分类加法计数原理与分步乘法计数原理-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.1课时1初识分类加法计数原理与分步乘法计数原理法情境1：学校社团招新，学术类有3个社团，实践类有4个社团，要求每位同学只能报一个社团.那么，一名同学选择社团时，共有多少种不同的报名方式？情境2：假设我们要在图书馆完成“检索-取书”的流程：第一步选检索方式,有2种选择；第二步根据检索结果去对应书库取书,有3种选择,且必须先完成检索才能取书.那么,完成“检索-取书”整个过程,共有多少种不同的操作组合？

计数问题是我们从小就经常遇到的

，通过列举一个一个地数是计数的基本方法．但当问题中的数量很大时

，列举的方法效率不高.能否设计巧妙的“数法”,以提高效率呢？下面先分析一个简单的问题

，并尝试从中得出巧妙的计数方法．思考

用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的一个座位编号，总共能编出多少种不同的号码?

因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26+10=36种不同的号码.你能说一说这个问题的特征吗？任务

完成一件事：给一个座位编号方法：分类有两类不同方案：一个座位编号用一个英文字母或一个阿拉伯数字表示计数因为英文字母与阿拉伯数字互不相同，所以这两类号码数相加就得到号码的总数.上述计数过程的基本环节是：(3)各类号码的个数相加

，得出所有号码的个数．(1)确定分类标准

，根据问题条件分为字母号码和数字号码两类；(2)分别计算各类号码的个数；

（1）“两类不同的方案”是指完成这件事的所有方案可以分为两类，即任何一类方案中的任何一种方法都可以完成任务，两类方案中没有相同的方法.（2）分类时要按统一标准，标准不同，分类结果也不同.（3）分类时要注意满足一个基本要求：“不重不漏”.分类计数原理需要注意的几点

A大学B大学生物学数学化学会计学医学经济学物理学法学工程学

如果这名同学只能选一个专业

，那么他共有多少种选择？

一些自己感兴趣的强项专业，如下表.

分类

新知学习探究

归纳☆分类加法计数原理的使用步骤①分类：将完成这件事的方法分成若干类；②计数：求出每一类的方法数；③求和：将每一类的方法数相加得出结果；新知探究

号码由一个英文字母和一个阿拉伯数字组成,即得到一个号码要经过一下两个步骤.第1步：确定一个英文字母，有6种

第2步：确定一个阿拉伯数字，有9种

，如右图由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任意一个组成一个号码，而且它们互不相同，因此共有6×9=54种不同的号码．新知探究

123456789

123456789

123456789

123456789

123456789

123456789

由树状图可知，共有6×9=54种不同的号码．这种座位编号方式有什么特征？

完成一件事：给一个座位编号一个座位编号由一个英文字母和一个阿拉伯数字构成第1步，大写英文字母编号；第2步，阿拉伯数字编号

将每一步的方法相乘得最终结果任务方法：计数分步这种座位编号方式有什么特征？

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法.（1）完成一件事需要两个步骤，是指任何一种方法都要分成两个步骤，相继完成才能完成这件事.（2）分步时要确定分步标准，标准不同，分成的步骤也不同.（3）合理的步骤应满足：①完成这件事情必须连续做完所有步骤；②完成任何一个步骤可选用的方法与其他步骤所选用的方法无关.简而言之，要做到“步骤完整”.例2

某班有男生30名，女生24名.从中选出男、女生各1名代表班级解：任选男生和女生各1名，可以分两个步骤完成：第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同选法；第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同选法．根据分步乘法计数原理，共有不同选法的种数为N=30×24=720.参加比赛，共有多少种不同的选法？

分步

探究归纳☆分步乘法计数原理的使用步骤①分步：将完成这件事的方法分成若干步；②计数：求出每一步的方法数；③求积：将每一类的方法数相乘得出结果；

例3

书架的第1层放有4本不同的计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?(2)从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书,有多少种不同取法?分析：要完成的一件事怎样完成这件事（1）（2）从书架上任取1本书分三类完成从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书分三步完成取出1本即可解：(1)从书架上任取1本书，有三类方案：第1类方案是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方案是从第2层取1本文艺书

，有3种方法；第3类方案是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数为N=4+3+2=9.(2)

从书架的第1层、第2层、第3层各取1本书，可以分三个步骤完成：第1步，从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步，从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3

步，从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数为N=4×3×2=24.基础练习1、判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事.()（2）在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同.（

）（3）从甲地经乙地到丙地是分步问题.()（4）分类就是能“一步到位”，分步只能“局部到位”.()（5）分类时，各类之间是相互独立且排斥的；分步时，各步之间是互相依存、互相联系的.（

）√×√√√2、完成一项工作，有两种方法，有5个人只会用第一种方法，另外有4个人只会用第二种方法，从这9个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（

）A.5种

B.4种C.9种D.45种3、从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同方法数为__________.C9

5、某地地铁一号线正式开通的时候，两位同学同时乘坐地铁，已知该地铁有6节车厢，两人进入车厢的方法数共有（

）A.15种

B.30种C.36种D.64种DC能力提升1、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，则不同的行车路线有（

）A.24种B.16种C.12种D.10种2、在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的偶数有多少个？解：由题意知个位数字可取2，4，6，8，按个位数字分成4类，列表如下：个位数字2468十位数字13，2，15，4，3，2，17，6，5，4，3，2，1两位数个数1357由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数为1+3+5+7=16.C