三角形中的重要模型-弦图模型、勾股树模型

专题09.三角形中的重要模型.弦图模型、勾股树模型

赵爽弦图分为内弦图与外弦图，是中国古代数学家赵爽发现，既可以证明勾股定理，也可以以此命题，

相关的题H有一定的难度，但解题方法也常常是不唯一的。弦图之美，美在简约，然不失深厚，经典而久

远，被誉为“中国数学界的图腾”。弦图蕴含的割补思想，数形结合思想、图形变换思想更是课堂教学中数学

思想渗透的绝佳载体。一个弦图集合了初中平面几何线与形，位置与数量，方法与思想，小身板，大能量，

它就是数学教育里的不老神话。广受数学教师和数学爱好者研究，近年来也成为了各地中考的热点问题。

模型1、弦图模型

(1)内弦图模型：如图1,在正方形ABCD中，AE_LB尸于点E,BFLCG于点、F,CG工DH于点G,DH1AE

于点“，则有结论：2ABEm4BCFm△CDG/4DAH；S正方形A8cO=4SAE^+S正方形

(2)外弦图模型：如图2,在正方形ABC。中，E,F,G,”分别是正方形A8C。各边上的点，且

四边形EFGH是正方形，则有结论：HE^△BEF^△CFG经△DGH；S正方即A〃C/)=4SAEAB+S正方形EFGH。

(3)内外组合型弦图模型：如图3,2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.

例1.(2023秋•湖北•九年级校联考开学考试)如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标其原型

是我国占代数学家赵爽的《勾股弦图》，它是由四个全等的直角三角形拼接而成如.如果大正方形的面积是

16,直角三角形的直角边长分别为〃，b,且"+10,那么图中小正方形的面积是()

【答案】C

【分析】根据大正方形的面积即可求得T，利用勾股定理可以得到〃2+〃2=。2,然后根据

(a+h)'=a'+2ab+b'=/+2"求得即可求得的值，结合(>-a)~=/-2ab+h'=c~-2ab即可求解.

【详解】解:团大正方形的面积是16,0?=16,而+从=。2=16,

回＜?+从="+10,回而=6,13小正方形的边长为:b-a,

团（〃一。）——cr-2ab+b2=c2-2ab=16-2x6=4.故选C

【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，勾股定理应用，熟记完全平方公式的灵活应用是解题关键.

例2.（2022•安徽安庆•八年级期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图〃，后人称其为“赵

爽弦图”，如图，大正方形A3CO由四个全等的直角三角形和•个小正方形组成，若/ADE二/AED,

40=4不，则上4g的面积为（）

D

A.24B.6C.26D.2M

【答案】A

【分析】由已知得出4O=AE=AB,进而利用图形面积的割补关系解得即可.

【详解】解：如图:

^DE=^AEDt^AD=AE=AB,00AE尸=0ABF,

⑦EF=BF=3BE,^GE=AH,团团^MGE=^MHA,

（ASA），^SAHAM=SAGEM,^SAADE=S^ADH+S^DGE,

财。=46，DH=2AH,AD2=DH2+AH2,财"=4,DH=8,WG=GE=4,

5AADE=-x4x8+ix4x4=24.故选：A.

22

【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.

例3.（2023•山西八年级期末）如图，图1是我国古代著名的“赵爽弦图〃的示意图，它是由四人全等的直角

三角形围成的，若AC=6,8C=5,将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2

所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（)

D.76

【答案】D

【分析】由题意团ACB为直角，AD=6,利用勾股定理求得BD的长，进一步求得风车的外围周长.

【详解】解：依题意（3ACB为直角，AD=6,0CD=6+6=12,

由勾股定理得,BD2=BC2+CD2,0BD2=122+52=169,所以BD=13,

所以“数学风车”的周长是：（13+6）«4=/6.故选：D.

【点睛】本题是勾股定理在实际情况中应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.在直角三角形中，如

果两条直角边分别为a和b,斜选为c,那么a2+b2=c2.

