计数原理与概率-学生版

教师姓名杨继兵学生姓名年级上课时间

学科课题名称

教学目标

教学重难点

计数原理与概率

一、复习思路

二、复习要点

1-两个计数原理

熟练掌握两个计数原理并能灵活应用.

训练目标

训练题型两个计数原理的应用.

解题策略理解两个计数原理的区别与联系，掌握分类与分步的原则，正确把握分类标准.

一、选择题

1.用0,1,…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243B.252C.261D.279

2.将数字1,2,3,456排成一歹U,记第i个数为…,6）,若8工3,火工5,白虫"，

则不同的排列方法有（）

A.5种B.6种C.11种D.30种

3.从1,3,579这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为小〃，共可得到lga—1g》的不同值的个

数是（）

A.9B.10C.18D.20

4.有3个男同学和3个女同学排成一排，若女同学不相邻，则不同的排法种数是（）

A.24B.36C.144D.720

5.从集合［1,2,3,…，I。）中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数

为（）

A.3B.4C.6D.8

6.有5名班委进行分工，其中A不适合做班长，B只适合做学习委员，则不同的分工方案种数为（）

A.18B.24C.60D.48

7.如图所示，在人，8间有四个焊接点123,4,若焊接点脱落导致断路，则电路不通.今发现A,B

之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有（）

A.9种B.11种C.13种D.15种

8.（2015•温州二模）将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有1个小球，且每个

盒子中的小球个数都不同，则不同的放法数为（）

A.15B.18C.19D.21

二、填空题

9.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比

赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有种.

10.某次活动中，有30人排成6行5歹U，现要从中选出3人进行礼仪表演，要求这3人中的任意2人

不同行也不同列，则不同的选法种数为（用数字作答）.

11.两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园.为安全起见，首尾一

定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6个人入园顺序的排法种数为.

12.马航MH370失联后，我国政府迅速派出9艘舰船（包括4艘军舰）在失联区域进行搜救，若将这9

艘舰船平均分成3组执行搜救任务，每组至少有1艘军舰，则不同的分组方法有种.

2-排列与组合

训练目标会应用排列、组合的计算公式解决与排列组合有关的实际问题.

训练题型（1）排列问题；（2）组合问题：（3）排列与组合综合应用问题.

将常见的排列组合问题分成不同类型，并掌握各种类型的解法，弄清问题实质，

解题策略

做到融会贯通.

一、选择题

1.（2015•杭州余杭区模拟）设集合4={0,1,2,3,4,5,6,7},如果方程户一否一九=0的，至少有一个根

即£A,就称方程为合格方程，则合格方程的个数为（）

A.13B.15

C.17D.19

2.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节

课，每节至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（）

A.36种B.30种

C.24种D.6种

3.“2012”含有数字0,1,2,且有两个数字2.则含有数字0,1,2,且有两个相同数字的四位数的个数为（）

A.18B.24

C.27D.36

4.设集合5={1,2,3,4,5,678,9},集合4={的，俏，⑹，4♦设m，s,6满足2V的且。3一。2・6,

那么满足条件的集合A的个数为（）

A.76B.78

C.83D.84

5.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有4种颜色可供使

用，则不同的染色方法总数有（）

A.48种B.72种

C.96种D.108种

6.某动点在平面直角坐标系第•象限的整点上运动（含x,y正半轴上的整点），其运动规律为（/〃，〃）一

5+1,〃+1）或（〃?，〃）一（〃?+1,〃-1）.若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有（）种

不同的运动轨迹.（）

A.15B.14C.9D.10

7.将数字1,234填入表格内，要求每行、每列的数字互不相同，如图所示，则不同的填表方式共有（）

1234

4312

2143

分清二项式系数与项的系数的区别，恰当运用赋值法求系数和.

一、选择题

1.（21一$5的展开式中44的系数为（）

A.-80B.80C.-40D.40

2.在（5+当〃的展开式中，各项系数之和为A,各项的二项式系数之和为从且A+4=72,则展开式

中常数项为（）

A.6B.9C.12D.18

3.二项式（：一上5）〃的展开式中含有『项，则〃可能的取值是（）

A.5B.6C.7D.8

4.在。一$5的展开式中，.1的系数等于一5,则该展开式各项的系数中最大值为（）

A.5B.10C.15D.20

5.若（x+），）9按x的降寤排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x+y=l,.寸<0,则x的取值范围

是()

4

A.(-8,1)B.E，+8)

C.(-8,J]D.(1,4-oo)

(“一小，x<0,

6.设函数x)则当x>0时，力/（*）］表达式的展开式中常数项为（）

.—yfx,x20,

A.-20B.20

C.-15D.15

7.若多项式W°=ao+ai(x+l)T---1)s+a9(x+r)9+«i(i(x4-1)10,则例等于()

A.45B.9

C.-45D.-9

8.设%是（1一5尸的展开式中x项的系数（〃=234,…），若儿=（〃+；）；,，则儿的最大值是（）

9-2^147-2A/6

A-^5B^5

。50蝠

二、填空题

9.在（火一1卜的二项展开式中，若中间项的系数是160,则实数〃=

10.若（1—2x严i5=ao+a]%H--F^oi^v2015,则与+枭H---F翔i的值为.

