20201112初三数学(人教版)24.1.2垂直于弦的直径(1)-1教学设计

教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ09SXRJ049学科数学年级九年级学期第一学期课题24.1.2垂直于弦的直径（第一课时）教科书书名：义务教育教科书数学（九年级上册）出版社：人民教育出版社出版日期：2014年6月教学人员姓名单位授课教师辛琦北京市鲁迅中学指导教师马靖北京教育学院附属中学教学目标教学目标：1.理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并初步会用它解决有关的证明与计算问题； 2.培养观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力.              教学重点：垂径定理及应用.教学难点：垂径定理的证明及应用.教学过程时间教学环节主要师生活动动手探究1.提出问题：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？2.动手操作：多次对折圆形纸片.3.得出结论：在折叠过程中引导学生观察对折后的两部分是否能重合，能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.如何证明圆是轴对称图形？4、圆的轴对称性的证明证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点，过点A作AA＇⊥CD，交⊙O于点A＇，垂足为M，连接OA,OA＇.在OAA＇中，∵OA=OA＇，∴OAA＇是等腰三角形.又AA＇⊥CD，∴AM=MA＇即CD是AA＇的垂直平分线.这就是说，对于圆上的任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A＇,因此⊙O关于直线CD对称.即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.这种证明方法是证明一个图形是轴对称图形的常用方法.⌒⌒⌒⌒⌒探究新知提出问题：如果我们在⊙O中任意画一条弦AB，如图，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗？若是，你能找到它的对称轴吗？动手操作：学生通过动手实验不难得出只要作出垂直于弦AB的直径，沿着这条直径所在的直线对折即可.该图形是轴对称图形，对称轴是垂直弦的直径所在的直线.观察猜想：设直径CD与弦AB垂直于点E（如图）,在沿直径CD所在直线对折的过程中，观察图中还有哪些相等的线段和相等的弧？AE=BE,猜想：如果有一条直径垂直于弦，那么它就能平分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧.4.验证猜想：利用圆的对称性证明可以得到点A和点B是对称点，把圆沿着直径CD所在直线折叠时，点A和点B重合，.因此，AE=BE.由此验证了猜想的正确性，这一重要结论称为垂径定理.5.归纳定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.符号语言：注意：定理中的两个条件缺一不可①过圆心，②垂直于弦.结论是③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧.6.巩固定理：下列图形中，AB是⊙O的弦，它们是否适用垂径定理找到相等的线段或相等的弧？.新知应用例1如图，在⊙O中，若弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径.分析：因为要求半径，所以还要连结OA.OE⊥AB,利用勾股定理可得⊙O的半径.解题过程如下：例2如图，在⊙O中，直径OC⊥AB，垂足为E，CE=2cm，求⊙O的半径.例2如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点.求证：AC＝BD.思路1：连接OA，OB，OC，OD．证明△OAC≌△OBD（证明△OAD≌△OBC）．思路2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质．思路3：过点O作OE⊥AB于点E，根据垂径定理．证明：过点O作OE⊥AB于点E.∵OE⊥AB，∴AE=BE，CE=DE，∴AE-CE=BE-DE，∴AC＝BD．思考1：在应用垂径定理的过程中，常用的辅助线是什么？归纳1.在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线。实际上，只需从圆心做一条与弦垂直的线段即可。思考2：如果我们设圆的半径为，圆心到弦的距离为，弦长为，你能找到它们三者之间的关系式吗？归纳2.这样把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径，圆心到弦的距离，弦长之间的关系式.课堂小结1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.布置作业1.如图，⊙O的半径为50mm，弦AB=50mm，则∠AOB＝度，点O到AB的距离为.2.在△ABC中，∠C=90