2022-2023学年广东深圳罗湖外语初中学校九年级(上)期末数学试题及答案

2022-2023学年广东省深圳市罗湖外语初中学校九年级（上）期一、选择题（每题3分，共30分）13分）如图所示的几何体的俯视图是()B.D.23分）在直角△ABC中，∠C＝90°,BC＝3，sinA求tanB为(33分）菱形不具备的性质是()A．四条边都相等B．对角线一定相等C．对角线平分对角D．是中心对称图形43分）如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．若点B(﹣2，m）也是该图象上的一点，则m的值为()53分）我国于12月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1个人可以传播给x个人，经过两轮传播后，共有81人被传染．则可列方程为()A．1+（1+x）x＝81B．1+x+（1+x）x＝81C1+x）x＝81D．x+（1+x）x＝8163分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P(﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为()73分）关于抛物线yx﹣1）2﹣2，下列说法中错误的是()A．顶点坐标为（12）B．对称轴是直线x＝1C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．开口方向向上83分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的是()93分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF.103分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的；④AP﹣BP＝OP；⑤若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE其中正确的结论有个.二、填空题（每题3分，共15分）113分）已知，则=.123分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围133分）如图，四边形ABCD是边长为√5cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为cm2.143分）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为米.153分）如图，直线y＝x﹣2交双曲线yx＞0）于点A，交x轴于点B，直线y=3x交双曲线yx＞0）于点C，若OA＝OC，则k的值为.三、解答题169分）计算题：（1）解方程x2﹣x﹣6＝0；（2）解方程：2x（x﹣1）＝1﹣x；（3）计算：.176分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图.解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人.（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图.（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率.186分）如图，从楼层底部B处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是53°,从楼层顶部A处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是45°,已知楼层AB的楼高为3米．求旗杆CD的高度约为多少米？（参考数据：sin53°≈198分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元.（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个台灯（用含x的代数式表示（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？208分）如图，在。ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF＝CE，连接AF.（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝4219分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于点A（3，1（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b≥的x的取值范围；（3）连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC的面积.如图1，在正方形ABCD中，点E是CD上一动点，将正方形沿着BE折叠，点C落在点F处，连结BE，CF，延长CF交AD于点G.（1）求证：△BCE≌△CDG.【运用】（2）如图2，在【推理】条件下，延长BF交AD于点H．若，CE＝9，求线段【拓展】（3）将正方形改成矩形，同样沿着BE折叠，连结CF，延长CF，BF交直线AD于G，=2022-2023学年广东省深圳市罗湖外语初中学校九年级（上）期一、选择题（每题3分，共30分）13分）如图所示的几何体的俯视图是()B.D.【分析】根据三视图的知识得出结论即可.【解答】解：根据题意得，该几何体的俯视图为，故选：C.【点评】本题主要考查简单几何体的三视图，熟练掌握简单几何体的三视图是解题的关键.23分）在直角△ABC中，∠C＝90°,BC＝3，sinA求tanB为(【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可.=【解答】解：在直角△ABC中，∠C＝90°,BC＝3，sinA==∴tanB==,故选：D.【点评】本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提.33分）菱形不具备的性质是()A．四条边都相等B．对角线一定相等C．对角线平分对角D．是中心对称图形【分析】根据菱形的性质逐一判断即可.【解答】解：A．菱形的四条边都相等，故本选项不合题意；B．菱形的对角线不相等，故本选项符合题意；C．菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意；D．菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；故选：B.【点评】本题考查了菱形的性质以及中心对称图形，掌握菱形的性质是解答本题的关键.43分）如图，点P是反比例函数图象上的一点，PF⊥x轴于F点，且Rt△POF面积为4．若点B(﹣2，m）也是该图象上的一点，则m的值为()【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求出k的值，再代入计算即可.【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义可知，|k|＝4，而k＜0，∴k=﹣8，∴反比例函数的关系式为y=﹣,把点B(﹣2，m）代入得，m=﹣=4，故选：D.【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，掌握反比例函数系数k的几何意义以及反比例函数图象上点的坐标的特征是正确解答的前提.53分）我国于12月中旬开始放开新冠疫情管控，经专家推算，每轮传播过程中，1个人可以传播给x个人，经过两轮传播后，共有81人被传染．则可列方程为()A．1+（1+x）x＝81B．1+x+（1+x）x＝81C1+x）x＝81D．x+（1+x）x＝81【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，结合“某地某时段有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传播后，共有81人被传染”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，且开始时有一个人患了新冠肺炎，∴第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染.