11.已知（x—/"nqo+aix+aH--FsV7的展开式中工”的系数是一35,贝Uai+z+sH----\-ai=

12.在(x+y)〃的展开式中，若第七项系数最大，则〃的值组成的集合为

4-古典概型

训1练目标；理解占典概型的概念、会求古典概型的概率.

(1)求简单占典概型的概率：(2)与其他知识交汇求占典概型的概率；(3)古典概型

训练题型

的应用.

读懂题目，抓住解决问题的实质，即：确定基本事件个数及所求事件包含基本

解题策略

事件的个数.

一、选择题

1.某位同学进行投球练习，连投了10次，恰好投进了8次，若用4表示投进球这一事件，则4的（）

44

A.概率为B.频率为与

C.频率为8D.概率接近08

2.从1,2,…，9这9个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是（）

.5「4〃11、10

A.§B.§C.五D.五

3.锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同.从

中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（）

,8R254860

八91Fl191

4.由12345组成一个无重复数字的5位数，则十位数字和千位数字均比它们各自相邻的数大的概率

为（）

I311?

A6B20C120D15

5.甲、乙两人玩猜数字游戏，先山甲心中想一个数字，记为再山乙猜甲刚4所想的数字，把乙猜

的数字记为瓦其中。，附12345,6）,若|a—b|Wl,就称甲、乙“心相近”.现任意找两人玩这个游

戏，则他们“心相近”的概率为（）

A—R2p—p—

八D-9J18M-9

6.已知先后连掷两次骰子得到的点数分别为机，〃，则向量（川，〃）与向量（一1,1）的夹角仍＞9（1。的概率是

()

1175

B.312

7.（2015・嘉兴二模）在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为（）

1211

A.57B.T5C.67D不8

8.设集合A={1,2},8={1,2,31,分别从集合A和8中取一个数。和江确定平面上的一个点P（a,b）,

记“点尸3,与落在直线x+y=〃上”为事件C〃（2W〃W5,〃£N）.若事件C〃的概率最大，则〃的所有

可能值为（）

A.3B.4

C.2和5D.3和4

二、填空题

9.（2015•浙江杭州富阳二中质检）设a£{123}，咐2,4,6}，则函数尸1。龈是减函数的概率为.

10.把4个颜色各不相同的乒乓球随机地放入编号为1,2,3,411勺四个盒子里，则恰好有一个盒子是空的

概率是.（结果用最简分数表示）

11.某同学同时投掷两颗骰子，得到点数分别为〃“，则椭圆盘+冬=1的离心率e＞坐的概率是_______

12.25人排成5X5方阵，从中任意选出3人，则任意2人既不同行也不同列的概率为.

5-概率中的中档大题

训练目标对与概率结合的解答题进行规范训练.

训练题型概率综合问题.

解题策略分清概率模型，准确套用相应的公式进行计算.

1.高三某班有两个数学课外兴趣小组，第一组有2名男生，2名女生，第二组有3名男生，2名女生,

现在班主任老师要从第一组选出2人，从第二组选出I人，请他们在班会上和全班同学分享学习心得.

⑴求选出的3人均是男生的概率：

(2)求选出的3人中有男生也有女生的概率.

2.一个袋中装有5个形状、大小完全相同的球，其中有2个红球，3个白球，

⑴从袋中随机取出两个球，求取出的两个球颜色不同的概率；

⑵从袋中随机取一个球，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，求两次取出的球中至少有一个

红球的概率.

3.一个口袋中有2个白球和〃个红球（〃22,且〃£N）每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个

球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖.

⑴试用含〃的代数式表示一次摸球中奖的概率p；

（2）若〃=3,求三次摸球恰有一次中奖的概率；

⑶记三次摸球恰有一次中奖的概率为火〃），当〃为何值时，人尸）取最大值？

4.甲、乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏I：二I袋中有质地、大小完全相同的5个球，

编号分别为12345,甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的

和为偶数算甲赢，否则算乙赢.游戏II：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个

红球，由裁判有放回地摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲羸，

摆出两球不同色算乙赢.

