七年级数学下册第五章第2课 轴对称的性质探究导学案

七年级数学下册第五章第2课轴对称的性质探究导学案

一、课程背景与设计指向

本课是北师大版七年级数学下册第五章“生活中的轴对称”第2课时的核心内容。在前一课时学生已直观感受生活中轴对称现象的基础上，本课将引领学生从直观感知迈向理性验证与定量分析，深入挖掘轴对称图形及两个图形成轴对称背后所蕴含的不变性——对应点连线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等。这一课是后续学习等腰三角形、线段垂直平分线、角的平分线等几何知识的基础，也是培养学生几何直观、空间观念、推理能力的关键载体。基于新课标“以学生发展为本”的理念，本设计力求通过精心设计的探究活动，让学生在“做数学”的过程中经历知识的形成过程，发展核心素养。

二、教学内容优化分析

本章节隶属于“图形与几何”领域，核心是研究图形的运动——轴对称。本课聚焦于轴对称的性质，是对运动变化过程中不变量的抽象与概括。教材编排从简单的扎纸实验入手，引导学生观察、测量、比较，逐步归纳出轴对称的基本性质。本设计在此基础上进行深化与拓展，不仅关注性质的得出，更关注性质的证明思路、应用价值及其与后续知识的关联，同时融入跨学科元素，如艺术设计中的对称美、自然界中的对称现象，以拓宽学生视野。

三、学情精准定位

学生已初步认识生活中的轴对称现象，能够识别简单的轴对称图形及对称轴，这为本课的探究奠定了经验基础。但七年级学生的思维仍以具体形象思维为主，逻辑推理能力正处于萌芽阶段。他们对于“为什么对应点连线会被对称轴垂直平分”这类深层原因的理解可能存在困难，容易停留在记忆结论的层面。因此，教学中需设计丰富的动手操作与小组合作环节，让学生在具体活动中感悟，在交流思辨中明晰，逐步实现从感性到理性的升华。

四、教学目标设定

1.【基础】理解轴对称图形及两个图形成轴对称的性质，能够准确表述对应点、对应线段、对应角的概念。

2.【重要】经历探索轴对称性质的过程，掌握通过测量、折叠、推理等方法发现几何结论的基本技能，发展几何直观与推理能力。

3.【高频考点】能够熟练运用轴对称的性质解决简单的几何问题，特别是关于线段相等、角相等及垂直关系的证明与计算。

4.【难点突破】在观察、操作、归纳的基础上，初步体会“对应点所连线段被对称轴垂直平分”这一核心性质的内涵，并能进行简单的合情推理。

5.【素养提升】通过欣赏与创作轴对称图案，感受数学的对称美，体会数学与生活、艺术的紧密联系，激发学习兴趣。

五、教学重难点及处理策略

1.【重点】探索并掌握轴对称的性质。这是本课知识的核心，也是后续应用的基础。

2.【难点】理解“对应点所连线段被对称轴垂直平分”的涵义，并能进行初步的逻辑论证。学生易理解“垂直”或“平分”的单一层面，但将二者整合为一个整体性质并理解其成因是思维上的一个台阶。

3.【处理策略】重点的突出将通过多层次的活动（扎孔、折叠、画图、测量）反复强化，使学生在多次实践中固化认识。难点的突破则采用“分解-整合”策略：先分别探究对应点连线与对称轴的位置关系和数量关系，再将其合并为完整的性质；同时引入几何画板动态演示，直观展示所有对应点连线的共性，帮助学生在头脑中建立清晰的表象，为后续的逻辑推理埋下伏笔。

六、教学方法与学法指导

本课采用“引导-探究-发现”的教学模式。

1.教学方法：直观演示法（借助实物折叠、多媒体动画）、实验操作法（学生动手扎纸、画图）、问题驱动法（设置层层递进的问题链引导思考）、小组合作探究法。

2.学法指导：指导学生学会“观察-猜想-验证-归纳”的探究方法；学会用规范的几何语言描述发现的结论；学会在小组内有效交流与倾听。

七、教学准备

1.教具：彩色卡纸、大头针、剪刀、直尺、量角器、多媒体课件（含几何画板动态演示）、磁性黑板贴。

2.学具：每位学生准备一张半透明的薄纸、一张长方形白纸、刻度尺、量角器、铅笔。

八、教学实施过程

（一）【创设情境，导入新课】（约5分钟）

1.活动设计：教师在黑板一侧用彩色粉笔随手勾勒出一个不完整的蝴蝶图案，故意缺失半边翅膀。提问：“同学们，这只蝴蝶怎么了？你能帮它找回另一半吗？”引导学生思考如何补全。学生自然会想到利用对称性。

