湖南省九校联盟2026届高三第二次联考（暨怀化市一模）数学+答案

高三数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1.已知复数z满足(1+i)z=2+i,则z在复平面内对应的点所在象限为

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

2.全集U={1,2,3,4},2∈B,且BCU,则满足条件的集合B的个数为

A.8B.7C.4D.2

3.在平行四边形ABCD中,BE与AC交于点R,若AR=mAC,则m的值为

ABCD

4.已知圆C:(x—1)²+y²=1与圆C₂:(x+2)²+(y—4)²=a²(a>0)相切，则a=

A.4B.6

C.4或6D.16或36

5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=4,且f(0)=0,则f(2026)=

A.0B.2C.3D.4

6.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,(,则△ABC一

定为

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形

7.设O为坐标原点，F₁,F₂的左、右焦点，若在双曲线上存在点P,满足

三角形F₁PF₂的面积为√3b²,|OP|=√5a,则该双曲线的离心率为

A.√21BC.√5D.√3

数学试题(J)第1页(共5页)

8.在平面直角坐标系中，曲线y=√4-x²绕着y轴旋转一周得到一个旋转体Ω,在Ω中放入4个

半径为r的小球，四个小球均与旋转体Ω的表面以及开口平面相切，则小球半径r的最大值为

A.√3B.√3-1C.√2D.√2-1

二选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列说法正确的是

A.数据1,2,2,2,3,3,3,4,5的众数是2

B.数据—3,—1,3,7,8,9,11,15的第25百分位数是1

C.若随机变量,则E(3ξ—2)=1

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x²=9.850.依据α=0.01的独立性检验

(co.01=6.635),可判断变量X与Y不独立

10.已知数列{an}的首项a₁=3,且满，,下列说法正确的有

A.a₂=2

B.数列{nan}为等差数列

C.数列{(an—1)(an+1-1)}的前n项和大于4

D.{an·an+1}为单调递减数列

11.已知椭圆E:(a>b>0)的右焦点为F(1,0),过点F的直线与E交于A,B两点，当

A为E的上顶点时，|AF|=3.过点A作直线l:x=9的垂线，垂足为M,直线MB与x轴交

于点N,直线NA的斜率为k₁,直线NB的斜率为k₂,则下列说法正确的是

A.椭圆E的短轴长为4√2

B.三角形AFN的面积的最大值为4√2

C.四边形AOBN的面积的最大值为15√2

D.设AB的中点的横坐标为s,则为定值

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.已知函数f(x)=2sinwx+4coswx的两个相邻零点间的距离为,则

13.已知b>0,且34·9b=3,则的最小值为

数学试题(J)第2页(共5页)

14.如图，要用2n个元件组成一个电路系统，当且仅当从A到B的电路为通路状态时，系统正常

工作.已知每个元件正常工作的概率为,在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏

的元件个数为Xn,则E(X₄)=

A_-B

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a₂+a₃=0,5a₂+a₄+2=0.

(1)求数列{an}的前n项和Sn;

(2)记bn=2,数列{bn}的前n项积为Tn,求T+Sn的最小值.

16.(本小题满分15分)

我国新能源汽车迅速崛起，成为推动绿色革命的核心引擎.某品牌新能源汽车公司为了抢占

更多的市场份额，计划加大广告投入.该公司近5年的年广告费x;(单位：百万元)和年销售量

y;(单位：百万辆)关系如图所示：

令vi=1nx;(i=1,2,…,5),数据经过初步处理得：8

7.657.现有①y=bx+a和②y=nlnx+m两种模型作为年销售量y关于年广告费x的回归

分析模型，其中a,b,m,n均为常数.

数学试题(J)第3页(共5页)

(1)请从样本相关系数的角度，分析哪一个模型拟合程度更好?

(2)为刺激消费，A省出台了以下补贴政策：每购买一辆新能源汽车，补贴6000元.若甲、乙两

人近期在A省购买一辆该新能源汽车的概率分别为p²,3p—1,其中,每人最多

购买一辆.求该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围.

参考数据：√403≈20.1,√64.9636=8.06.

相关系数

17.(本小题满分15分)

在抛物线T:y²=2px(p>0)中，直线l与T交于A,B两点，F为I的焦点.当直线l为

y=x—4时，|AB|=4√10.