例4.（2022•杭州九年级月考）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图〃，后人称其为"赵

爽弦图”.如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形A8C。，正方形

EFGH,正方形MNK7"的面积分别为5i，52,S3.若SI+52+S3=12,则下列关于51、S2、S3的说法正确的是（）

C.S3=6D.SI+S3=8

【答案】①②③

【分析】设“赵爽弦图"中，直角三角形的较短直角边为。，较长直角边为〃，斜边为C，则小正方形的边长

为b-ci,正方形ABC。的边长为/?,正方形EFGH的边长为正方形MNPQ的边长为2c,由正方形面积

公式，勾股定理逐项进行判断即可.

【详解】设“赵爽弦图"中，直角三角形的较短直角边为叫较长直角边为人斜边为c,则小正方形的边长

为"a,正方形ABC。的边长为6,正方形EFG”的边长为“，正方形MN尸Q的边长为2c,

222

回Sj=//，S2=a,S四边形MNPQ=(2C『=4/.05)+52=a+/?=r.

0S|4-S2=-S四边形MNPQ•故①正确；

^AF=b—a,EAG=FG-AF=a—(b—a)=2a—b.

^DG=AD-AG=b-(2a-b)=2(b-a).^DG=2AF.故②正确；

团N£M〃=30°,NM”E=90。，田即〃=J5a.E^=3a2.0^=3^.故③正确；

13点A是线段G尸的中点,SAG=AF.BP2a-b=b-a.回3=是.

回462=9/.045(=952.故④不正确；故答案是①②③.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，正方形的面积，关键是设“赵爽弦图"中，直角三角形的较短直角边为。，

较长直角边为8,斜边为c,用凡仇c表示出相关线段的长度，从而解决问题.

模型2.勾股树模型

▼作等腰直作正方形(毕达

作等边三角形作半阀角三角形哥拉斯树的起

始图形)

结论:53包=包

例1.(2022•福建•八年级期末)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都

是直角三角形，如果正方形A、B、C、。的边长分别为3,4,1,2.则最大的正方形E的面积是

B

【答案】30

【分析】根据勾股定理可得：正方形户的面积=正方形A的面积+正方形8的面积，正方形G的面积=正方

形C的面积+正方形。的面积，从而得到正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积，即可求解.

【详解】解：如图，

由勾股定理得，正方形F的面枳=正方形A的面积+正方形B的面积=3?+42=25,

同理，正方形G的面积=正方形C的面枳+正方形。的面枳=2：+/=5,

•••E方形E的面积=正方形尸的面积+正方形G的面积=3（）.故答案为：30

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边

的平方是解题的关键.

例2.（2022•浙江•乐清市八年级期中）如图，在四边形/WC。中，N8=ZD=90。，分别以4&BC,CD,

D4为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S尹，S乙,S两，S/来表示它们的面积，那么下列结论正确

的是（）

A.S甲=S丁B.S乙=S丙C.S甲一S乙=5丁-5丙D.S甲+S乙=5丙+5丁

【答案】D

【分析】连接AC,根据勾股定理可得甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，依此即可求解.

【详解】解：连接AC,

2

由勾股定理得A"+BGMC?,A[y+ciy=AC,团甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明4个正方形的面积之间的美系.

例3.（2022•河南八年级期末）如图，正方形48CO的边长为2,其面积标记为S-以CO为斜边作等腰直

角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为邑，…按照此规律继续下去，

则$9的值为（）

【答案】A

【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出与+邑=号，写出部分S1T的值，根据数的变化找出变化规律

、〃-3

MS=\-w（n>3）,依此规律即可得出结论.

n2

【详解】解：在图中标上字母E,如图所示.

•••正方形A3CD的边K为2,△CDK为等腰直角三角形,

DE2+CE2=CD2«DE=CE,：,S】+S1=S、

2

观察，发现规律：=2=4,s2=1s,=2,

、〃一3广3小6

1,当〃=9时，Sg=(g|=—J,故选：A.