根据题意得：1+x+x（1+x）＝81.故选：B.【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.63分）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P(﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为()【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案.【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P(﹣6，9∴点P在故选：A.【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.73分）关于抛物线yx﹣1）2﹣2，下列说法中错误的是()A．顶点坐标为（12）B．对称轴是直线x＝1C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．开口方向向上【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解.【解答】解：∵yx﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（12对称轴为直线x＝1，故选：C.【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.83分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a﹣b+c＞0；④2a+b＝0．其中正确的是()【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置可判断①④,由抛物线与x轴的交点个数可判断②,由x=﹣1时y＞0可判断③.【解答】解：∵抛物线开口向上，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＜0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，由图象可得x=﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴③正确.故选：D.【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系.93分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF.【分析】由基本作图得到EF垂直平分AD，则AE＝DE，AF＝DF，EF⊥AD，再根据等腰三角形三线合一得到AE＝AF，则可判断四边形AEDF为菱形，所以DF∥AB，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出AE.【解答】解：由作法得EF垂直平分AD，∴AE＝DE，AF＝DF，EF⊥AD，∵AD平分∠BAC，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF为菱形，∴ED∥AC，∴△BED∽△BAC，=∴==∴=故选：B.【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质.103分）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP．则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的；④AP﹣BP＝OP；⑤若BE：CE＝2：3，则tan∠CAE其中正确的结论有个.【分析】①可证明△COF≌△BOE，进而证明△ABE≌△BCF，进一步得出结论；②可证明△ABP∽△AEB，从而AB2＝AP•AE，可证明△AOB∽△ABC，从而AB2＝OA•AC，进而得出AP•AE＝OA•AC，从而得出结论；③由四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积可得四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，从而四边形OECF的面积等于△BOC的面积，进而得出结论；④作∠POQ＝90°,交AP于Q，可证得PQ＝OP及△AOQ≌△BOP，进一步得出结论；⑤作FG⊥BD于G，设CF＝2a，则CD＝BC＝5a，BD＝BC＝5a，可得出tan∠DBF可证得∠DBF=∠CAE，从而得出tan∠CAE从而得出结论.【解答】解：①,∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=∠EOF＝90°,∴∠BOC﹣∠COE=∠EOF﹣∠COE，∴∠COF=∠BOE，∴△COF≌△BOE（AAS∴CF＝BE，∴△ABE≌△BCF（SAS∴∠CBF=∠BAE，∵∠ABE+∠CBF=∠ABC＝90°,AB2＝AP•AE，由△AOB∽△ABC得，AB2＝OA•AC，:AP•AE＝OA•AC，“上POA＝上CAE，:△AOP∞△AEC，故②正确；“四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积，:四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，:四边形OECF的面积等于△BOC的面积，而△BOC的面积等于正方形ABCD的面积的，:四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的；故③正确；“上APO＝45。，“上AOB＝上POQ＝90。，:上AOQ＝上BOP，“OA＝OB，:△AOQ纟△BOP（SAS:AQ＝BP，“AP-AQ＝PQ，:AP-PQ＝OP，故④正确；作FG⊥BD于G，∵CF＝BE，∴DF＝3a，∴BG＝BD﹣DG＝5a﹣=a，∴tan∠DBF==,∴点A、B、P、O共圆，∴∠DBF=∠CAE，∴tan∠CAE=,故⑤不正确，∴①②③④正确，故选：C.【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.二、填空题（每题3分，共15分）113分）已知，则=.【分析】根据题意，设x＝3k，y＝5k，代入即可求得的值.【解答】解：由题意，设x＝3k，y＝5k，∴==.故答案为：【点评】已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元.123分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤1【分析】根据根的判别式即可求出答案.【解答】解：由题意可知：Δ=4﹣4m≥0，故答案为：m≤1【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型.133分）如图，四边形ABCD是边长为√5cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为4cm2.【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，即可求得AC的长，进而得到答案.【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∵AB=√5cm，∴AO2（cmS菱形ABCD=故答案为：4.【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分.143分）如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为（10√5﹣10）米.【分析】由黄金分割点的定义得AC＝AB，再代入AB的长计算即可.