九年级数学寒假作业09 直角三角形的边角关系（15大题型）（巩固培优）（原卷版）

限时练习：60min完成时间：月日天气：作业09直角三角形的边角关系知识点一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.知识点二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°知识点三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.知识点四、三角函数的应用1.仰角和俯角仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．2.坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．3.方向角（或方位角）指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型题型一锐角三角函数概念辨析1．（25-26九年级上·上海·月考）在中，，、、的对边分别为、、，那么下列等式中错误的是（）A． B． C． D．2．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．3．（24-25九年级上·山东青岛·月考）在中，，，，分别是，，的对边，有下列关系式：①；②；③；④，其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个4．（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的图形，人们称它为“赵爽弦图”．图形是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是120，小正方形面积是20，则．题型二求锐角三角函数值5．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）如图，在中，．若，，则的值为（）A． B． C． D．6．（25-26九年级上·浙江·期末）Rt中，，下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的是（

）A．②③ B．②④ C．①③ D．①④7．（25-26九年级上·河南濮阳·月考）如图，在矩形中，，，点E在边上，且，连接，点F是的延长线上一点，连接，若，则的值为．∵，∴，则，∵四边形是矩形，8．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在中，，，，求，，的值．题型三已知三角函数值求边长9．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，且，若，则的长为（

）A． B．6 C． D．10．（2024·北京平谷·二模）如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为．11．（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，E是正方形中边上的一点，将射线绕点A逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．(1)补全图形，并证明线段；(2)若，求的值．12．（2025·浙江温州·三模）如图，在等腰中，，过点作于点．(1)求的长；(2)若点是中点，连结，求的值．题型四已知角度比较三角函数值的大小13．（24-25九年级上·山东聊城·月考）已知，则下列各式中正确的是（

）A． B． C． D．14．（24-25九年级上·山东东营·开学考试）三角函数、、之间的大小关系是（

）A． B．C． D．15．（24-25九年级下·江苏淮安·开学考试）比较大小：sin35°cos45°．16．（24-25九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小．（2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，．题型五特殊角三角函数值的混合运算17．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）计算：．18．（25-26九年级上·山东枣庄·月考）计算：(1)(2)19．（25-26九年级上·安徽淮北·月考）计算：．20．（25-26九年级上·山东临沂·月考）计算：(1)；(2)(3)题型六由特殊角的三角函数值判断三角形形状21．（25-26九年级上·四川遂宁·月考）在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形22．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在中，，，那么是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形23．（25-26九年级上·陕西西安·期中）已知在中、都是锐角，，那么的形状是．24．（24-25九年级上·河南濮阳·月考）已知中，与满足(1)试判断．的形状；(2)求的值．题型七根据特殊角三角函数值求角的度数25．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（

）A． B． C． D．26．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，在矩形OABC中，，，将矩形绕点C逆时针旋转至矩形，若经过点B，则的度数为（

）A． B． C． D．27．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）在锐角中，若满足，则．28．（25-26九年级上·河北唐山·期末）已知是锐角，且．求的值．题型八解直角三角形的相关计算29．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，已知，，求，的长和的值．30．（25-26九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，，，是边上的中线，．(1)求的长．(2)求的值．31．（25-26九年级上·安徽黄山·月考）如图，已知中，，．(1)求边的长和的值；(2)设边的垂直平分线与边，的交点为，，求的长．32．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）如图，已知点D，E分别在的边，的延长线上，且．(1)如果，，，求的长；(2)如果，，，过点D作，垂足为点F，求的长．题型九解非直角三角形33．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为．34．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则．35．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为．36．（25-26九年级上·山东烟台·期中）（1）【知识再现】我们知道，直角三角形中有6个元素—三个角，三条边．其中，有一个角为90度，对于其他五个元素，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解直角三角形，下列两个条件中，不能解直角三角形的是．①已知两条边；②已知一条边和一个锐角；③已知两个角．（2）【联系拓展】扩展开去，任意三角形中有6个元素——三个角，三条边，由已知元素求出所有未知元素的过程叫解三角形．三角函数是三角形边角关系的纽带，也可以作为解三角形的常用工具．如图1，已知在中，，，，解这个三角形；（3）【延伸应用】如图2，在中，，，，在解这个三角形时，若未知元素都有两解的的取值范围是．题型十构造直角三角形求不规则图形的边长或面积37．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积为（

）

A．48 B．50 C．52 D．5438．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，中，，，，则．39．（24-25九年级上·陕西西安·月考）如图，在四边形中，连接、，，，，则的值为．40．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，学校操场边有一块四边形空地，其中，，，．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．

