2026年福建莆田市高三一模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页莆田市2026届高中毕业班第二次质量调研测试试卷数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数，则（

）A． B．3 C． D．53．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，则的周长为（

）A．5 B．6 C．8 D．104．记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（

）A． B． C． D．5．已知，，且，则（

）A． B．C． D．6．为了探究六年级学生每日自主阅读时间与语文成绩的关系，某研究小组随机调查了50名学生，得到成对样本数据，其中表示每日自主阅读时间（单位：小时），表示语文成绩（单位：分）.经计算得回归直线方程为.下列说法正确的是（

）A．该样本数据的相关系数为5.2B．当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分C．该样本数据中，至少有一个点在回归直线上D．若某学生每日阅读时间为2小时，则他的语文成绩一定为分7．已知数列是公比为的等比数列，，，，，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则8．已知函数的定义域为，任意给定，都存在，使得，则不可能为（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．记为数列的前项和，若，则下列说法正确的是（

）A．为等差数列 B．为单调递增数列C． D．的最小值为10．已知函数，则下列说法正确的有（

）A．有且只有一个零点B．点为曲线的对称中心C．曲线在点处的切线方程为D．，11．已知正三棱台的所有顶点都在球的球面上，且，点满足，则（

）A．当为棱的中点时，B．C．若直线平面，则D．若，则球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知向量，，若，则_____.13．有4个大小、形状相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中随机取球一次（至少取一个），则取出的球的标号之和不超过5的概率为_____.14．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，过的直线交于，两点.若，则的外接圆的半径为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数（）的图象过点.(1)求的单调递增区间；(2)当，且时，证明：.16．已知函数.(1)当时，求的极值；(2)若，求实数的取值范围.17．已知抛物线的焦点为，准线为，直线与，的交点分别为，，且.(1)求；(2)若过点的直线交于，两点，且，求的值.18．如图，五面体中，，，，，，，.(1)证明：；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)若，当该五面体的体积取到最大值时，求的值.19．某分布式存储系统中，数据块容量上限为，数据块的初始数量为.系统运行遵循以下规则：①在每一时间步，系统以概率执行清理操作（数据块的数量减），以概率执行写入操作（数据块的数量加）；②当数据块的数量为（成功复位）或为（内存溢出）时，系统运行立即终止.记当数据块的数量为时，系统最终以“成功复位”状态终止的概率为.(1)直接写出、的数值，并写出、、的关系式；(2)当时，比较系统最终以“成功复位”与“内存溢出”状态终止的概率大小关系；(3)已知：若随机变量的取值不会影响随机变量的概率分布列，则称与相互独立，且满足.记为系统运行步后的数据块的数量（假设系统在此期间未终止）.当时，若与无关，求正实数的值.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【详解】，则.2．A【分析】根据复数模的计算公式计算即可.【详解】因为，所以.3．D【分析】由椭圆方程求得椭圆的参数，结合椭圆的定义即可求焦点三角形的周长.【详解】由题意得，，，所以，因为在椭圆上，则有，且有，则的周长为.4．B【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小.【详解】因为，所以.故选：B.5．C【分析】对于AB，利用不等式的性质可判断，对于C，使用作差法即可判断，对于D，结合余弦函数的单调性和奇偶性即可判断.【详解】对于A，因为，所以，即，故A错误；对于B，当时，，，此时，故B错误；对于C，，因为，所以，，，所以，即，故C正确；对于D，函数在上单调递减，所以，又因为函数为偶函数，所以，故D错误.6．B【分析】根据相关系数范围可以判断A；由回归系数定义可以判断B对；根据回归方程性质可以判断C，D.【详解】对于A，相关系数取值范围是，故错误；对于B，回归系数的含义是：当自变量每增加1个单位时，因变量平均增加的量。这里表示每日自主阅读时间（小时），表示语文成绩（分），所以当阅读时间每增加1小时，语文成绩平均增加5.2分，故正确；对于C，回归直线是对样本的拟合直线，不一定经过样本点，故错误；对于D，当时，，为预测值，不是确定值，故错误.7．C【分析】根据等比数列的项的性质判断A；根据时，判断B；根据基本不等式计算求解判断C，根据常数列判断D；【详解】对于A选项，数列是公比为的等比数列，且，则，所以或，故错误；对于B选项，若，当时，有，则，故错误；对于C选项，数列是公比为的等比数列，则，，又因，所以，所以，故正确；对于D选项，当等比数列为公比为的非零常数列时，始终满足，但不一定成立，故错误；8．D【分析】对于AB，可通过确定的代入判断，对于C，可通过构造函数，由其单调性和最值，确定方程有解判断，对于D，取，通过和分析方程无解，可判断.