒时，与相似．49．（25-26九年级上·江西吉安·月考）如图，等边的边长为，，，为边上动点，以的速度从向运动，假设点运动时间为，当时，与相似．50．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）在平面直角坐标系中，已知，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动．如果同时出发，用表示移动的时间．(1)用含t的代数式表示：线段；．(2)求当t为何值时，四边形的面积为．(3)当与相似时，求出t的值．题型十一重心的有关性质51．（25-26九年级上·江苏盐城·月考）如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（

）A．6 B．4 C．3 D．252．（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，在中，D，E分别是的中点，与交于点G．若，则（

）A．2 B．3 C．4 D．4.553．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，点G是的重心，D是边上一点，，连接，连接并延长分别交、于点E、F，则的值为．54．（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，，点P是的重心，连接并延长，交于点D，若，则的面积为．55．（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，，连接交于点G，连接．(1)当时，求的值；(2)当时，取边中点F，连接交于点H．已知，求的长．题型十二相似三角形的实际应用56．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点．(1)求的值；(2)求滹沱河该段的宽度．57．（甘肃省白银市2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上．求灯泡到地面的高度．58．（25-26九年级上·甘肃天水·期末）龙角塔（图），位于诸葛亮躬耕地南阳卧龙岗内，是武侯祠的一个重要人文景观．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板来测量龙角塔的高度．他们通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使边与龙角塔顶点在同一条直线上．已知，，目测点到地面的距离，到龙角塔的水平距离，求龙角塔的高度．59．（25-26九年级上·辽宁鞍山·期末）学习了相似的相关数学知识以后，老师布置了阶段练习：查阅历史上相似学的典型应用．安安阅读了《周髀算经》，在这部中国最早的“测天量地”著作里，安安发现相似学大量用于测量，下面是安安关于“陈子模型”的学习笔记，请将表格补充完整，写出计算过程与结论：测量目标知道太阳的高低和大小测量方法使用圭表，利用影长测量人与太阳的距离：利用竹竿测量太阳直径．测量一图形测量过程已知：圭表高8尺，从太阳正下方无影之点直上到太阳的距离（）为里，圭表距太阳正下方的距离（）为里．步骤：在观测点A．当圭表（）上的影长（）为6尺时，计算观测人与太阳的距离．即的长（点C为太阳中心点）．计算过程及结论：图形测量过程测量二已知：与上述测量同时同地，利用竹空（古代望远设备）．竹空筒长（H到的距离）与竹空直径（）的长度之比为．步骤：观测人让太阳（）的边缘恰好充满竹管的圆孔时可计算太阳的直径．计算过程及结论：60．（25-26九年级上·四川达州·期中）利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．根据上面活动报告，解答下列问题：活动课题测量学校旗杆的高度活动目的利用相似三角形知识解决实际问题活动工具皮尺、镜子、标杆等测量方案方案：利用影子方案：利用镜子方案：利用标杆测量示意图测量过程在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米．小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为米．小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米，小智与标杆之间的距离为米．计算结果．．．．．．．．．反思．．．．．．．．．(1)利用方案测得旗杆的高度为___________米；(2)请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度；(3)请利用方案帮小智计算旗杆的高度．题型十三相似三角形的综合问题61．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）我们对“等腰邻相似三角形”下个定义，以四边形为例，如图1，四边形中，为对角线，在的上取一点P，连接，如果是等腰三角形，且与相似，则我们称是该四边形边上的“等腰邻相似三角形”．(1)如图2，中，，若是边上的“等腰邻相似三角形”，且，，则的大小是；(2)如图3，在四边形中，若，，请在图3中画出一个边上的“等腰邻相似三角形”，并证明是边上的“等腰邻相似三角形”；(3)若是某个四边形的“等腰邻相似三角形”，且，与相似，请直接写出对角线长度的所有可能值．62．（24-25九年级下·湖北武汉·月考）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：；【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值；【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长．63．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，点为的中点，为上一点．（1）若，点为上一点．①如图1，，则的值为_______（直接写出结果）；②如图2，若点在的延长线上，在的延长线上．试判断之间满足的数量关系并说明理由；（2）如图3，若于点的延长线交于点．若，请直接写出的值为______．64．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）问题发现：（1）如图1，在中，，，，点为上一点，且，过点作，填空：________，________；类比探究：（2）如图2，在（1）的条件下将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，请求出，的值；拓展延伸：（3）如图3，和同为等边三角形，且，连接，，将绕（）的中点逆时针自由旋转，请直接写出在旋转过程中的最大值．65．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如图，已知菱形ABCD，点E是BC上的点，连接DE，点C关于DE的对称点F恰好落在AB边上，连接DF、EF，延长FE，交DC延长线于点G．（1）求证：△DFG∽△FAD；（2）连接BD，若BD＝6，菱形ABCD的边长为5．①求菱形ABCD的面积；②求CG的长．1．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知点和点分别是的边和边的延长线上的点，连接，则添加下列条件：①；②；③；④；能够判定的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小颖同学把镜子放在离旗杆适当距离的水平地面上，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到恰好可以在镜子里看到旗杆的顶端．已知小颖的眼睛离地面的高度为，同时量得小颖与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（