(1)求证：．(2)求需要绿化的空地的面积．题型十一三角函数关系41．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（

）A． B． C．4 D．242．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）同角三角函数的基本关系为：，，利用同角三角函数的基本关系求解下题：已知，则．43．（25-26九年级上·河南南阳·月考）如图，根据提供的数据回答下列问题：(1)在图①中，___________，___________，___________；在图②中，___________，___________，___________．通过以上两个特殊例子，你发现了什么规律？请用含锐角的等式表示出来___________(2)利用你发现的规律求解以下题目：已知是锐角，且满足，求的值．44．（24-25九年级上·安徽淮南·月考）如图，在中，，，，分别是，，的对边．(1)求的值；(2)（填空）当为锐角时，____________；(3)利用上述规律，求式子的值．题型十二方位角问题45．（2025九年级·山东青岛·学业考试）如图，已知港口位于观测点东偏北（即）方向，且到观测点正东方向的距离长为46海里，一艘货轮从B港口以40海里／的速度沿的方向航行．现测得货轮处位于观测点东偏北（即）方向．求此时货轮到之间的最短距离（精确到海里）．（参考数据：，，，，，，，，）46．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）如图，A，B，C，D，E分别是某湖边的五个打卡拍照点，为了方便游客游玩，沿湖修建了健身步道，在B，D之间修了一座桥．B，D在A的正东方向，C在B的正南方向，且在D的南偏西方向，E在A的北偏东方向，且在D的北偏西方向，米，米．（参考数据：，，）(1)求的长度（结果保留根号）；(2)甲、乙两人从拍照点A出发去拍照点D，甲选择的路线为：，乙选择的路线为：．请计算说明谁选择的路线较近？47．（25-26九年级上·江苏南通·月考）如图，A，B，C，D在同一平面内，甲、乙两艘巡逻艇在某海域B处时，收到指令要分别途经海上观测点A和D，并最终到达C处执行任务、B在观测点A的西北方向且在观测点D的西南方向海里处，观测点D在观测点A的正北方向，目的地C在观测点A的北偏东方向且在观测点D的北偏东方向（参考数据：）(1)求的距离（结果保留根号）．(2)观测结束后，甲巡逻艇从观测点A出发沿往C处执行任务，同时乙巡逻艇从观测点D出发沿往C处执行任务，行驶过程中甲巡逻艇的速度为乙巡逻艇的速度的2倍，当乙巡逻艇到C处的距离是甲巡逻艇到C处的距离的3倍时，乙巡逻艇距离D处多少海里（结果保留整数）？48．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）因天气原因戏剧展演取消，戏剧学院学生小数和小学不用演了，于是他们打算从剧院A处返回到学校C处，如图，学校C在剧院A的正北方向，小数从剧院A出发，沿北偏西方向前进到达商店B购买雨伞（假设购买雨伞的时间不计），再从商店B出发，沿北偏东方向行走至学校C，小学从剧院A出发，沿北偏东方向行走至江湖菜馆D，再从江湖菜馆D出发，沿北偏西．方向到学校C．（参考数据：）(1)求商店B与学校C之间的距离（结果保留根号）；(2)已知小数的平均速度为，小学的平均速度为，请通过计算说明小数和小学谁先到达学校C．通过计算说明（结果保留小数点后一位）．题型十三仰俯角问题49．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）为了让莲花湖湿地公园的天更蓝，水更清，莲花湖管委会定期利用无人机指引工作人员清理湖中垃圾，已知无人机悬停在湖面上的C处，工作人员所乘小船在A处测得无人机的仰角为，当工作人员沿正前方向划行60米到达B处，测得无人机的仰角为，求无人机离湖面的高度．（结果取整数值）50．（25-26九年级上·安徽宿州·月考）某校数学社团准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部D与大楼底端C的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶B测得路灯顶端A处的俯角是．试求大楼的高度．（参考数据：，，，，，）51．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）项目式学习项目主题：无人机撒播种子研究项目背景：在农业种植技术研究中，针对一些复杂地形，使用无人机播撒种子高效、便捷，同时可以避免农民直接进入到危险复杂的地形中，有利于增强种植的安全性．建立模型：无人机从点的正上方点，沿正东方向以的速度飞行到达点，测得的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达点，测得点的俯角为．(1)求无人机的高度（结果保留根号）；(2)求的长度（结果精确到）．（参考数据：，）52．（25-26九年级上·宁夏银川·期末）扬州中国大运河博物馆坐落于扬州三湾古运河畔，大运河博物馆整体由大运塔和博物馆主体两部分组成．周末西西和父母去大运河博物馆游玩，看到大运塔时觉得非常宏伟，想知道它的高度．于是西西走到点处，测得此时塔尖的仰角是，向前走了30米至点处，测得此时塔尖的仰角是，已知西西的眼睛离地面高度是1.2米，请聪明的你帮她求出塔的高度．（参考数据：，，）

