九年级数学下册《锐角三角函数：余弦与正切》教案

九年级数学下册《锐角三角函数：余弦与正切》教案

一、教学设计理念与依据

（一）指导思想与理论依据

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深度融合当代建构主义学习理论、深度学习理念以及“大概念”教学思想。教学设计强调数学知识的发生发展过程，突出数学学科的整体性和一致性，致力于引导学生经历“情境抽象—概念建构—性质探究—应用迁移”的完整认知链条。锐角三角函数作为连接几何与代数的重要纽带，是函数思想在初中阶段的一次关键深化，其教学应超越单纯的计算操练，聚焦于比值的函数本质、变量之间的依存关系以及数学模型解决实际问题的强大力量。

（二）内容解析与地位作用

“余弦”和“正切”是锐角三角函数的两个核心概念，与已学的“正弦”共同构成锐角三角函数的完整知识体系。本课时在人教版九年级下册第二十八章“锐角三角函数”中，居于承上启下的关键节点。承上：学生已掌握正弦的定义（对边比斜边），并在直角三角形中理解了锐角与两边比值之间的确定对应关系，初步建立起三角函数的概念雏形。启下：本课学习的余弦（邻边比斜边）和正切（对边比邻边），不仅丰富了锐角三角函数的家族，更是后续学习解直角三角形、三角函数的增减性、互余角三角函数关系乃至高中任意角三角函数的坚实基础。三者统一定义于直角三角形中，是从几何角度度量角度大小、建立边角定量关系的核心工具。

（三）学情分析

认知基础：九年级学生已经具备了扎实的直角三角形相关知识（勾股定理、相似三角形判定与性质），掌握了正弦的概念及简单应用，对“角度确定，则比值确定”的函数思想有了初步体验。

认知障碍：学生可能存在的困难在于：1.概念混淆：容易混淆三个三角函数的名称与对应边之比的关系；2.理解断层：难以将三个三角函数视为一个有机整体，理解它们内在的统一性与差异性；3.应用僵化：在复杂图形中，难以准确识别和构造所需的直角三角形及对应边。

能力发展点：本节课将重点发展学生的数学抽象能力（从具体直角三角形中抽象出固定比值）、逻辑推理能力（通过逻辑推演发现余弦、正切的存在性与确定性）以及数学建模能力（利用三角函数模型解决倾斜角、坡度等实际问题）。

（四）学习目标

1.知识与技能：

1.2.理解锐角余弦（cosA）、正切（tanA）的概念，能准确叙述其定义。

2.3.能根据定义，准确、熟练地写出直角三角形中锐角的余弦、正切表达式。

3.4.掌握已知锐角，利用计算器求其余弦、正切值，或已知三角函数值求对应锐角的方法。

4.5.初步应用余弦、正切解决简单的直角三角形边角计算问题。

6.过程与方法：

1.7.经历类比正弦概念，自主探索、发现余弦、正切概念的过程，体会数学研究中的类比与迁移思想。

2.8.通过几何画板等动态演示，直观感知“当锐角度数固定时，其对边与邻边的比、邻边与斜边的比是固定值”，深化对函数对应关系的理解。

3.9.在解决实际问题的过程中，学会选择恰当的三角函数建立边角关系模型。

10.情感、态度与价值观：

1.11.在探索发现中体验数学的严谨性与确定性之美，感受数学内部联系的普遍性。

2.12.通过了解三角函数在工程、物理、测绘等领域的广泛应用，体会数学的工具价值和应用价值，激发学习内驱力。

（五）教学重难点

1.教学重点：锐角余弦、正切概念的建立与理解。

2.教学难点：理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）是锐角的函数，其本质是比值，且这些比值只与角的大小有关，与三角形的大小无关；在复杂情境中灵活选用合适的三角函数。

