第十七章因式分解章综合复习课件人教版数学八年级上册

第十七章因式分解章综合复习数学人教版八年级上册因式分解定义把一个多项式化成几个整式积的形式方法提公因式法公式法平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a22ab+b2=(a

b)2ab+ac=a(b+c)因式分解与整式的乘法是方向相反的变形.因式分解：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.概念因式分解(1)分解因式与整式乘法是方向相反的变形；(2)分解因式是针对多项式而言的；(3)分解因式的结果必须要以积的形式表示，否则不是分解因式.(4)因式分解必须分解到每一个因式都要不能再分解为止;几个相同因式的积要写成幂的形式.注意公因式：多项式pa+pb+pc的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫作这个多项式各项的公因式.概念公因式

确定多项式的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公因数，特别注意的是，如果多项式首项符号是“-”，则提取的公因式的符号一般为负.(2)定字母(或多项式)，即确定各项中的相同字母因式(或相同多项式因式).(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂.注意提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.概念提公因式法

公因式的提取：(1)若首项系数为负数时，一般要先提出负号，使括号内的首项系数为正，但要注意，此时括号内各项都变号;(2)不能漏项，提出公因式后，每一项都有剩余部分，它们组成的新多项式的项数与原多项式的项数相同；(3)特别注意，当多项式的某一项与公因式相同被全部提出后，剩下的多项式应在相应的位置上补上1.注意公式法：把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法.公式法用平方差公式分解因式平方差公式a2－b2=(a+b)(a－b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.(1)等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反.(2)等号右边是两个数的和与这两个数的差的积.(3)a和b可以是单项式，也可以是多项式.注意完全平方式：把a2

2ab+b2这样的式子叫作完全平方式.利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.完全平方式完全平方公式a2

+

2ab+b2=(a+b)2

a2

－2ab+b2=(a－b)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.用完全平方公式分解因式(1)左边是三项式，首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方，且符号相同；中间项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可.(2)右边是两个数(或两个式子)的和(或差)的平方.(3)字母a和b可以是数字，也可以是单项式或多项式.特点

使用公式法的条件:(1)当要分解的多项式能直接运用公式时，就直接运用公式;(2)如果有公因式，应先提公因式，再利用公式;(3)注意分解因式要彻底，直到不能分解为止.注意用完全平方公式分解因式一提：看多有无公因式，若有应先提取公因式.二套：考虑是否可用公式法分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式.三分组：如果用上述方法都不能分解，那么可以尝试用分组分解法来分解.四查：检查是否分解彻底，若没有则继续分解.对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综合运用提公因式法和公式法.要点综合运用各种方法分解因式因式分解步骤(不能直接套公式时可适当变形整理.)BBA若a+b＝3，则a2﹣b2+6b的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12a2﹣b2+6b＝(a+b)(a﹣b)+6b＝3a﹣3b+6b＝3(a+b)∵a+b＝3，∴a2﹣b2+6b＝3×3＝9．故选：C．C若4x2+kx+25＝(2x+a)2，则k+a的值可以是（）A．﹣25 B．﹣15 C．15 D．20A4x2+kx+25＝(2x+a)2，当a＝5时，k＝20，当a＝﹣5时，k＝﹣20，故k+a的值可以是：25或﹣25．故选：A．因式分解：(1)81a4+16b4－72a2b2(2)(a+3)(a－7)+25解：(1)原式=(9a2)2+(4b2)2－72a2b2=(9a2－4b2)2=[(3a+2b)(3a－2b)]2=(3a+2b)2(3a－2b)2(2)原式=a2－7a+3a－21+25=a2－4a+4=(a－2)2因式分解：x3

+x2－x－1.解：原式=x3－x+x2－1=x(x2－1)

+(x2－1)=(x2－1)