【详解】对于A，，定义域为，取，，即，A可能，对于B，，定义域为，取，，即，B可能，对于C，，定义域为，由，，，，构造函数，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，最小值，且当时，，即存在，使得，即，也即存在，使得，C可能，对于D，，定义域为，由得，取，方程为：，当时，不成立，当时，两边取对数得，即，因为，显然此方程无解，综上可知：当时，不存在满足条件，即D不可能.9．ABD【分析】由与的关系求得通项公式，可判断ABC，通过的赋值结合的符号，可判断D.【详解】由，可得，所以，又，符合上式，所以，故为等差数列，且单调递增，AB正确，，C错误，，当时，，当时，，当时，，当，可知，此时，由上可知的最小值为，D正确.10．AC【分析】对A：令，解出即可得；对B：举出反例即可得；对C：借助导数的几何意义计算即可得；对D：利用导数研究函数单调性，求出时的最大值与时的最小值即可得.【详解】对A：令，解得，故有且只有一个零点，故A正确；对B：由，故点不为曲线的对称中心，故B错误；对C：因，则，故曲线在点处的切线方程为，故C正确；对D：因函数的定义域为，，当时，，当时，，故在、上单调递增，在、上单调递减，则当时，，当时，，故不存在，使得，故D错误.11．ACD【分析】对A：借助空间向量线性运算法则计算即可得；对B：设该三棱台高为，建立适当空间直角坐标系后可表示出、，再利用向量坐标运算即可得；对C：求出平面的法向量及向量后计算即可得解；对D：可计算出，从而得到、坐标，再设出球心坐标，利用外接球性质计算可得球心及该球半径，再利用球的表面积公式计算即可得.【详解】对A：当为棱的中点时，，则，故A正确；对B：以为原点，为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，设该三棱台高为，则、、，设该三棱台上下底面中心为、，作底面于点，则，，，则，，故，则，，则，故B错误；对C：、，设平面的法向量为，则有，取，则，，即，、、，则，则，由直线平面，则，即，故，故C正确；对D：若，则，则，，由正三棱台性质，可设球心坐标，则，即有，解得，则，故球的表面积为，故D正确.12．【分析】求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得答案.【详解】向量，，所以，若，则，解得.13．【详解】设集合，数字代表对应标号的小球，根据题意每次至少取一个球，总的取球情况数即为集合的非空子集的个数，即个，满足取出的球的标号之和不超过5的样本点有，共有8种，所以取出的球的标号之和不超过5的概率为.14．【分析】设直线方程，通过证明从而得到为直角三角形，即可得到答案.【详解】由题意可知，，，易知直线的斜率不为，设直线方程为，，，则，，联立，整理得，，所以，，所以，所以，即为直角三角形，又因为，所以的外接圆的半径为.15．(1)，(2)证明见解析【分析】（1）代入点坐标，结合的范围，求出，再由正弦函数的单调性即可求得；（2）由条件化简得，再由和差公式求得，两式相比即可证明.【详解】（1）将点代入函数解析式，得，即，则有，解得，，因为，令，则，所以，由，，解得，，故的单调递增区间为，.（2）由（1）知，则，，依题意，有，即，因为，即，代入得，所以，即，则有，得证.16．(1)极小值为，无极大值(2)【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可；（2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可.【详解】（1）当时，，则，由得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为，无极大值；（2）等价于，令，则在上恒成立，则，得，因为，则得；得，则在上单调递减，在上单调递增，则，因为在上单调递增，所以在上单调递增，所以当时，，综上，实数的取值范围为.17．(1)2(2)或.【分析】（1）由抛物线定义可得进而得到为等边三角形，从而求得，结合图形特征及角的正切即可求解；（2）设直线：,联立直线与抛物线可得，则由韦达定理得，，计算弦长代入中即可求得，再列方程结合弦长公式求值.【详解】（1）由抛物线定义得，又因为，所以为等边三角形，所以，设准线为与x轴交于点，且的纵坐标为，所以，所以，所以；（2）设：，，，联立得，，由韦达定理得，，所以，所以，所以，则，由韦达定理得，，所以，所以，所以，或，所以或，所以的值为或.18．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）取中点，利用全等三角形性质，线面垂直的判定及性质推理得证.（2）利用余弦定理求出，再利用线面垂直的性质及判断确定直线与平面所成角，进而求出其正弦值.（3）利用几何法由的余弦表示出点到平面的距离，再利用割补法及三棱锥的体积将五面体的体积表示为的函数，然后利用换元法及导数求出取最大值的条件即可.【详解】（1）取中点，连接，由，得≌，则，，而，平面，因此平面，又平面，所以.（2）当时，在中，，则，，由（1）知，平面，于是平面，而平面，则，而，因此，又，平面，则平面，是直线与平面所成的角，在等边中，，，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）过作于，由（1）知平面，则，又，平面，于是平面，由平面，得，过作于，连接，而平面，因此平面，而平面，则，，，连接，由，得，又，则，，因此该五面体的体积，而，设，，求导得，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，取得最大值，此时取得最大值，五面体的体积取得最大值，所以当该五面体的体积取到最大值时，.19．(1)，，.(2)答案见解析(3)【分析】（1）根据题意可得出、的数值，再利用全概率公式可得出、、的关系式；（2）结合（1）推导出可知数列为等差数列，求出该数列的公差，可得出的表达式，求出系统最终以“成功复位”、“内存溢出”状态终止的概率，作差比较出这两种状态终止概率的大小，即可得出结论；（3）设为第步数据块的数量的变化值，、、、相互独立，求出的分布列，由题意可知，根据题中期望的性质得出，根据题意得出恒成立，只需，再结合的分布列可得出关于的等式，解之即可.【详解】（1）由题意可知，，由全概率公式可得.（2）当时，，即，故数列为等差数列，设其公差为，设其通项公式可得，由可得，所以，又因为系统数据块的初始数量为，所以系统