2023年北京高考数学真题（搜集版需要修改解析）

2023年北京高考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合M={x∣xA．{x∣−C．{x∣x【答案】A【分析】先化简集合M,【详解】由题意，M={x根据交集的运算可知，M∩故选：A2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,3)，则zA．1+3iC．−1+3【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数z，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】z在复平面对应的点是(−1,由共轭复数的定义可知，z=故选：D3．已知向量a，b满足a+b=A．−2 B．−1 C．0【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量a,b满足所以|a故选：B4．下列函数中，在区间(0,+A．f(x)C．f(x)【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为y=lnx在0,+所以fx=−对于B，因为y=2x在0,+所以fx=1对于C，因为y=1x在0,+所以fx=−对于D，因为f12=显然fx=3故选：C.5．2x−1x5A．−80 B．−40 C．40【答案】D【分析】写出2x【详解】2x−令5−2所以2x−1x故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单.6．已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线C:y2=8x的焦点F2所以M到准线x=−2又M到直线x=−3所以MF+1故选：D.7．在△ABC中，(a+A．π6 B．π3 C．2π【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为(a所以由正弦定理得(a+c则a2+b又0<C<故选：B.8．若xy≠0，则“x+yA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解法一：由xy+yx=−2化简得到x+y=0即可判断；解法二：证明充分性可由x+y=0【详解】解法一：因为xy≠0所以x2+y2=−2所以“x+y=解法二：充分性：因为xy≠0，且x所以xy所以充分性成立；必要性：因为xy≠0所以x2+y2=−2所以必要性成立.所以“x+y=解法三：充分性：因为xy≠0所以xy所以充分性成立；必要性：因为xy≠0所以xy所以x+y2xy所以必要性成立.所以“x+y=故选：C9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB=25m,BC

A．102m B．112mC．117m D．125m【答案】C【分析】先根据线面角的定义求得tan∠EMO=tan∠EG【详解】如图，过E做EO⊥平面ABCD，垂足为O，过E分别做EG⊥BC

由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为∠EMO所以tan∠因为EO⊥平面ABCD，B因为EG⊥BC，EO所以BC⊥平面EOG，因为OG同理：OM⊥BM，又所以由BC=10得OM=所以在直角三角形EOG在直角三角形EBG中，BG又因为EF所有棱长之和为2×故选：C10．已知数列an满足an+A．当a1=3时，an为递减数列，且存在常数B．当a1=5时，an为递增数列，且存在常数C．当a1=7时，an为递减数列，且存在常数D．当a1=9时，an为递增数列，且存在常数【答案】B【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B的正误.法2：构造fx=14x−63+6−x，利用导数求得fx的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项an所在区间，从而判断an的单调性；对于A，构造hx=14x3−9【详解】法1：因为an+1对于A，若a1=3，可用数学归纳法证明：a证明：当n=1时，a1设当n=k时，则ak+1由数学归纳法可得an而an14an−62−故an为减数列，注意故an+1所以6−an+1若存在常数M≤0，使得an故6−M3>94n故A不成立.对于B，若a1=5,可用数学归纳法证明：证明：当n=1时，−1设当n=k时，则ak+1由数学归纳法可得5≤而an14an−62−1<若M=6，则对于C，当a1=7时，可用数学归纳法证明：0证明：当n=1时，设当n=k时，则ak+1−由数学归纳法可得6<而an+1−a又an+1−6=a若an+1≤6则M−6≤14对于D，当a1=9时，可用数学归纳法证明：a证明：当n=1时，设当n=k时，则ak+1由数学归纳法可得an而an+1−a又an+1−6=a若存在常数M>0，使得an故M>6+39故选：B.法2：因为an令fx=1令f′x>0，得令f′x<所以fx在−∞,6−令fx=0，则14x3−92注意到4<6−所以结合fx的单调性可知在−∞,4和6,8上fx对于A，因为an+1当n=1时，a1=3假设当n=k时，当n=k+1时，综上：an≤3因为在−∞,4上fx<因为an令hx=1因为h′x开口向上，对称轴为所以h′x在−∞所以hx在−∞,故an+1假设存在常数M≤0，使得取m=−M+4因为an+1上式相加得，a−则am=a对于B，因为a1当n=1时，a1假设当n=k时，当n=k+1时，因为ak所以ak又当n=1时，a2假设当n=k时，当n=k+1时，因为ak所以ak综上：5≤因为在4,6上fx>0此时，取M=对于C，因为an+1注意到当a1=7时，a2猜想当n≥2时，当n=2与n=3时，a2假设当n=k时，当n=k+综上：an易知3n−1>0所以an因为在6,8上fx<0假设存在常数M>6，使得记m0=log32则3m故123m−1所以am<M对于D，因为a1当n=1时，a2假设当n=k时，当n=k+1时，综上：an因为在8,+∞上fx>因为an令gx=1因为g′x开口向上，对称轴为所以g′x在9,所以gx故an+1假设存在常数M>0，使得取m=M+1，其中因为an+1上式相加得，aM则am=a故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.二、填空题11．已知函数f(x)=【答案】1【分析】根据给定条件，把x=【详解】函数f(x)故答案为：112．已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,【答案】x【分析】根据给定条件，求出双曲线C的实半轴、虚半轴长，再写出C的方程作答.【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为a,b，显然双曲线C的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距由双曲线C的离心率为2，得ca=2，解得a所以双曲线C的方程为x2故答案为：x三、双空题13．已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p为假命题的一组【答案】9π4【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为fx=tanx在0,取α=则tanα=tan令k1>k因为2k1−即k1>k不妨取k1=1故答案为：9π414．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列an，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1,a5=【答案】48384【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解d,q，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求【详解】方法一：设前3项的公差为d，后7项公比为q>则q4=a9a则a3=1+2空1：可得a3空2：a方法二：空1：因为an,3且an>0又因为a52=空2：设后7项公比为q>0，则q2可得a1+a故答案为：48；384.四、填空题15．设a>0，函数①f(x)②当a≥1时，③设Mx1,④设Px3,fx3x其中所有正确结论的序号是．【答案】②③【分析】先分析fx的图像，再逐一分析各结论；对于①，取a=12，结合图像即可判断；对于②，分段讨论fx的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知M【详解】依题意，a>当x<−a当−a≤x≤a时，fx=当x>a时，对于①，取a=12

