思维8生物学中的数学思维

思维8生物学中的数学思维一、数学与生物学的关系生物学和其他学科一样，既需要多层次的研究，解决不同层次的问题，又需要在不同层级的研究中，合理应用数学、物理、化学的方法解决问题，其中数学方法的应用非常重要，构建数学模型可以将生物学问题转化为数学问题，就可以利用函数、概率论、统计学等工具更高效、透彻地理解生物学问题。二、解题思想1.概率论在遗传学中的应用(1)独立事件概率为1①数学原理：独立事件S概率P(S)等于1。即P(S)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋…＋P(An)＝1。②生物学应用模型案例当群体发生淘汰时，剩余集合的概率总和为1令Aa自交，其后代的基因型和概率分别为AA＝1/4、Aa＝1/2、aa＝1/4，若淘汰aa，则AA和Aa的概率分别为1/3和2/3当某一群体概率为P(A)时，剩余群体概率为1－P(A)令AaBb自交，其后代纯合子的比例为1/4，则后代杂合子的比例为1－1/4＝3/4限定研究范围时，在特定范围内分析概率已知某疾病的致病基因型为XbXb或XbY，一对夫妻的基因型分别为XBXb和XBY，后代可能出现XBXB、XBXb、XBY、XbY四种基因型且比例相等，均为1/4，其中基因型为XbY的个体是患者，所以其后代出现患病男孩的概率是所有后代中基因型为XbY的占比，为1/4；男孩中患病的概率为后代男孩(XBY、XbY)中XbY的占比，为1/2(2)互斥事件加法原理，独立事件乘法原理①数学原理互斥事件A或B发生的概率等于两者概率之和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。独立事件A和B同时或先后发生的概率等于两者概率之积，即P(A∩B)＝P(A)·P(B)。②生物学应用模型案例同一个体不同基因型属于互斥事件Aa自交后代中出现AA、Aa、aa三种基因型的个体的比例为1/4、1/2、1/4，出现AA和出现Aa是互斥事件，则后代中出现AA或Aa的概率＝1/4＋1/2＝3/4雌雄配子随机结合属于独立事件Aa自交时，雄配子中A的概率为1/2，雌配子中A的概率为1/2，雄配子A和雌配子A的相遇属于独立事件、同时发生，应彼此相乘，因此后代中基因型为AA的概率为1/2×1/2＝1/4多对等位基因自由组合属于独立事件AaBb自交后代中，只考虑A/a，Aa占后代的1/2，只考虑B/b，Bb占后代的1/2(A/a、B/b独立遗传)，则后代出现Aa和出现Bb是独立事件，则后代为AaBb的概率为1/2×1/2＝1/4嵌套条件的概率为独立事件已知一个群体中AA和Aa的比例为1∶2，求群体自交后代中Aa的概率，由于亲代Aa的概率为2/3，其后代为Aa的概率为1/2，这两个事件为独立事件，互不干扰，需要概率相乘，因此后代基因型为Aa的概率＝2/3×1/2＝1/3[思维示例①](2024·山东潍坊测试)我国科学家团队在农作物育种方面做出了突出贡献。某二倍体农作物是雌雄同花植物，可自花传粉，也可异花传粉，花的位置和花的颜色遗传符合自由组合定律。研究者利用纯系品种顶生紫花与腋生蓝花植株进行了杂交实验，F1植株全部表现为腋生紫花，让F1植株自交，产生的F2植株中腋生紫花∶腋生蓝花∶顶生紫花∶顶生蓝花＝39∶9∶13∶3。下列叙述错误的是()A.由实验结果可推测该农作物花的颜色受3对等位基因控制B.在F2顶生紫花植株中基因型有7种，其中杂合子有4种C.F1植株自交所得F2中，每对基因均杂合的个体所占比例为1/8D.F2中的紫花植株随机传粉，则后代中蓝花植株所占比例为16/169F1自交产生的F2中紫花∶蓝花＝13∶3，13∶3可看作是9∶3∶3∶1的变式，则花的颜色至少由2对等位基因控制，且根据题干“花的位置和花的颜色遗传符合自由组合定律”可知，3对等位基因是独立事件，使用乘法原理进行计算。答案A解析只研究花的颜色，亲本紫花和蓝花杂交，F1全部是紫花，F1自交，F2中紫花∶蓝花＝13∶3，13∶3可看作是9∶3∶3∶1的变式，则花的颜色至少由2对等位基因控制，A错误；只研究花的位置，亲本顶生和腋生杂交，F1全部是腋生，F1自交，F2中腋生∶顶生＝3∶1，则腋生是显性性状，顶生是隐性性状。假设该性状由D/d基因控制，花的颜色由A/a、B/b基因控制，则F2中顶生紫花的基因型有ddA_B_、ddA_bb(或ddaaB_)、ddaabb，共有7种，其中杂合子有4种，B正确；F1植株的基因型为AaBbDd，F1植株自交所得F2中，每对基因均杂合的个体所占比例为1/2×1/2×1/2＝1/8，C正确；F2中的紫花植株随机传粉，只研究花的颜色，则亲本有1/13AABB、2/13AABb、2/13AaBB、4/13AaBb、1/13AAbb(或1/13aaBB)、2/13Aabb(或2/13aaBb)、1/13aabb，随机传粉其产生的配子的基因型及比例有4/13AB、4/13Ab、2/13aB、3/13ab(或4/13AB、4/13aB、2/13Ab、3/13ab)，蓝花所占比例是(2/13)×(2/13)＋(3/13)×(2/13)×2＝16/169，D正确。2.统计学在调查问题中的应用[思维示例②](2022·山东卷，12)根据所捕获动物占该种群总数的比例可估算种群数量。若在某封闭鱼塘中捕获了1000条鱼售卖，第2天用相同方法捕获了950条鱼。假设鱼始终保持均匀分布，则该鱼塘中鱼的初始数量约为()A.2×104条 B.4×104条C.6×104条 D.8×104条答案A解析由题“根据所捕获动物占该种群总数的比例可估算种群数量”，假设该种群总数为x，则有1000/x＝950/(x－1000)，计算得出x＝2×104，即该鱼塘中鱼的初始数量为2×104条，A正确。3.