【数学】2025年高考真题-上海卷（精校版）

2025年高考上海卷数学真题一、填空题1.(改编)已知全集U={x∈R|2≤x≤5}，集合A={x∈R|2≤x<4}，则∁UA=.

答案{x∈R|4≤x≤5}(或[4，5])解析根据补集的含义知∁UA={x∈R|4≤x≤5}.2.不等式x-1x-3<0的解集为答案(1，3)解析原不等式可转化为(x-1)(x-3)<0，解得1<x<3，则其解集为(1，3).3.已知等差数列{an}的首项a1=-3，公差d=2，则该数列的前6项和为.

答案12解析根据等差数列的求和公式可得，S6=6a1+6×54.在二项式(2x-1)5的展开式中，x3的系数为.

答案80解析二项展开式的通项为Tk+1=C5k(2x)5-k·(-1)k=(-1)k25-kC5k令5-k=3，得k=2，可得x3的系数为(-1)2×25-2C55.函数y=cosx在-π2，π答案[0，1]解析由函数y=f(x)=cosx在-π2，且f-π2=0，f(0)=1，fπ4故函数y=cosx在-π2，π4上的值域为[6.(改编)已知随机变量X的分布列为X567P0.20.30.5则期望E(X)=.

答案6.3解析由题设有E(X)=5×0.2+6×0.3+7×0.5=1+1.8+3.5=6.3.7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BD=42，DB1=9，则该正四棱柱的体积为.

答案112解析因为BD=42且四边形ABCD为正方形，故BA=4，而DB1=9，故BB12+BD2=81，故BB1故所求体积为7×4×4=112.8.设a，b>0，a+1b=1，则b+1a的最小值为答案4解析易知b+1a=b+1aa+1b=ab当且仅当ab=1，即a=12，b=2时取等号，此时b+1a9.4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有种.

答案288解析先选两位家长排在队列的头和尾有A42=12(种)排法，再排队列中的四人有A44=24故有12×24=288(种)排列.10.已知复数z满足z2=z2，|z|≤1，则|z-2-3i|的最小值是.答案22解析设z=a+bi(a，b∈R)，所以z=a-bi，由题意可知z2=a2+2abi-b2=z2=a2-2abi-b2，则ab=0又|z|=a2+b2≤1，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Z(a，b)在单位圆内部(含边界)的坐标轴上运动，如图所示即点Z在线段设E(2，3)，则|z-2-3i|=|ZE|，由图象可知|BE|=10>|CE|=22，所以|ZE|min=22，即|z-2-3i|的最小值为22.11.小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A，B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光，其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米.则斜面的底角θ=.(结果用角度制表示，精确到0.01°)