（六）教学策略与资源

1.教学策略：采用“情境-问题”驱动式教学法，贯穿“复习类比-猜想探究-验证抽象-辨析整合-应用深化”的主线。运用探究学习、合作学习与讲授法相结合的方式。

2.技术资源：交互式电子白板、几何画板动态课件、图形计算器或科学计算器、多媒体投影。

3.教具学具：教学用三角板、学生用作图工具、导学案。

二、教学过程实施

第一环节：创设情境，温故知新（预计时间：8分钟）

教师活动：

1.情境引入：展示一幅金字塔侧面的图片，并提出一个“非标准”测量问题：“如果无法直接测量金字塔倾斜面的高度（即斜面三角形的高），但我们能在底面上测量出到塔底中心的水平距离，并利用简易工具测出斜面的倾斜角度，能否计算出这个高度？”引发学生认知冲突，明确仅靠正弦可能不足以便捷解决所有边角问题，需要新的工具。

2.复习回顾：

1.3.提问：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角∠A的正弦如何定义？（sinA=∠A的对边/斜边=BC/AB）

2.4.追问：这个比值的大小由什么决定？与三角形的大小有关吗？为什么？（由∠A的大小唯一决定；无关；可利用相似三角形性质证明。）

3.5.在白板上画出一个标准的Rt△ABC，标注∠A、∠B、∠C及其对边a，b，c。

学生活动：

1.观察情境，思考问题，感知学习新知的必要性。

2.积极回答正弦的定义和性质，巩固“角度定，比值定”的核心思想。

设计意图：通过实际测量问题创设情境，制造“工具缺失”的悬念，激发求知欲。复习正弦，不仅巩固旧知，更重要的是强化“锐角与两边比值存在函数关系”这一核心观念，为余弦、正切的同构性学习搭建认知“脚手架”。

第二环节：类比探究，建构概念（预计时间：22分钟）

活动一：发现“邻边比斜边”的规律——余弦概念的生成

教师活动：

1.提出问题：“在Rt△ABC中，除了∠A的对边与斜边的比是固定值，还有其他两边的比值也是固定不变的吗？请大家聚焦∠A，看看它的邻边（AC）与斜边（AB）的比，即AC/AB，当∠A大小固定时，这个比值是否也固定？”

2.引导猜想：让学生根据正弦的学习经验进行类比猜想。大部分学生能直觉猜想“可能也是固定的”。

3.组织验证：

1.4.理论验证：引导学生利用相似的判定（∠A固定，∠C=90°固定，故△ABC∽△AB'C'）进行逻辑推理，证明AC/AB=A'C'/A'B'，从而得出“当锐角∠A大小固定时，其邻边与斜边的比是一个固定值”的结论。

2.5.直观验证：利用几何画板动态演示。固定∠A的度数，随意拖动直角顶点C，改变Rt△ABC的大小和形状（但保持∠A不变），实时显示AC/AB的数值。学生观察发现，尽管三角形大小变化，但比值AC/AB的数值始终不变。

6.抽象定义：

1.7.教师宣告：这个固定不变的比值，称为∠A的余弦（cosine），记作cosA。

2.8.规范表述：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=∠A的邻边/斜边=b/c。

3.9.板书定义，并强调关键词“邻边”、“斜边”。

学生活动：

1.积极思考，提出猜想。

2.参与推理过程，尝试用相似三角形的语言表述证明思路。

3.观察几何画板演示，形成强烈的直观印象，确信规律的普遍性。

4.跟随教师一起叙述余弦的定义，并在自己的导学案和三角形图上进行标注。

活动二：发现“对边比邻边”的规律——正切概念的生成

教师活动：

1.顺势引导：“我们发现了∠A的对边/斜边（正弦）、邻边/斜边（余弦）都是固定值。那么，∠A的对边与邻边的比（BC/AC），是否也具有同样的性质呢？”