数列在配子种类计算中的应用(1)在连续自交和自由交配中的应用类型有关比例Aa连续自交后代的基因型比例AA∶Aa∶aa＝(2n－1)∶2∶(2n－1)Aa连续自交并淘汰aa后的基因型比例AA∶Aa＝(2n－1)∶2Aa连续自由交配后代的基因型比例AA∶Aa∶aa＝1∶2∶1Aa连续自由交配并淘汰aa后的基因型比例AA∶Aa＝n∶2注：n代表代数。(2)多体或多倍体配子比例计算①计算Aaaa个体的配子种类及比例Aa∶aa＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)×Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,4))∶eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝1∶1②计算AAAAaa个体的配子种类及比例AAA∶AAa∶Aaa＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))∶eq\f(Ceq\o\al(2,4)×Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))∶eq\f(Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝1∶3∶1③计算AAAaaa个体的配子种类及比例AAA∶AAa∶Aaa∶aaa＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,6))∶eq\f(Ceq\o\al(2,3)×Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,6))∶eq\f(Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,6))∶eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,6))＝1∶9∶9∶1[思维示例③](2024·江西九校联考)果蝇(2n＝8)缺失一条点状染色体的个体称为单体，可以存活，而且能够繁殖后代；若两条点状染色体均缺失则不能存活；增加一条点状染色体的个体称为三体，仍可以存活，而且能够繁殖后代。若让单体雄果蝇(基因型为a)和三体雌果蝇(基因型为Aaa)相互交配，下列对子代基因型和表型及其比例的分析，正确的是()A.子代中三体所占的比例为1/4B.子代正常果蝇中基因型为Aa的个体所占的比例为2/3C.子代中单体果蝇的基因型有两种且所占比例相同D.子代中致死个体所占的比例为1/12根据题意可知，单体和三体均可育，因此根据基因的分离定律，单体雄果蝇(a)能够产生的精子类型为两种：a∶O＝1∶1，O表示没有点状染色体；三体雌果蝇(Aaa)产生的卵细胞的种类及比例为A∶aa∶Aa∶a＝eq\f(Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,3))∶eq\f(Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,3))∶eq\f(Ceq\o\al(1,1)×Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))∶eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(1,3))＝1∶1∶2∶2。答案A解析单体雄果蝇产生了两种配子：含a基因和不含a基因，且各占eq\f(1,2)，三体雌果蝇产生了四种配子，各基因型及其比例为A∶aa∶a∶Aa＝1∶1∶2∶2，故子代中三体所占的比例为eq\f(1,2)×(eq\f(1,6)＋eq\f(2,6))＝eq\f(1,4)，A正确；子代果蝇中只有基因型为Aa、aa的个体表现为正常，其中基因型为Aa的个体所占的比例为eq\f(1,2)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)×eq\f(2,6)＝eq\f(1,4)，基因型为aa的个体占eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，所以子代正常果蝇中基因型为Aa的个体占eq\f(1,2)，B错误；子代中单体果蝇的基因型有两种，AO占eq\f(1,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12)，aO占eq\f(2,6)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)(O表示没有点状染色体)，两种单体果蝇的基因型所占比例不同，C错误；子代中无致死个体，D错误。4.导数在速率问题中的应用函数在某一点的导数是指这个函数在这一点处的变化率。当函数定义域和取值都在实数域的时候，导数可以表示函数的曲线上的切线斜率。生物学中常常借用基本的导数来分析某一研究对象的“变化量”和“变化率”的关系，以增加理解深度。类型种群的数量增长原函数“J”形增长“S”形增长理想条件下种群数量的增长曲线，是一个指数函数有环境阻力的情况下种群数量的增长曲线导函数“J”形增长“S”形增长“J”形增长的增长速率和“J”形增长一样，也是个指数函数“S”形增长的增长速率在K/2时最大，通过控制捕捞剩余量在K/2，可以持续获得高产量类型光合、呼吸的强度原函数24小时内，密闭玻璃罩内植物通过吸收或释放CO2使玻璃罩内的CO2浓度发生变化导函数24小时内，植物吸收或释放CO2的速率，是左侧函数取倒数后的导函数[思维示例④](2024·湖南长沙期末)将A、B两种物质混合，T1时加入酶C。如图为最适温度下A、B浓度的变化曲线。下列叙述错误的是()A.酶C降低了A生成B这一反应的活化能B.该体系中酶促反应速率先快后慢C.T2后B增加缓慢是酶活性降低导致的D.适当降低反应温度，T2值增大分析曲线