答案12.58°解析如图分别为A，B两处杆子及其影子的几何示意图，在A处，tanx=10.4=2.5在B处满足tan∠CED=2.5(其中ED∥水平面，CE是射过B处杆子最高点的光线，光线交斜面于点E)，故设BD=y，则ED=1+y由勾股定理，y2+1+y2.52解得y≈0.098(负值舍去)，于是θ=arcsin0.0980.45≈12.已知f(x)=1,x>0,0,x=0,-1,x<0,a，b，c是平面内三个不同的单位向量.若f(a·b)+f(b·c)+f(c·a)=0，则答案(1，5)解析若f(a·b)=f(b·c)=f(c·a)=0，则a·b=b·c=c·a=0，又三个向量均为平面内的单位向量，故向量a，b，c两两垂直，显然不成立；故{f(a·b)，f(b·c)，f(c·a)}={-1，0，1}.不妨设f(a·b)=1,f(b·c)=0,f(c不妨设b=(1，0)，c=(0，1)，a=(cosθ，sinθ)，θ∈[0，2π)，则a·b=cosθ>0则|a+b+c|=|(1+cosθ，1+sinθ)|=(1+cos=3+2cosθ+2sinθ由θ∈3π2，2π，θ+π则sinθ+π4∈-22，22，22sin故|a+b+c|的取值范围是(1，5).二、单选题13.已知事件A，B相互独立，事件A发生的概率为P(A)=12，事件B发生的概率为P(B)=12，则事件A∩B发生的概率P(A∩B)为(A.18 B.14 C.答案B解析因为A，B相互独立，故P(A∩B)=P(A)P(B)=12×12=14.设a>0，s∈R.下列各项中，能推出as>a的一项是()A.a>1，且s>0B.a>1，且s<0C.0<a<1，且s>0D.0<a<1，且s<0答案D解析∵a>0，as>a，∴as-1>1=a0，当a∈(0，1)时，y=ax在定义域上单调递减，此时若s-1<0即s<1，则一定有as-1>1=a0成立，故D正确，C错误；当a∈(1，+∞)时，y=ax在定义域上单调递增，要满足as-1>1=a0，需s-1>0即s>1，故A，B错误.15.已知A(0，1)，B(1，2)，C在Γ：x2-y2=1(x≥1，y≥0)上，则△ABC的面积()A.有最大值，但没有最小值B.没有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值D.既没有最大值，也没有最小值答案A解析设点C为(a，b)(a≥1，b≥0)，则a2-b2=1，则a=b2kAB=2-11-0=1，直线AB的方程为y-1=x，即x-y+1=0根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离即△ABC边AB上的高，为a-b+1|2设f(b)=b2+1-b=由于b≥0，显然f(b)关于b单调递减，f(b)max=f(0)，无最小值，即△ABC中，边AB上的高有最大值，无最小值，又边AB的长一定，故△ABC的面积有最大值，无最小值.16.已知数列{an}，{bn}，{cn}的通项公式分别为an=10n-9，bn=2n，cn=λan+(1-λ)bn.若对任意的λ∈[0，1]，an，bn，cn的值均能构成三角形，则满足条件的正整数n有()A.4个 B.3个 C.1个 D.无数个答案B解析由题意an，bn，cn>0，不妨设点A(n，an)，B(n，bn)，C(n，cn)，三点均在第一象限内，由cn=λan+(1-λ)bn可知，BC=λBA，λ∈[0，1]，故点C恒在线段AB上，则有min{an，bn}≤cn≤max{an，bn}<an+bn.即对任意的λ∈[0，1]，cn<an+bn恒成立，令10x-9=2x，构造函数f(x)=2x-10x+9，x>0，则f'(x)=2xln2-10，由f'(x)单调递增，又f'(3)<0，f'(4)>0，存在x0∈(3，4)，使f'(x0)=0，即当0<x<x0时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x>x0时，f'(x)>0，f(x)单调递增；故f(x)至多2个零点，又由f(1)>0，f(2)<0，f(5)<0，f(6)>0，可知f(x)存在2个零点，不妨设为x1，x2(x1<x2)，且x1∈(1，2)，x2∈(5，6).①若an≤bn，即10n-9≤2n时，此时n=1或n≥6.则an≤cn≤bn，可知bn+cn>an成立，要使an，bn，cn的值均能构成三角形，所以an+cn>bn恒成立，故bn<2an，所以有10n-9≤2②若an≥bn，即10n-9≥2n时，此时n=2，3，4，5.则an≥cn≥bn，可知an+cn>bn成立，要使an，bn，cn的值均能构成三角形，所以bn+cn>an恒成立，故an<2bn，所以有10n-9≥2n,10综上可知，满足条件的正整数n有3个.三、解答题17.2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4×100米混合泳接力金牌.以下是历届奥运会男子4×100米混合泳接力项目冠军成绩记录(单位：秒)，数据按照升序排列.206.78207.46207.95209.34209.35210.68213.73214.84216.93216.93(1)求这组数据的极差与中位数；(2)从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率；(3)若比赛成绩y关于年份x的经验回归方程为y^=-0.311x+b^，年份x的平均数为2006，预测2028年冠军队的成绩(精确到0.01秒解(1)由题意，该组数据的最大值为216.93，最小值为206.78，则极差为216.93-206.78=10.15；中间两数据为209.35与210.68，则中位数为209.35+210.682故极差为10.15，中位数为210.015.(2)由题意，数据共10个，在211以上的数据共有4个，设事件A为“恰有2个数据在211以上”，则P(A)=C42·故恰有2个数据在211以上的概率为310(3)由题意，比赛成绩的平均数为110×(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399由y^=-0.311x+b^过点(2006，211.399则b^=211.399+0.311×2006=835.265故经验回归方程为y^=-0.311x当x=2028时，y^=-0.311×2028+835.265=204.557≈故预测2028年冠军队的成绩为204.56秒.18.