显然，当x∈(a−1,+对于②，当a≥当x<−a当−a≤x≤a当x>a时，综上：fx取得最大值a对于③，结合图像，易知在x1=a，x2>

当x1=a时，y=fx1此时，MN对于④，取a=45

因为Px结合图像可知，要使PQ取得最小值，则点P在fx=x+同时PQ的最小值为点O到fx=此时，因为fx=y=x+2x<联立y=−xy=显然P−1,1在即a=45也满足PQ存在最小值，故故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得fx的图像，特别是当−a≤五、解答题16．如图，在三棱锥P−ABC中，PA

(1)求证：BC⊥平面(2)求二面角A−【答案】(1)证明见解析(2)π【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA⊥B（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC与平面【详解】（1）因为PA⊥平面AB所以PA⊥B所以△P又因为PB=P所以PB2+BC又因为BC⊥P所以BC⊥平面（2）由（1）BC⊥平面PAB，又AB以A为原点，AB为x轴，过A且与BC平行的直线为y轴，AP

则A(所以AP设平面PAC的法向量为m=x令x1=1，则y设平面PBC的法向量为n=x2令x2=1，则z所以cosm又因为二面角A−所以二面角A−PC17．设函数f((1)若f(0)(2)已知f(x)在区间−π3,2条件①：fπ条件②：f−条件③：f(x)注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)φ=(2)条件①不能使函数f(x)存在；条件②或条件③可解得ω【分析】（1）把x=0代入f(x)的解析式求出sin（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把f(x)的解析式化简，根据f(x)在−π3,2π3上的单调性及函数的最值可求出T，从而求出ω的值；把ω的值代入f(x)【详解】（1）因为f所以f(因为|φ|<（2）因为f(所以f(x)=sinωx若选条件①：因为f(x)=sinωx+φ若选条件②：因为f(x)在−π所以T2=2π3所以f(又因为f−π3所以−π所以φ=−π6+所以ω=1，若选条件③：因为f(x)在−所以f(x)在x=−以下与条件②相同．18．为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．时段价格变化第1天到第20天-++0---++0+0--+-+00+第21天到第40天0++0---++0+0+---+0-+用频率估计概率．(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）【答案】(1)0.4(2)0.168(3)不变【分析】（1）计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算；（2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【详解】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：16（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.19．已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>(1)求E的方程；(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y=−【答案】(1)x(2)证明见解析【分析】（1）结合题意得到ca=53，（2）依题意求得直线BC、PD与PA的方程，从而求得点M,N的坐标，进而求得k【详解】（1）依题意，得e=ca又A,C分别为椭圆上下顶点，AC=4所以a2−c2=所以椭圆E的方程为x2（2）因为椭圆E的方程为x29+因为P为第一象限E上的动点，设Pm,n

易得kBC=0+kPD=n−联立y=−23x而kPA=n−令y=−2，则−2=又m29+n2所以k==−又kCD=显然，MN与CD不重合，所以20．设函数f(x)=x−x(1)求a,(2)设函数g(x)(3)求f(【答案】(1)a(2)答案见解析(3)3个【分析】（1）先对fx求导，利用导数的几何意义得到f(1)=（2）由（1）得gx的解析式，从而求得g′x，利用数轴穿根法求得g′x（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间−∞,0，0,x1，x1【详解】（1）因为f(x)因为fx在(1,所以f(1)则1−13所以a=（2）由（1）得gx则g′令x2−6x+6=0，解得易知e−所以令g′x<0，解得0<x<x1所以gx在0,x1，x2即gx的单调递减区间为0,3−3和3（3）由（1）得f(x)由（2）知f′x在0,x1，x当x<0时，f′−所以f′x在−∞,0此时，当x<x3时，f′x<0，则f所以fx在−当x∈0,x1则f′x1所以f′x在0,x1此时，当0<x<x4时，f′x>0所以fx在0当x∈x1,x则f′x2所以f′x在x1,x此