2.自主探究：将学生分为小组，要求他们模仿余弦的发现过程，自主完成对“对边/邻边”这一比值固定性的猜想与验证（可提示使用相似证明或静待几何画板演示）。

3.演示与概括：

1.4.请小组代表分享他们的推理。

2.5.再次使用几何画板，动态演示当∠A固定时，BC/AC（即a/b）的比值恒定。

3.6.教师给出定义：这个固定不变的比值，称为∠A的正切（tangent），记作tanA。

4.7.规范表述：在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/邻边=a/b。

8.概念辨析与整合：

1.9.教师在白板上画出大表格，引导学生共同填写：

三角函数

中文名称

符号

定义（在Rt△ABC中，∠C=90°）

表达式（以∠A为例）

正弦

正弦

sin

对边/斜边

sinA=a/c

余弦

余弦

cos

邻边/斜边

cosA=b/c

正切

正切

tan

对边/邻边

tanA=a/b

1.核心讨论：

a.这三个比值都依赖于哪个元素？（锐角∠A）

b.它们与三角形的大小、位置有关吗？为什么？（无关，只与角的大小有关，由相似三角形性质保证。）

c.如何快速记忆这三个定义？（口诀：“正弦对斜，余弦邻斜，正切对邻”；或图形记忆法，在三角形中标注）

d.比较sinA和cosA，它们的分母有什么共同点？（都是斜边）比较sinA和tanA，它们的分子有什么共同点？（都是∠A的对边）

学生活动：

1.小组合作，进行类比探究，尝试推理或描述规律。

2.观看演示，确认规律。

3.学习正切定义，并参与表格的填写与概念的辨析讨论。

4.尝试记忆口诀，理解三个概念间的联系与区别。

设计意图：这是本节课的核心环节。通过完整的“猜想-验证-抽象”科学探究过程，让学生亲身经历余弦、正切概念的诞生，深刻理解其存在的合理性与必然性。类比迁移是关键方法，降低了认知负荷，提升了思维效率。动态几何软件的运用，将抽象的“不变性”转化为直观的视觉体验，攻克了教学难点。最后的辨析整合，旨在帮助学生将三个三角函数概念系统化、结构化，形成良好的认知图式。

第三环节：操作应用，深化理解（预计时间：10分钟）

活动一：定义的直接应用与计算器操作

教师活动：

1.示例讲解：

1.2.出示例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求∠A和∠B的正弦、余弦、正切值。

2.3.引导学生先由勾股定理求斜边AB=5。

3.4.师生共同完成：sinA=3/5,cosA=4/5,tanA=3/4;sinB=4/5,cosB=3/5,tanB=4/3。

4.5.关键提问：观察∠A和∠B的三角函数值，你有什么发现？（sinA=cosB,cosA=sinB,tanA*tanB=1）这为后续互余角关系埋下伏笔。

6.计算器教学：

1.7.演示如何使用科学计算器（或图形计算器）进行以下操作：

a.已知角度（如38°），求它的三角函数值（sin38°,cos38°,tan38°）。

b.已知三角函数值（如sinα=0.6428），求对应的锐角度数α。

2.8.强调计算器模式（角度制DEG）的设置，以及第二功能键（sin⁻¹,cos⁻¹,tan⁻¹）的使用。

学生活动：

1.跟随教师步骤完成例题，巩固定义的应用。

2.观察并总结∠A和∠B三角函数值之间的关系。

3.动手操作计算器，完成几个简单的求值、求角练习（如求cos25°,tan62°；已知tanθ=1.234，求θ）。

活动二：概念辨析练习

教师活动：

出示一组判断题或填空题，要求学生快速回答，并说明理由。

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则cosA=AB/AC。（）（错误，混淆邻边与斜边）

2.∠A的大小确定，则tanA的值唯一确定。（）（正确，紧扣函数本质）

3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若三边都扩大2倍，则∠A的正切值变为原来的2倍。（）（错误，正切值不变）

学生活动：独立思考，快速回答，通过辨析进一步澄清概念。

设计意图：通过基础例题，将概念转化为具体操作，巩固定义。计算器教学是必备技能，为后续解直角三角形扫清技术障碍。辨析练习旨在针对可能出现的概念误区进行“预防接种”，深化对三角函数“只与角有关，与三角形大小无关”这一本质属性的理解。

第四环节：综合建模，拓展迁移（预计时间：12分钟）

教师活动：

回到课堂伊始的金字塔问题，进行变式和拓展。

问题1（原型解决）：金字塔一个侧面的倾斜角（即斜面与地面的夹角）∠A约为52°。在底面上测得某点P到塔底中心O的水平距离（即PO，相当于∠A的邻边）为100米。求该侧面在点P处的高度（即P到斜面的垂足距离，在构造的Rt△中，相当于∠A的对边）。

1.引导分析：实际问题→数学建模（画出直角三角形，标注已知角∠A=52°，已知邻边=100米，求对边）→选择函数（涉及∠A的对边和邻边，选用正切）→列式：tan52°=对边/100→利用计算器求解。