如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且AB=2.(1)若直线PA与圆锥底面所成的角为π3(2)已知Q是母线PA的中点，点C，D在底面圆周上，且弧AC的长为π3，CD∥AB.设点M在线段OC上，证明：直线QM∥平面PBD(1)解由题知，∠PAB=π3，即轴截面△ABP是等边三角形，故PA=AB=2底面周长为2π×1=2π，则圆锥的侧面积为12×2×(2)证明如图所示，连接QC，QO，OD，由题知AQ=QP，AO=OB，则根据中位线性质可知，QO∥PB，又QO⊄平面PBD，PB⊂平面PBD，则QO∥平面PBD，由于AC=π3，底面圆的半径为1，则∠AOC=π3，又CD∥AB，则∠OCD=又OC=OD，则△OCD为等边三角形，则CD=1，于是CD∥BO且CD=BO，则四边形OBDC是平行四边形，故OC∥BD，又OC⊄平面PBD，BD⊂平面PBD，故OC∥平面PBD.又OC∩QO=O，OC，QO⊂平面QOC，于是平面QOC∥平面PBD，又M∈OC，则QM⊂平面QOC，则直线QM∥平面PBD.19.已知f(x)=x2-(m+2)x+mlnx，m∈R.(1)若f(1)=0，求不等式f(x)≤x2-1的解集；(2)若函数y=f(x)满足在(0，+∞)上存在极大值，求m的取值范围.解(1)因为f(1)=0，则1-m-2+0=0，故m=-1，则f(x)=x2-x-lnx，x>0，f(x)≤x2-1即x+lnx≥1，设s(x)=x+lnx，x>0，则s'(x)=1+1x>0，故s(x)在(0，+∞)又s(1)=1，所以x+lnx≥1即为s(x)≥s(1)，故x≥1，故原不等式的解集为[1，+∞).(2)f(x)在(0，+∞)有极大值即为有极大值点.f'(x)=2x-(m+2)+mx=2x2-(m+2)若m≤0，则当x∈(0，1)时，f'(x)<0，当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0，故x=1为f(x)的极小值点，无极大值点，故舍去；若0<m2<1，即0<m<2，则当x∈m2，1时，f'(当x∈0，m2∪(1，+∞)时，f'(x故x=m2为f(x)若m=2，则当x∈(0，+∞)时，f'(x)≥0，f(x)无极值点，舍去；若m2>1，即m>2，则当x∈1，m2时，f'(当x∈(0，1)∪m2，+∞时，f'(故x=1为f(x)的极大值点，符合题设要求.综上，m>0且m≠2，即m的取值范围为(0，2)∪(2，+∞).20.已知椭圆Γ：x2a2+y25=1(a>5)，M(0，m)(m>0)，(1)若Γ的一个焦点为(2，0)，求离心率e；(2)若a=4，且Γ上存在一点P，满足PA=2MP，求m；(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与Γ交于C，D两点，∠CMD为钝角，求a的取值范围.解(1)由椭圆Γ：x2a2+y25=1(a>5)由右焦点为(2，0)，可知c=2，则a=5+22故离心率e=ca=2(2)由题意A(4，0)，M(0，m)(m>0)，设P(xp，yp)，由PA=2MP得，4-解得P43，2m3，代入得19+4m245=1，又m>0，解得(3)由线段AM的中垂线l的斜率为2，可知直线AM的斜率为-12则m-00-a=-12，解得由A(a，0)，M0，a2得AM故直线l：y=2x-34a，显然直线l过椭圆内的点3故直线l与椭圆恒有两个不同的交点，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，由y消去y得(4a2+5)x2-3a3x+916a4-5a2=0由根与系数的关系得x1+x2=3a34a2+5，x因为∠CMD为钝角，则MC·MD<0，且MCx1，y1则有x1x2+y1-所以x1x2+2x1-54a2x2-54a=5x1x2-52即5916a4-5a2-52a×3a3+2516a2(4a2又a>5，故5<a<11，即a的取值范围是(5，11).21.已知函数y=f(x)的定义域为R.对于正实数a，定义集合Ma={x|f(x+a)=f(x)}.(1)若f(x)=sinx，判断π3是否是Mπ(2)若f(x)=x+2,x<0,x,x≥(3)若y=f(x)是偶函数，当x∈(0，1]时，f(x)=1-x，且对任意a∈(0，2)，均有Ma⊆M2.写出y=f(x)，x∈(1，2)的解析式，并证明：对任意实数c，函数y=f(x)-c在[-3，3]上至多有9个零点.解(1)fπ3=sinπ3=32，fπ3+π=-sinπ3=-32(2)方法一因为Ma≠⌀，则存在实数x0使得f(x0+a)=f(x0)，且a>0，当x<0时，f(x)=x+2，其在(-∞，0)上单调递增，当x≥0时，f(x)=x，其在[0，+∞)上也单调递增，则x0<0≤x0+a，则x0+2=x0令x+2=0，解得x=-2，则-2≤x0<0，则a=x0+a2-x0=(x0+2)2-x0方法二作出该函数图象如图所示，则由题意知直线y=t与该函数有两个交点，由图知0≤t<2，假设交点分别为A(m，t)(m≥0)，B(n，t)(n<0)，联立方程组m=t,n+2=t,得a=|AB|=m-n=t2-(t-2)所以a的取值范围为74(3)对任意x0∈(1，2)，x0-2∈(-1，0)，因为f(x)是偶函数，则f(x0-2)=f(2-x0)，而2-x0-(x0-2)=4-2x0∈(0，2)，所以x0-2∈M4-2x0⊆所以f(x0)=f(x0-2)=f(2-x0)，因为x0∈(1，2)，则2-x0∈(0，1)，所以f(x0)=f(2-x0)=1-(2-x0)=x0-1，所以f(x)=x-1，x∈(1，2)，所以当s∈(0，1)时，1-s∈(0，1)，1+s∈(1，2)，则f(1-s)=1-(1-s)=s，f(1+s)=(1+s)-