2026届新高考数学三轮热点复习三角恒等变换与解三角形

2026届新高考数学三轮热点复习三角恒等变换与解三角形2026内容索引0102必备知识•精要梳理关键能力•学案突破必备知识•精要梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ;cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ;温馨提示在运用两角和与差的三角函数公式时,不仅要做到熟练且精确地使用,还得熟悉公式的逆用及变形应用.公式的逆用和变形应用,更有助于拓宽解题思路,提升从正向思维向逆向思维转换的能力.就像两角和与差正切公式的变形:tan

α±tan

β=tan(α±β)(1∓tan

αtan

β),掌握它能让我们在相关三角函数问题的解决中更加得心应手.2.二倍角公式

sin2α=2sinαcosα,cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,3.辅助角公式

余弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccosA;4.正弦定理

5.三角形中的射影定理bcosC+ccosB=a,acosC+ccosA=b,acosB+bcosA=c.6.三角形面积公式关键能力•学案突破突破点一三角恒等变换及其应用

D

B名师点析利用三角恒等变换解决求值问题的关键(1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数给值求角的问题时,要根据已知条件求出这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小,求解时,尽量缩小角的范围,避免产生增解.对点练1

B

AA.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1C突破点二正弦定理、余弦定理及其简单应用

B

[例2-2]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为

,B=60°,a2+c2=3ac,则b=

.规律总结三角形中边角互化的基本原则(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解.(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.

(2)(2025·广西崇左高三联考)在△ABC中,∠A=120°,∠A的平分线AD交边BC于点D,且AB=2,CD=2DB,则AD的长为

.

突破点三解三角形的实际应用

B

[例3-2]湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分.如图,某市计划在四边形ABCD区域建一处湿地公园.已知∠DAB=90°,∠DBA=45°,∠BAC=30°,∠DBC=60°,AB=

千米,则CD=

千米.规律总结1.求解三角形实际应用问题的关键(1)将数据标注在相应平面图形中,准确将问题归类、建立解决问题的数学模型.(2)解题时尽可能将数据“化归”到三角形中,这样可以根据数据中边与角的类型灵活选用正弦定理或余弦定理求解问题.2.解三角形实际应用问题的步骤对点练3如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD=(

)A.30°

B.45°

C.60°

D.75°B

突破点四三角恒等变换与解三角形的综合应用B

2

对点练4(1)在△ABC中,AB=4,AC=3.若A=2B,则BC=