⑴求游戏I中甲赢的概率.

⑵求游戏I【中乙嬴的概率，并比较这两种游戏哪种游戏更公平，试说明理由.

5.有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字12345,6,规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向

上的那一个数字.已知和c•是先后抛掷该骰子得到的数字，函数火x)=f+6+c(K£R).

⑴若先抛掷骰子得到的数字是3,求再次抛掷骰子时，函数y=/(x)有零点的概率；

⑵求函数y=/(x)在区间(-3,一8)上是增函数的概率.

6-事件的独M性与条件概率

训练目标(1)会求相互独立事件发生的概率；(2)会求简单的条件概率.

训练题型(1)求相互独立事件的概率；(2)求条件概率.

(1)正确判断事件的独立性，理解并能灵活应用相互独立事件的概率性质；

解题策略

(2)准确理解P(8H)、P(AB)的含义是解决条件概率问题的关键.

一、选择题

1.口袋内装有100个大小相同的红球、白球和黑球，其中红球有45个，从口袋中摸出一个球，摸出

白球的概率是0.23,则摸出黑球的概率是()

A.0.31B.0.32C.0.33D.0.36

2.一个箱子中有9张标有1,2,3,4,5,678,9的卡片，若从中依次取两张，则在第一张是奇数的条件下第

二张也是奇数的概率是()

3.从1,2,3,…，9这9个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个

是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是

偶数.

上述事件中，是对立事件的是（）

A.①②B.②③C.③D.®

4.一个盒子里有6支好晶体管，4支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一

支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为（）

2557

A.gB.在C.jD.g

5.投掷一-枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”

为事件从则事件A,4中至少有一件发生的概率是（）

A.p7B.gC.^2D、

6.袋中装有完全相同的5个小球，其中有红色小球3个，黄色小球2个，如果不放回地依次摸出2个

小球，那么在第一次摸出红色小球的条件下，第二次摸出红色小球的概率是（

3311

A诃B5C2D4

7.一个坛子里有编号为1,2,…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球,

若从中任取两个球，在取到的球都是红球的前提下，则至少有1个球的号码是偶数的概率是（）

A5B5C22DH

8.甲袋中装有3个白球5个黑球，乙袋中装有4个白球6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙

袋中，充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为（）

人35口25「37「5

A-44B44C-44D-44

二、填空题

9.）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,

且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为.

17

10.甲、乙两人向目标各射击一次（甲、乙相互没有影响）.甲的命中率为本乙的命中率为而，已知日

标被击中，则目标被甲击中的概率为.

11.小李同学在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概

率都是小则他在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率为.（用最简分数表示）

12.计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只分“合格”与“不合格”，只有当两部

分考试都“合格”时，才颁发计算机“合格证书”.甲、乙两人在理论考试中“合格”的概率依次为专4

旨2在操作考试中“合格”的概率依次为1京*5所有考试是否合格，相互之间没有影响，则甲、乙进行

理论与操作两项考试后，恰有1人获得“合格证书”的概率为

7-独立重复试验与二项分布

训1练目标对独立重复试验及二项分布正确判断，并能求出相关概率.

训练题型利用二项分布求概率.

解题策略熟悉独立重复试验及二项分布的特征，理解并熟记二项分布的概率计算公式.

一、选择题

1.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6,乙被录取的概率为（）.7,两人是否被录取

互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为（）

A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88

2.现有4人参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每人

通过投掷一枚质地均匀的骰子决定自己参加哪个游戏，掷出点数为I或2的人去参加甲游戏，掷出点

数大于2的人去参加乙游戏，则这4人中恰有2人去参加甲游戏的概率为（）

AB

3t

c-sfD搭

3.已知随机变量j〜仇小p）,且其期望和方差分别为2.4和1.44,则参数〃，〃的值分别为（）

A.〃=4,〃=0.6B.〃=6,〃=0.4

C.〃=8,p=0.3D.〃=24,p=0.1

4.某光电公司生产的节能灯使用寿命超过30000小时的为一级品，现已知某批产品中的一级品率为

0.2,从中任意抽出5件，则5件产品中恰有2件为一级品的概率为（）

A.0.1024B.0.2048

C.0.2084D.0.3072

2

5.甲、乙两人参加某高校的自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都为?且甲、乙西人能否通

过面试相互独立，则面试结束后通过人数C的数学期望反②的值为（）

4H8

-B-c-

A.39D.9

6.设随机变量X〜8（6,；）,则尸（X=3）等于（）

R2,3

A,16此16口8

7.在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是於，则事件A在每次

O1

试验中出现的概率是（）

1252

--c-D-

A.3B.563

8.箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取一个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白

球，则停止取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为（）

3154

--3

X印X-

54B.9

D.