）A． B． C． D．3．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，，，，则的长是（

）A． B． C． D．4．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，，，，D是线段上一点（不与端点B，C重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段交于点F，则线段长度的最大值为（

）A． B． C． D．5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是．6．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为．7．（25-26九年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度匀速移动，同时动点从点出发沿边向点以的速度匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止移动，那么经过s时，与相似．8．（2026九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，是矩形内部一点，且，连接，延长交于点，若，则的最小值为．9．（25-26九年级上·山西晋中·期中）已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且．(1)求证：；(2)若，，求的长．10．（25-26八年级上·上海·期中）已知在梯形中，，；(1)求证：；(2)连接，若，求证：．11．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）塔刹位于塔的最高处，是“观表全塔”和塔上最显著的标记．如图①，北寺塔为九级八面砖身木檐混合结构，塔刹高耸，宏伟秀逸．小明采用了如下方式测量北寺塔的塔刹高度．【学科融合】光的反射定律：如图②，光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分居在法线两侧，反射角等于入射角；【探索活动】如图③，小明先测量了北寺塔的高度，他先在地面点处平放一面镜子，然后沿直线退至点处，此时眼睛恰好在镜子中看到北寺塔塔刹的顶端．经测量，小明的眼睛到地面的距离，，，求北寺塔的高度；【解决问题】小明再将镜子移至直线上的点处，当他回到点处时，恰好可以通过镜子看到塔刹的顶部．①请用无刻度直尺和圆规，在图④中作出表示镜子位置的点（不写作法，保留作图痕迹）；②经测量，，求塔刹的高度（精确到）．1．（25-26九年级上·湖北武汉·月考）如图1，在中，，作，垂足为点D．(1)求证：；(2)如图2，矩形的顶点E，F分别在，上，顶点H，G在上，与交于点I．①求证：；②若，，，直接写出的值．2．（25-26九年级上·山东德州·月考）【问题发现】矩形里的有趣“十字架”某校九年级三班数学探究小组在研究矩形时发现矩形里有一个有趣的“十字架”：如图①，在矩形中，，，E、F、G、H分别是边、、、上的点，连接、交于点O，当时，总是会有．【模型建立】如何证明这个猜想呢？在同学们陷入深思时，组长小林提议道：“我们可以先找一种特殊情况探究它，然后再将探究方法推广到一般情况呀！”于是，在他的提议下，同学们一致认为可以先将F、G分别移动到顶点、处，如图②，可证，可得．（1）在图①中添加辅助线，证明一般性的规律．【模型应用】（2）如图③，在正方形中，，E、F分别在边、上，连接、，若，，则______．（直接写出结果）．【拓广延伸】（3）如图④，在直角梯形中，，，点M、N分别是边上的动点，连接交梯形对角线于点O，若，求的长度．3．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，，是四边形的对角线，，若，，，则的长为．4．（25-26九年级上·四川成都·月考）如图，在中，，平分，为中点，连接，若，，则，．5．（2025·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．