2.解：设高度为h米，则tan52°=h/100，h=100×tan52°≈100×1.2799≈128.0米。

问题2（变式）：如果测得了侧面高度（对边）和倾斜角，如何求水平距离？（选用正切，变形公式）如果测得了斜面的长度（斜边）和倾斜角，如何求高度？（选用正弦）如何求水平距离？（选用余弦）

问题3（链接生活）：介绍“坡度（坡比）”概念。展示一段坡道图片，说明坡度i通常写成1:m或百分比形式，但其本质就是坡角α的正切值，即i=tanα。出示一个工程问题，如已知坡道坡度i=1:3，求坡角α的大小。

学生活动：

1.跟随教师思路，完成金字塔问题的建模与求解，体验用新知识解决悬疑问题的成就感。

2.参与问题变式的讨论，体会根据已知条件（边角关系）灵活选择三角函数模型的过程。

3.理解坡度与正切的现实联系，解决简单的坡度问题。

设计意图：实现从数学知识到实际应用的闭环。通过解决导入情境中的问题，让学生感受到学习的有用性和完整性。变式训练强化了学生根据条件选择模型的意识，提升了思维的灵活性。引入“坡度”这一重要工程概念，拓宽了正切函数的应用视野，体现了数学的广泛应用价值，落实了学科育人目标。

第五环节：反思小结，结构升华（预计时间：5分钟）

教师活动：

引导学生从多维度进行课堂小结，教师补充并提升。

1.知识层面：今天我们学习了哪两个新的锐角三角函数？它们的定义分别是什么？请结合表格复述。

2.思想方法层面：我们是怎样发现和得到这两个新概念的？（类比迁移的方法）我们用了哪些方式来验证它们的确定性？（逻辑推理和动态几何验证）这体现了数学的什么特点？（严谨性与确定性）

3.结构层面：正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数。它们都是从直角三角形边与角的度量关系中抽象出来的。它们的本质是什么？（锐角的函数，其值是两边之比，且只与角的大小有关）它们就像一个“工具箱”，为我们解决直角三角形的边角计算问题提供了三把不同的“钥匙”。

4.情感体验：在探索和解决问题的过程中，你有什么体会和收获？

学生活动：在教师引导下，积极发言，从不同角度总结本节课的收获，形成结构化、观念性的认识。

设计意图：超越知识点的罗列，进行方法性、结构性和观念性的总结。帮助学生将零散的知识点整合到更高的认知层次，形成关于锐角三角函数的整体观念，感悟数学思想方法，实现深度学习。

第六环节：分层作业，巩固延伸（预计时间：3分钟布置）

必做题（夯实基础）：

1.教材对应章节的基础练习题。重点练习根据图形写比值、简单计算。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件，求∠A和∠B的三个三角函数值：(1)AC=6,BC=8;(2)AB=13,BC=5。

3.使用计算器求值/求角练习。

选做题（提升能力）：

1.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6。求底角∠B的三个三角函数值。（提示：构造直角三角形）

2.查阅资料，了解除了坡度之外，余弦和正切在物理学（力的分解）、工程学（桥梁设计）等其他领域中的应用实例，并简要记录。

实践探究题（拓展视野）：

尝试用手机上的测量工具（或自制简易测角仪），测量校园内某个斜坡（或楼梯）的坡度，并计算其坡角。

设计意图：设计分层作业，满足不同层次学生的发展需求。必做题确保所有学生掌握核心知识与技能；选做题提升思维层次，渗透转化思想；实践题将数学与生活、技术相连，培养实践能力和探究精神。

三、板书设计

主板书（左侧）：

§28.1锐角三角函数（二）：余弦与正切

一、概念生成

1.余弦（cosA）：

1.2.定义：∠A的邻边与斜边的比。

2.3.在Rt△ABC(∠C=90°)中：cosA=邻边/斜边=AC/AB=b/c

4.正切（tanA）：

1.5.定义：∠A的对边与邻边的比。

2.6.在Rt△ABC(∠C=90°)中：tanA=对边/邻边=BC/AC=a/b

二、核心本质

1.正弦、余弦、正切都是∠A的函数。

2.比值只与∠A的大小有关，与三角形大小无关。

三、三者关系（表格）

函数

定义