(1)求抛物线I的标准方程；

(2)若线段AB中点的纵坐标始终为1,求|AF|+|BF|的取值范围；

(3)已知直线x=m与P相交于P,Q两点，直线x=n与T相交于C,D两点(点P,C在x

轴的上方),若|CD|=4|PQ|,四边形PQDC的外接圆圆心坐标为(s,t),求证：s+t>2.

数学试题(J)第4(页(共5页)

18.(本小题满分17分)

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，

AB=2AD=4,AD⊥BD,二面角P-AD-B的平面角大小为θ,Q为AB的

中点.

(1)设平面QPC∩平面PAD=1,求直线l与直线AD的夹角大小；

(2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值的最大值；

(3)设N为侧棱PC上一点，四边形AENF是过A,N两点的截面，分别交PD,PB于E,F两

点，其中E为PD的中点，BD//平面AENF,求四棱锥P-AENF的体积的取值范围.

19.(本小题满分17分)

设函数f(x)=x³—ax—b,x∈R,a,b∈R.

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)当a=2,b=0时，函数f(x)的图象上有且仅有2个点到原点距离为d,求d的取值范围；

(3)函数f(x)的图象上是否存在唯一的一组点A₁,A₂,…,An,构成正n多边形，n∈N*且

n≥3?若存在，请求出所有满足条件的n以及对应a的值；若不存在，请说明理由.

高三数学参考答案

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的)

题号12345678

答案DACCDABB

1.D【解析】因为(1+i)z=2+i,所以,在复平面内对应的点为,位于

第四象限，故选D.

2.A【解析】因为{1,3,4}的子集有8个，故选A.

3.C【解析】AR=mAC=m(AB+AD)=m(AB+3AE)=mAB+3mAE,因为R,B,E三点共线，所以m+3m

=1,即,故选C.

4.C【解析】若圆C₁与圆C₂相外切，则a+1=|C₁C₂|=√(1+2)²+(0-4)²=5,所以a=4;

若圆C₁与圆C₂相内切，则a|-1|=|C₁C₂|=√(1+2)²+(0-4)²=5,因为a>0,所以a=6,

综上，a=4或6,故选C.

5.D【解析】因为f(x+2)+f(x)=4,所以f(x+4)+f(x+2)=4,

两式相减得f(x+4)=f(x),故f(x)的一个周期为4,

f(x+2)+f(x)=4中，令x=0得f(2)+f(0)=4,又f(0)=0,故f(2)=4,

所以f(2026)=f(506×4+2)=f(2)=4,故选D.

6.A【解析】由简可得asinC=bcosA+acosB,所以sinAsinC=

sinBcosA+sinAcosB,即sinAsinC=sin(A+B)=sinC,因为sinC≠0,所以sinA=1,即,所以

△ABC一定为直角三角形，故选A.

7.B【解析】解法一：不妨设点P在双曲线的左支上，|PF₁|=x,则|PF₂|=2a+x,

因为∠POF₁+∠POF₂=π,所以cos∠POF₁+cos∠POF₂=0,

所以

化简得x²+(2a+x)²=2(c²+5a²),整理得x(x+2a)=c²+3a²,

设∠F₁PF₂=20,

因为|PF₂|-|PF₁|=2a,|PF₁I²+|PF₂I²—2|PF₁||PF₂|cos20=4c²,

所以三角形F₁PF₂的面积

所以,∠F₁PF₂=60°,

由余弦定理得x²+(2a+x)²—2x(x+2a)cos60°=4c²,整理得x(x+2a)=4c²—4a²,

所以c²+3a²=4c²—4a²,化简得3c²=7a²,

所以.故选B.

解法二：设P(xo,yo),F₁(一c,0),F₂(c,0),

则由,得

数学试题(J)参考答案-1

即3c²=7a².故选B.

8.B【解析】如图所示，两球的对角球心距|AB|=√(2r)²+(2r)²=2√2r,所以|OA|=√3r,所以√3解

得r=√3-1,故选B.

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

题号91011

答案BCDABDABD

9.BCD【解析】对于A,数据1,2,2,2,3,3,3,4,5中2和3各出现了三次，所以该组数据的众数是2和3,故错

误；对于B,8个数从小到大排列，因为8×0.25=2,所以取第2个数与第3个数的平均数，得·,故B

正确；对于C,因,则,故E(3ξ—2)=3E(E)-2=1,故C正确；对于D,因为x²=

9.850>6.635,所以变量X与Y不独立，故D正确。故选BCD.