【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，∴AC＝AB=×2010﹣10米【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键.153分）如图，直线y＝x﹣2交双曲线yx＞0）于点A，交x轴于点B，直线y=3x交双曲线yx＞0）于点C，若OA＝OC，则k的值为3.【分析】设C（m，3mA（n，n﹣2根据勾股定理得到OC2＝m2+（3m）2，OA2=n2+（n﹣2）2，由于OA＝OC，于是得到m2+（3m）2＝n2+（n﹣2）2，由A，C在双曲线y=（x＞0）上，推出m•3m＝k，n（n﹣2）＝k，代入上式得到k＝2k+4，即可得到结论.【解答】解：设C（m，3mA（n，n﹣2∴OC2＝m2+（3m）2，OA2＝n2+（n﹣2）2，∴m2+（3m）2＝n2+（n﹣2）2，∵A，C在双曲线yx＞0）上，∴m•3m＝k，n（n﹣2）＝k，故答案为3.【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，函数的图象，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度适中.三、解答题169分）计算题：（1）解方程x2﹣x﹣6＝0；（2）解方程：2x（x﹣1）＝1﹣x；【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移项，然后利用因式分解法解方程；（3）第一项化简二次根式，第二项把特殊角三角函数值代入，第三项计算负整数指数幂，第四项计算零指数幂再合并即可.【解答】解1）x2﹣x﹣6＝0，（x﹣3x+20，∴x1＝3，x2=﹣2；（2）2x（x﹣1）＝1﹣x，）＝（x﹣12x+10，∴x1＝1，x2=﹣;（3）原式＝3﹣2×+2﹣1=3﹣1+2﹣1=3.【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算.176分）某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图.解答下列问题：（1）本次调查的学生共有80人.（2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图.（3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率.【分析】（1）根据B组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；（2）根据本次调查的学生人数和条形统计图中的数据，即可计算出被抽取的学生成绩在C组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，再由概率公式求解即可.【解答】解1）本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人故答案为：80；（2）被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人补全的条形统计图如下所示：（3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为=.【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.186分）如图，从楼层底部B处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是53°,从楼层顶部A处测得旗杆CD的顶端D处的仰角是45°,已知楼层AB的楼高为3米．求旗杆CD的【分析】过A作AE⊥CD于E，则BC＝AE，∠AED＝90°,先证△ADE是等腰直角三角形，得AE＝DE，设BC＝AE＝DE＝x米，则CDx+3）米，再由锐角三角函数定义得出方程，解方程即可.【解答】解：过A作AE⊥CD于E，如图所示：∴△ADE是等腰直角三角形，设BC＝AE＝DE＝x米，则CDx+3）米，解得：x≈9，答：旗杆CD的高度约为12米.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.198分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个，设该商场决定把售价上涨x（0＜x＜20）元.（1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯（用含x的代数式表示（2）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？（3）台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？【分析】（1）根据原销售量结合售价每上涨1元销售量就将减少10个，即可得出售价上涨x元后的月销售量；（2）根据总利润＝单台利润×月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（3）设每月的销售利润为w，根据总利润＝单台利润×月销售量，即可得出关于x的二次函数，写成顶点式即可解答.【解答】解1）售价上涨x元后，该商场平均每月可售出（600﹣10x）个台灯.故答案为600﹣10x）.（2）依题意，得40﹣30+x600﹣10x10000，整理，得：x2﹣50x+400＝0，解得：x1＝10，x2＝40（不合题意，舍去答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个；（3）设每月的销售利润为w，根据题意得：w40﹣30+x600﹣10x）=﹣10（x﹣25）2+12250，∵0＜x＜20，x取整，当x＝19时，w有最大值，最大值为11890，此时售价为：40+19＝59（元答：台灯售价定为59元时，每月销售利润最大.【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.208分）如图，在。ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD到点F，使DF＝CE，连接AF.（1）求证：四边形ABEF是矩形；（2）连接OF，若AB＝6，DE＝2，∠ADF＝4【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据直角三角形斜边中线可得：OF＝AC，利用勾股定理计算AC的长，可得结论.∴∠ADF=∠BCE，在△ADF和△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS∴AF∥BE，∴四边形ABEF是矩形；（2）解：由（1）知：四边形ABEF是矩形，∴CF＝4+4+2＝10，∴AF＝DF＝4，由勾股定理得：AC2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OF＝AC=.【点评】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键.219分）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（3，1（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）根据图象，直接写出满足k1x+b≥的x的取值范围；（3）连接BO并延长交双曲线于点C，连接AC，求△ABC的面积.【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把B的坐标代入求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数y＝k1x+b即可求出函数的解析式；（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案；（3）过C点作CD∥y轴，交直线AB于D，求出D的坐标，即可求得CD，然后根据S△ABC＝SACD+S△BCD即可求出答案.【解答】解1）∵把A（3，1）代入y＝得：k2＝3×1＝3，∴反比例函数的解析式是y=,∵B(﹣1，n）代入反比例函数y＝得