(x

+1)=

(x

+1)(x－1)(x

+1)=

(x

+1)2(x－1)方法总结因式分解的一般步骤：(1)优先提公因式：无论后续用哪种方法，先检查是否有公因式，若有则先提取.(2)判断结构选方法：两项，考虑平方差公式；三项，考虑完全平方公式；四项及以上：考虑分组分解法.(3)检查是否彻底：分解后的每个因式是否还能继续分解.(4)验证结果：用多项式乘法展开分解结果，与原式对比是否一致.小李在计算20232023－20232021时，发现其计算结果能被连续三个整数整除，则这三个整数是().A．2023，2024，2025B．2022，2023，2024C．2021，2022，2023

D．2020，2021，2022

B20232023－20232021=20232021×(20232－1)=20232021×(2023－1)×(2023+1)=20232021×2022×2024∴能被2022，2023，2024整除，故选B.已知x2+y2+4x-6y+13=0，则xy的值为

．x2+4x+4+y2-6y+9=0即(x2+4x+4)+(y2-6y+9)=0(x+2)2+(y-3)2=0∴x=-2，y=3∴

xy=-8-8已知a，b为整数，x3+ax2+bx+8可以分解成三个一次因式的乘积，其中的两个因式为x+1和x+2，求a+b的值.已知x+2y=5，xy=1.求值：(1)2x2y+4xy2(2)(x2-2)(2y2-1)(1)解：∵x+2y=5，xy=1.∴2x2y+4xy2=2xy(x+2y)=2×1×5=10;(2)解：∵x+2y=5，xy=1∴(x2-2)(2y2-1)=2x2y2-4y2-x2+2=2x2y2-(4y2+x2+4xy)+4xy+2=2(xy)2-(x+2y)2+4xy+2=2×12-52+4×1+2=-17.方法总结因式分解注意事项：(1)因式分解的结果必须是“整式的积”，不能含分式或多项式相加/减的形式;(2)符号处理：提取负号时，括号内各项要变号.(3)整体思想：将多项式中的某部分视为一个整体.如(x+y)2-4(x+y)+4=[(x+y)-2]2=(x+y-2)2.生活中人们经常用到密码，某种设置密码的方法是，将多项式分解因式，如某多项式分解因式后的结果是：(x2＋1)(x＋1)(x－1)，当

x

取10时，各个因式的值是：x2＋1=101，x＋1=11，x－1=9.于是就得到六位数密码“101119”.那么对于多项式

x8－y8

，当取

x=3，y=－2

时，用上述办法可以产生的六位数密码为()A．971315

B．891315

C．971015

D．139715Ax8－y8=(x4+y4)(x4－y4)=(x4+y4)(x2+y2)(x2－y2)=(x4+y4)(x2+y2)(x+y)(x－y),当x=3，y=-2时，各个因式的值是：x4+y4=81+16=97，x2+y2=9+4=13，x+y=3-2=1，x－y=3+2=5.可以把“971315”作为一个六位数的密码，故选A.如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“相数”.如：8=32

-12，16=52

-32，24=72

-52，因此8，16，24都是“相数”.(1)判断32是相数吗？____.(填“是”或“不是”)

(2)求证：所有的“相数”都是8的倍数.(提示：两个连续的奇数可以表示为2n

-1，2n+1，其中

n

为正整数.)

(1)32=92－72，所以32是相数.是(2)2n

-1，2n+1可以表示两个连续的奇数.(2n+1)2－(2n

-1)2

=(2n+1+2n

-1)(2n+1-2n+1)

=4n×2=8n∴所有的“相数”都是8的倍数.如果(x+3)(x+a)-2可以因式分解为(x+m)(x+n)（其中m

，n

均为整数），则a的值是________．

当m-3=1时，m=4，n=1，a=2，当m-3=-1时，m=2，n=5，a=4，当m-3=2时，m=5，n=2，a=4，当m-3=-2时，m=1，n=4，a=2，∴a的值是2或4.2或4(2)证明：两个不能被