2J

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中数的变化规律，解题关键是找出规律

\n-3

“%",解决该题目时，写出部分S“的值，根据数值的变化找出变化规律是关键.

例4.（2023春•山东荷泽•八年级校考阶段练习）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该

直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一

棵树而得名.假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图,

如果第一个正方形面积为1,则第2023代勾股树中所有正方形的面积为

笫一代勾股树第二代勾股树第三代勾股树

【答案】2024

【分析】根据勾股定理可得第一代勾股树中所有正方形的面积为2,再一次求出第二代、第三代勾股树中所

有三角形的面积，总结出一般规律，即可进行解答.

【详解】解：设第一代勾股树中间三角形的两直角边长为。和〃，斜边长为

翻勾股定理可得:a2+h2=c\

13c2=I,团第一代勾股树中所有正方形的面积为=/+6+/=+/=2:

同理可得：第二代勾股树中所有正方形的面积为=24+26+。2=3。2=3;

第三代勾股树中所有正方形的面积为=402=4；

第八代勾股树中所有正方形的面积为二（〃+1）。2=77+1：

团第2023代勾股树中所有正方形的面积为2024.故答案为：2024.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是仔细观察图形，根据勾股定理总结出变化的一般规律.

例5.（2023•浙江八年级期中）如图，以RtaABC的三边为直径，分别向外作半圆，构成的两个月牙形面积

分别为，、邑，RtZ\A8c的面积邑.若S；=4,S2=8,则S,的值为.

【答案】12

【分析】根据勾股定理和圆的面积公式即可求得S\的值.

【详解】解：设RSABC的三边分别为a、b、c,则-

222

观察图形可得：5乃+鼻万+S3=S]+S?+—7T•（-C），即—7F-6；"+-7T-b+S3==S\+S2+~-C,

22222

*/a+b=c»*,•—TV,o+—•h~=—7C-c,S3=+S2=4+8=12»故答案为：12.

888

【点睛】本题考查了勾股定理、圆的面积，熟记圆的面积公式，利用等面积法得出等量关系是解答的关键.

例6.（2022春・浙江温州•九年级校考开学考试）如图1,是数学家毕达哥拉斯根据勾股定理所画的“勾股树”.如

图2,在四明8C中，ZBAC=90,以其三边为边分别向外作正方形，延长EC,DB分别交GF,A”于点N,

S9

K,连接KN交4G于点M,若肃=7,则tan4C8为（）

J,IO

D

AB

图1图2

5

A.；B・|D.—

uI12

【答案】B

【分析】先证明.A8Cg/WC,设AC=7〃,A8=76,则tanZACB=',根据,4KMs,GNM,面积比等于

相似比的平方可得GN:4K=3:4.根据AB=ACAK,表示出4长=子，又GN=7a-7b,根据

券=^=轲得3（4+平、-…，解一元二次方程即可求得5的值，即ta必。的值.

GNGM3\a）\aJ

【详解】解：团四边形A8。，ACR7,4V〃是正方形

/.ZJ?GV=ZACF=90°,/BAC=NNFC=W,AC=CF

ZACB=/FCNAB8FNCNF=AB

设AC=7a,A8=7Z?,则tanZACB=g,;.GN=GF-NF=7a-7b

9GMj.AKAM4

.AC//GF，AKMs式｝NM

sz167A7I'GN~GM~3

.NKBC=ZBAC=90°/.ZACB-ZABC=ZABC+ZABK

：.ZACB=ZABKtanZ.ACB=-tanZ.ABK=

ACAB

,.2.GNla-7b3

/.AK=-=^-=—,~AK=7Z>2=4^p4a2-4ab=3b2

AClaa—

b2b2

,a^0/.4-4b-=3|-|即3+42]-4=0解得2=2或2=一2（舍）即tanZAC8=|'故选B

㈤33

【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，解一元二次方程，正切，掌握相似三角形

的性质与判定是解题的关键.