10.ABD【解析】计算可得a₂=2,故A正确；

可得(n+1)an+1-nan=1,则数列{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列，即nan

=3+(n-1)×1=n+2,即,故B正确；

,则数列{(an-1)(an+1-1)}的前n项和为

故C错误；

数列{an}为正的单调递减数列，则an+1·an+2—an·an+1=an+1(an+2—an)<0,故D正确。故选ABD.

11.ABD【解析】记椭圆E的半焦距为c,由右焦点为F(1,0)可得c=1,

而当A为E的上顶点时，|AF|=√b²+c²=a=3,

所以b=√a²—c²=2√2,所以短轴长2b=4√2,故A正确；

椭圆E的方程为

设lAB:x=my+1,A(x₁,y₁),B(x₂,y2),

联立

整理得(8m²+9)y²+16my—64=0,

可得

即my1y₂=4(y₁+y₂),

易知M(9,y₁),直线MB的斜率为

故直线MB的方程可表示为

当y=0时，显然y₁≠y₂,

故

所以直线MB过定点N(5,0).

当点A为椭圆的上、下顶点时，△AFN的面积取最大,故B正确；

数学试题(J)参考答案-2

四边形AOBN的面,令√m²+1=t≥1,

,当t=1,即m=0时，四边形AOBN的面积取最大值,故C错误；

由B可得AB的中点的纵坐标为,所1

所以是定值,故D正确。故选ABD.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.√3-2或一√3-2(答对其中任意一个都给3分。)

【解析】函数f(x)=2sinwx+4coswx的两个相邻零点间的距离为,则函数f(x)的周期为π,即w=2或

—2,则函数f(x)=2sin2x+4cos2x或f(x)=2sin(一2x)+4cos(—2x),则

13.√2【解析】34·9⁶=3,即a+2b=1,,当且仅当

时等号成立.

14.【解析】n=4时，系统有4个单元，每个单元2个元件，各单元之间相互独立，

设A:某单元正常工作，B:单元中有损坏元件，

,从而

四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.【解析】(1)因为数列{an}是等差数列，且a₂+a₃=0,5a₂+a₄+2=0,

所以2a₁+3d=0,6a₁+8d+2=0,…………2分

解得a₁=-3,d=2,4分

所以an=2n-5,5分

所以Sn=a₁+a₂+…+a=n²—4n.…………6分

(2)由题可知bn=2m,则Tn=241+a2+…+4n=2。,8分

又f(x)=2ᵗ+x在R上单调递增，且S,在n=2时取得最小值—4,……10分

则Tn+Sn=2S+S,在n=2时取得最小…………………13分

16.【解析】(1)设模型①和②的样本相关系数分别为r₁,r₂,

由题意可得：………3分

……6分

所以|r₁l<|r₂|,由相关系数的意义可得，模型②的拟合程度更好.………7分

(2)设甲、乙两人购买新能源车的总数量为X,则X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=(1—p)[1—(3p-1)]=(1—p²)(2—3p),8分