5445

y

-41句-

099

二,填空题

9.设随机变量X〜8（2,p）,y〜8（3,p）,若P（X21）4则P（Y21）=.

10.某人在射击比赛中，每次击中目标的概率为0.6,经过3次射击，此人至少有2次击中目标的概率

为.

11.抛一枚均匀硬币，正反两面出现的概率都是:，反复这样投掷，数列优”｝定义如下：斯=

4

1,第〃次投掷出现正面，

-1,第啾投掷出现反面,若Si+MfYN）,则事件士。*2”的概率是

12.某高校进行自主招生的面试程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分（每道题都

必须答，但相互不影响），设某学生答对每道题的概率为2东则该学生面试得分的期望值为

8-离散型随机变量及其分布

训1练目标埋解离散型随机变量的意义，会求离散型随机变量的概率分布列.

训练题型（1）求离散型随机变量的分布列；（2）利用分布列性质求参数.

（1）正确确定随机变量的取值；（2）弄清事件的概率模型，求出随机变量对应的概

解题策略

率；（3）列出分布列.

一、选择题

1.已知随机变量X的分布列为P（X=i）=%i=123,4,5）,则P（2<XW4）等于（）

14721

A-15B15C5D-5

2.某班组织的数学文化节活动中，通过抽奖产生了5名幸运之星，这5名幸运之星可获得A、8两种

奖品中的一种.规定：每个人通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己最终获得哪一种奖品，抛掷点数

小于3的获得4奖品，抛掷点数不小于3的获得8奖品，设K丫分别为获得A,8两种奖品的人数,

记。=|X—几则随机变量j的数学期望是（）

,18591「41「20

BD-8TCVDV

3.已知随机抛掷一枚质地均匀的骰子，具中该骰子杓3个面上的标号为0』个面上的标号为1,2个面

上的标号为2,用j表示随机抛掷一次骰子后所得的标号.若产喈一2,£(〃)=3,则〃?等于()

3

A.-6B，2C.6D.3

4.下列表达式中是离散型随机变量X的分布列的是()

A.P(X=i)=O.Li=0,1,2,3,4B.P(X=i)=%^,i=1,2,345

C.P(X=i)=言，i=l,2,345D.P(X=i)=0.2,i=1,2,34,5

5.某次国际象棋比赛规定，胜一局得2分，平一局得1分，负一局得。分，某参赛队员比赛一局胜的

概率为。，平的概率为从负的概率为c3,Ace(o.l)),已知该队员比赛一局得分的数学期望为1,

则ab的最大值为()

A-3B-2C8D6

6.一个人将编号为123,4的四个小球随机放入编号为123,4的四个盒子中，每个盒子放一个小球，

球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了，设放对的个数为E，则4的数学期望为()

12

A，2B.QC.1D.2

7.已知随机变量X的分布列为P(X=Q=*,%=1,2,…，则P(2<XW4)等于()

A—D—-pv_5_

°16'-lbu16

8.在某公司举办的某次春游活动中，员工之间举行了一次猜谜游戏，已知共有A,8两类谜语供员工

竞猜，其中A类谜语共8个，猜对1个可得2元奖金，6类谜语共2个，猜对1个可得5元奖金，猜

不对均无奖金.游戏规定：每次竞猜时，先从这10个谜语中随机选出3个，再进行猜谜，所得奖金为

3次猜谜的奖金之和.已知某员工能够完全猜对A类谜语，而猜对B类谜语的概率为最则该员工竞猜

一次获得的奖金数额的数学期望是()

,31「34-37n63

A-TBTCTD.而

二、填空题

9.已知随机变量X的分布列为户(X=〃)=示尚不(〃=1,2,3,4),其中。为常数，则P(；vX<|)=.

10.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，现从这1D名同学中随机选取3名同学，到希望小

学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)，则选出的3名同学中女同学的人数X的分布列为

II.若一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件然后放回，则直至取

到正品时所需次数X的分布列为P(X=k)=.

12.离散型随机变量X的分布列如下表，且E（X）=2,则。（2X—3）=.

X02a

11

P6P3

9-随机变量的均值及方差的综合运用

训练目标熟练掌握随机变量的均值与方差的求法.

训练题型（1）求随机变量的均值；（2）求随机变量