2.操作验证：邀请一位学生上台，将一张预先剪好的半边蝴蝶轮廓的半透明纸覆盖在黑板的残缺图案上，沿对称轴（纸的折痕）翻转，完美补全图案。

3.设问启思：这一过程完美地利用了轴对称。为什么对折后就能完全重合？当我们把一个图形沿着某条直线折叠时，图形上的点和它的对应点之间到底存在着怎样不变的关系？今天，我们就来揭开这个谜底，系统探索轴对称的性质。由此引出课题并板书：【七年级数学下册第五章第2课轴对称的性质探究导学案】

（二）【实验操作，初步感知】（约10分钟）

1.【基础】活动一：扎孔探秘。

（1）分发材料：给每位学生发放一张半透明的薄纸和一张白纸。

（2）操作步骤：

[1]将薄纸对折，折痕即为一条直线，记作l。

[2]将展开的薄纸覆盖在白纸上，用大头针在薄纸上任意扎出几个小孔（注意不要扎透白纸，只需留下痕迹即可）。建议扎出三个不在同一直线上的点，分别标记为A、B、C。

[3]重新将薄纸沿折痕l折叠，再次用大头针通过刚才扎出的孔洞，在对应的另一侧薄纸上扎孔，展开。

（3）观察与记录：

[1]展开薄纸，你发现了什么？（出现两组对称的点）

[2]将原来一侧的点命名为A、B、C，折叠后扎出的对应点命名为A'、B'、C'。

[3]用直尺连接A和A'、B和B'、C和C'。观察每条线段与对称轴l的位置关系，有什么发现？测量每条线段被对称轴l分成的两段长度，有什么发现？

[4]用量角器测量一下∠A与它的对应角，你发现了什么？

（4）小组内交流观察与测量结果，初步汇总发现。

2.教师巡视指导：重点关注学生操作的规范性，特别是扎孔时是否垂直，以保证对应点的准确性。对于测量有困难的小组，给予及时帮助。

（三）【合作交流，归纳性质】（约15分钟）

1.【重要】活动二：小组汇报与质疑。

（1）请几个小组的代表上台，利用投影仪展示他们的成果，并汇报发现的结论。

（2）预设学生结论：

[1]点A与点A'分别在折痕l的两侧。

[2]连接A和A'的线段，被折痕l垂直平分。（这个结论需要引导，学生可能只说“垂直”或“被平分”）

[3]三角形ABC和三角形A'B'C'能够完全重合，所有对应线段相等，所有对应角相等。

（3）教师引导：大家的发现非常有价值。我们能否用更严谨的数学语言来描述这些结论？特别是第二条，大家观察到了“垂直”，也观察到了“平分”，这两个现象是同时发生的，并且都是由“轴对称”这个运动本身决定的。我们把这条折痕所在的直线叫做对称轴。那么，对称轴与连接对应点的线段之间，就具有这种“垂直”且“平分”的关系，即“垂直平分”。

2.【核心概念】板书归纳轴对称的性质：

（1）【重要】性质1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。也就是说，对应线段相等，对应角相等。

（2）【难点】【高频考点】性质2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（3）强调：对于轴对称图形本身，同样适用上述性质。即轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

3.【难点突破】活动三：深度思辨与动态验证。

（1）质疑：是不是任意一对对应点，它们的连线都被同一条直线垂直平分？只测量A、A'和B、B'两对就够了吗？

（2）动态演示：利用几何画板，展示一个三角形关于一条直线对称的动态过程。拖动三角形上的任意一个点，它的对应点也随之变化，但连接这两点的线段，始终被对称轴垂直平分。这一直观演示有力佐证了性质的普遍性。

（3）逆向思考：如果我们知道了两个图形关于某条直线对称，那么我们可以根据一个点找到它的对应点吗？怎么找？（过已知点作对称轴的垂线，并延长至等长，交点即为对应点）这为后续的作图打下基础。