P(X=1)=(1—p²)(3p—1)+p²[1—(3p—1)]=3p—1-3p³+p²+2p²—3p³=3p²—6p³+3p—1,…9分

P(X=2)=p²(3p—1)=3p³—p²,10分

所以E(X)=0×(1—p²)(2-3p)+1×(3p²—6p³+3p—1)+2×(3p³—p²)=p²+3p-1,12分

数学试题(J)参考答案—3

依题意，每购买一辆新能源车，发放6000元补贴，

因此该省对甲、乙两人补贴总金额期望值为6000(p²+3p—1)=6000p²+18000p—6000,13分

因为

,…………………14分

故该省对甲、乙两人补贴总金额期望值的取值范围.……15分

17.【解析】(1)当直线l为y=x—4时，联立

消去x得y²—2py—8p=0,·1分

所以△=(-2p)²—4×1×(一8p)=4p²+32p>0,y₁+y₂=2p,y1y₂=-8p,·2分

所………………3分

化简得p²+8p—20=0,所以p=2或p=—10(舍),…………4分

所以抛物线I的标准方程为y²=4x.…分

(2)设直线AB:x=ty+b,A(x₁,y₁),B(x2,y2),

联立消去x得y²—4ty—4b=0,

所以△=(一4t)²+16b=16(t²+b)>0,y₁+y₂=4t,y1y2=-4b,6分

因为AB中点的纵坐标为1,所以y₁+y₂=2,

所以4t=2,所,所以……………………7分

…8分

因为△=16(t²+b)>0,所以

故|AF|+|BF|的取值范围.…………………10分

(3)由已知可得m,n>0,联立得P(m,2√m),Q(m,-2√m),

则|PQ|=4√m,同理可得C(n,2√n),D(n,-2√n),|CD|=4√n,11分

当|CD|=4|PQ|时，4√n=4×4√m,解得n=16m,12分

由对称性可得四边形PQDC的外接圆圆心在x轴上，故t=0,设圆心为S(s,O),

因为|SP|=|SC|,所以√(s-m)²+(0-2√m)²=√(s-n)²+(0-2√n)²,…………13分

将n=16m代入整理得6sm=51m²+12m,14分

因为m>0,所以,所以………15分

18.【解析】(1)延长CQ交DA的延长线于点S,则PS为交线分

因为Q为AB的中点，AD//CB,所以A为SD的中点，所以SA=AD,……3分

因为侧面PAD是等边三角形，所以PA=AD,

所以SA=PA,,所以

所以所求角为

(2)取AD的中点O,连接QO,由AD⊥BD,则OQLAD,

分别以OA,OQ所在直线为x轴和y轴，以过O垂直于底面ABCD的直线为

z轴建立空间直角坐标系，

A(1,0,0),B(-1,2√3,0),C(-3,2√3,0),D(-1,0,0),P(0,√3cosθ,√3sinθ),5分

数学试题(J)参考答案—4

则OA=(1,0,0),OP=(0,√3cosθ,√3sinθ),CP=(3,√3cosθ—2√3,√3sinθ),

设平面ADP的法向量为n=(x,y,z),

令y=sinθ,则z=—cosθ,n=(0,sinθ,—cosθ).……………6分

设直线PC与平面PAD所成角为α,则………………7分

令9,则

令f'(x)=0,结合t的取值范围可知t=2—√3,8分

所以函数f(t)在上单调递增，在上单调递减，

所以f(t)的最大值为f(2—√3)=4-2√3,9分

所以(sina)mx=√3-110分

(3)由题意可知EF//BD,所以点F为PB的中点，…………·11分

设PN=λPC,AŇ=xAE+yAF,

因为

AN=λAC+(1—λ)AP=(1—λ)AP+λAB+λAD,12分

…………………13分

所以,所………………14分

…………………16分

因为,所以.………………17分

19.【解析】(1)f(x)=x³—ax—b,定义域为R,

则f'(x)=3x²—a,·1分

分两种情况讨论：

①当a≤0时，有f'(x)≥0恒成立，此时f(x)的单调递增区间为R;……2分

②当a>0时，令f(x)=3x²—a=0,解得或

当或时，f'(x)=3x²-a>0,f(x)单调递增，

时，f(x)=3x²—a<0,f(x)单调递减，

故函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.……4分

(2)当a=2,b=0时，f(x)=x³—2x,

d²=x²+y²=x²+(x³—2x)²=x⁶—4x⁴+5x²,令t=x²,g(t)=t³—4t²+5t(t>0),5分

则g'(t)=3t²—8t+5=(3t—5)(t—1),

所以当0<t<1或时，g'(t)>0,当时，g'(t)<0,…………6分

所以函数g(t)的单调递增区间为(0,1),,单调递减区间为…………7分

又因为

故当d²>2时，关于t的方程g(t)=d²有唯一正根，对应两个x的值符合题意.

数学试题(J)参考答案—5

所以d的取值范围为U(√2,+∞).………………9分

(3)只需考虑b=0的情况，

由(2)可知关于t的方程g(t)=d²至多有3个正根，对应6个x的值，从而n≤6.

又由于f(x)=x³—ax的图象有唯一的对称中心(0,0),故要有唯一的正多边形，该正多边形一定也以

(0,0)为对称中心，否则就不唯一，因此排除正三角形和正五边形