题型十四坡度坡比问题53．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为了监控大桥引桥下坡路段车辆行驶速度，通常会设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离水平地面的高度为4米，区间测速的起点为引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为（A，B，P，Q四点在同一平面）．(1)求水平路段的长．（精确到）(2)已知测速路段坡比，如果该路段限速30千米/小时（即米/秒），某汽车用时秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？（参考数据：，，，，，，）54．（2024·河南周口·二模）为了响应国家“双减”政策，适当改变作业的方式，某校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部竖有一块广告牌，同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为，已知山坡的坡度，米，米，求广告牌的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）参考数据：，，，，）55．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，某学校地理探究实验小组周末去爬山，组长小勇带领组员在出发前学习相关知识并做了爬山攻略．他们所爬的山海拔高度为1680米，点A，B，C，M在同一平面内．爬山方案（一）：直接爬到山顶．方案（二）：首先从山脚下的点A处步行800米到达点B处，的坡角为，然后乘坐缆车从点B处到达山顶点C处，缆车的轨道与水平面的夹角为．小勇和组员共有6人，其中有3个人选择方案（一），其余3个人选择方案（二），他们在登山缆车出发点B处合影留念．(1)请问他们6人合影留念时，距离山脚水平面的高度是多少？(2)已知登山缆车的行驶速度为360米/分钟，请问选择方案（二）的同学们从点B处乘坐登山缆车到达山顶点C处大约需要多少分钟？（结果精确到0.1分钟）（参考数据：，，）56．（24-25九年级下·贵州铜仁·月考）王强同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度．他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从点C出发沿斜坡走到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡的坡比为（点E，C，B在同一水平线上）．(1)求王强同学从点C到点D的过程中上升的高度；(2)求大树的高度（结果保留根号）．题型十五三角函数综合57．（25-26九年级上·山东聊城·月考）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：．证明：过点作于点．，，，，，．根据上面的材料解决下列问题：(1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：．(2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，）(3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示）58．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．(1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形．(2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值．59．（24-25九年级上·山东烟台·期末）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．60．（25-26九年级上·山西运城·期中）阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么．通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．”这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：(1)如图2，在中，，，，．请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由；(2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角中，，，．过点作于．∵在和中，，∴______，______．∴______，______．∴．同理，过点作于，可证．∴．请将上面的过程补充完整．(3)如图4，在中，如果，，，那么______．1．（天津市红桥区2025-2026学年上学期九年级期末数学试卷）如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（

）A． B． C． D．2．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（）A． B． C． D．23．（25-26九年级上·山东日照·月考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为（点在同一平面内），则潮汐塔的高度为（

）．（结果精确到．参考数据：，，）A． B． C． D．4．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）如图，将放在每个小正方形的边长均为1的网格中，A，B，C都在格点上，则的值是（

）．A． B． C．3 D．5．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）在中，，，，那么的长是．6．（25-26九年级上·山东滨州·月考）海丰塔是无棣县著名的旅游景点，被称为“冀鲁三胜”之一．在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量海丰塔的高度，具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的C处，测得海丰塔顶端A的俯角为，底端B的俯角为，则测得海丰塔的高度是m．（参考数据：）7．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为．8．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点是内一点，连接，，，且，过点作交于点，若，则的面积为．9．（安徽省宣城市皖东南初中四校联考2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题）现有一台红外线理疗灯(如图1所示)，该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，、、三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，．(1)填空：______°，______°；(2)已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．(参考数据：，，，)10．（25-26九年级上·江苏南通·月考）（1）计算：；（2）如图，在中，，，，解这个直角三角形．11．（25-26九年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并保留适当的作图痕迹．(1)在图①中的边上确定一点，连接，使得；(2)在图②中的边上确定一点，连接，使得；(3)在图③中的边上确定一点，连接，使得．12．（25-26九年级上·海南儋州·期末）数学综合实践小组用所学的数学知识来解决实际问题，报告如下：项目设计遮阳棚前挡板素材儋州受其地理位置影响，气候