（四）【应用迁移，巩固深化】（约12分钟）

1.【基础】基础练习（抢答形式）：

（1）如图（投影展示一个简单的轴对称图形，如等腰梯形），已知点A的对应点是A'，请找出对称轴。

（2）如图，在轴对称图形中，已知线段AB=5cm，那么它的对应线段A'B'的长度是______。

（3）如图，已知∠1=30°，那么它的对应角∠2=______°。

2.【高频考点】综合应用（小组合作完成，代表板演）：

题目：如图，△ABC与△A'B'C'关于直线l对称。

（1）如果AB=4cm，AC=3cm，∠B=60°，你能求出△A'B'C'的哪些边长和角度？请说明理由。

（2）连接AA'，交直线l于点O。如果AA'=6cm，那么AO的长度是多少？直线l与AA'有什么关系？

设计意图：此题综合考查对应边、对应角相等，以及垂直平分的性质。要求学生在回答时清晰阐述依据，培养言之有据的习惯。

3.【热点】解决实际问题：

情境：将军饮马问题简化版。如图，在一条河l的同侧有两个村庄A和B。现在要在河边建一个供水站P，使得向两个村庄铺设的水管总长度最短。供水站P应建在何处？请你运用今天所学的知识解释。

（1）引导学生分析：点P在直线l上，要求PA+PB最小。

（2）启发：能否将这个问题转化为我们熟悉的两点之间线段最短的问题？既然A和B在l的同侧，我们能否通过某种变换，使得B点“跑到”l的另一侧，并且保持路径长度不变？

（3）学生讨论后，教师点拨：作点B关于直线l的对称点B'。连接AB'，与l的交点即为点P。因为PB=PB'，所以PA+PB=PA+PB'=AB'，此时路径最短。

（4）作图验证：请学生在纸上尝试作图，并体会其中轴对称性质的妙用。这是轴对称性质在最短路径问题中的经典应用，实现了从“形”到“用”的飞跃。

（五）【跨学科融合，拓展视野】（约5分钟）

1.【拓展】数学与艺术：

展示一组中外经典建筑（如故宫、泰姬陵、埃菲尔铁塔）、著名标志（如中国工商银行标志、奥迪车标）、传统民间艺术（剪纸、脸谱）的图片。引导学生观察并指出其中的对称轴，感受对称在人类文明中的普遍应用与美学价值。

2.【拓展】数学与自然：

展示一组自然界中的对称图片：蝴蝶、雪花、树叶、人体结构（外部轮廓）等。提问：“为什么自然界如此偏爱对称？对称在生物生存中可能有什么意义？”（如：平衡、识别、伪装等）鼓励学生课后查阅资料，撰写一篇数学小论文，题目自拟，如“对称之美——从数学到自然与艺术”。

3.设计意图：通过跨学科的视角，让学生认识到数学不仅是抽象的符号，更是理解世界、创造美感的工具。这不仅激发了学习兴趣，也提升了人文素养。

（六）【课堂小结，构建网络】（约5分钟）

1.请学生畅谈本节课的收获，可以从知识、方法、情感三个维度进行总结。

（1）知识上：我学到了轴对称的性质——对应线段相等、对应角相等、对应点连线被对称轴垂直平分。

（2）方法上：我经历了“观察-猜想-验证-归纳”的探究过程，学会了用折叠、测量、画图来研究几何问题。

（3）情感上：我感受到了数学的对称美，体会到了数学在生活中的广泛应用。

2.教师总结升华：今天我们从“运动”的角度重新审视了轴对称，发现了图形在运动过程中保持不变的性质。这种“变中找不变”的思想，是数学乃至所有科学研究的核心思想之一。希望同学们在今后的学习中，也能善于抓住变化中的不变量，洞察问题的本质。

（七）【分层作业，因材施教】（约3分钟）

1.【基础巩固】必做题：课本习题5.2第1、2、3题。要求规范书写解题过程，清晰标注依据的轴对称性质。

2.【能力提升】选做题：

（1）利用轴对称的性质，设计一个美丽的轴对称图案，并简要说明你的设计意图。

（2）思考：如何用尺规作图，作出一个已知点关于一条直线的对称点？请尝试写出作图步骤并说明理由。

3.【拓展探究】挑战题：阅读材料“对称与群”，初步了解对称在更高层次数学中的含义，尝试用对称的观点解释正多边形的性质。

九、板书设计（结构化呈现）

左侧区域：轴对称的性质

1.全等性：对应线段相等，对应角相等。

2.【核心】垂直平分性：对称轴是对应点连线的垂直平分线。

（图示：画一条直线l，在两侧分别取点A和A'，连接AA'，标出交点O，标注AO=OA'，且l⊥AA'）

中间区域：探究过程与方法

1.扎孔实验：观察→测量→猜想

2.动态验证：几何画板→归纳→结论

3.应用举例：将军饮马问题

（简图：直线l，点A、B在l同侧，作B的对称点B'，连接AB'，交点P）

右侧区域：学生板演区

预留空间用于展示小组合作成果或典