例7.（2023・贵州遵义•统考二模）如图1,毕达哥拉斯树，也叫“勾股树”，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所

画出来的一个可以无限重系的树形图形.在图2中，NAC8=9（）。，分别以RtABC的三条边为边向外作正

方形，连接如，DG、BE,交4c于点Q,若N8AC=30。，BC=2,则四边形EQGD的面积是.

【答案】5G+3/3+56

【分析】先利川含30度角的立角三角形的性质求得AC,再证明求得CQ,再利用梯形和一

角形的面积公式求解即可.

【详解】解：在mAC8中，0ZACB=90°,NB4c=30。，BC=2,

国AB=2BC=4,WOAC=^AB--BC2=25/3»

回四边形AC£>E是正方形，^AC//DE,CD=DE=AC=2后,

中,.BCQ^BDE,团第=盖，即笠=17力，解得CQ=3—4，

DEBD2>/32+2y3

团四边形EQGD的面积为S梯吻QEQ+SXG=!（3-6+28）x2x/5+；x2也x2=5G+3.

【点睛】本题考查正方形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、

梯形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键.

例8.（2023秋•浙江•八年级专题练习）【背景阅读】勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家

称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五〃的记载，我国汉代数学家

赵爽为了验证勾股定理，创制了一幅“弦图"（如图1）,后人称之为“赵爽弦图〃，流传至今.

【实践操作】（1）请叙述勾股定理；（2）验证勾股定理，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常

见的验证方法中任选一种来验证该定理：（以下图形均满足验证勾股定理所需的条件）

图5图6图7

【探索发现】（3）如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角

形，这三个图形中面积关系满足$+$2=Sj的有一个：

（4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分

别为5、8，直角三角形面积为S3,请判断反、S2、S3的关系并说明理由.

【答案】（1）在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方；（2）证明

见解析；（3）3：（4）Sl+S2=S3

【分析】（1）根据勾股定理的定义描述，即可得到答案；

（2）结合图2,根据大正方形面积等于四个三角形面积和小正方形面积之和的关系计算，即可得到答案；

（3）设面积为加的正方形边长为a,面积为邑的正方形边长为b,面枳为S3的正方形边长为c；根据题意

得：/+/=c，2,再分别计算正方形、半圆形和等边三角形的面积，即可完成求解；

（4）结合题意，首先分别以a为直径的半圆面积、以b为直径的半圆面积、非阴影部分去除三角形后的面

积，再根据阴影部分面积（*+邑）=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积-非阴影部分去除三角

形后的面积，结合勾股定理，即可得到答案.

【详解】(1)勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方;

(2)如图2

图2

大正方形面积为：(〃+〃)？小正方形面积为：c2四个直角三角形面积之和为：4x1^

(3大正方形面积=小正方形面积十四个直角三角形面积之和

22222

^(a+b)=c+4x^ab^a+b=cf满足直角三角形勾股定理;

(3)设面积为加的正方形边长为a,面积为52的正方形边长为b,面积为其的正方形边长为c；

根据题意得：a2+b2=c2

2l

如图4：S[=/,S2=b,=c05,+5,=53；

如图5：=-7ra\粒=:4/,S.=^c2

12121g-88

如图6：叫管亭邛a”邛…邛/哈2吟2邛(》)咯邓

回三个图形中面积关系满足吊+§2=区的有3个故答案为：3；

以为.直径的半以「面积为：；以b为直径的半圆面积为：-x^(-1.2

(4)ax4=-7Tb'

(')="兀a，2\1)8

非阴影部分去除三角形后的面积为:

团阴影部分面积(51+S2)=以a为直径的半圆面积+以b为直径的半圆面积•非阴影部分去除三角形后的面积

[7]5+5-5=-^(a2+/r-c2)结合(1)的结论：a2=c2a-^(«2+Z>2-^)=005,+5=S.

1238823

【点睛】本题考查了勾股定理、正方形、等边三角形、圆面积计算的知识：解题的关键是热练掌握勾股定

理的性质，从而完成求解.

课后专项训练

（2022•云南九年级一模）如图是按照一定规律"生长”的“勾股树

经观察可以发现：图（1）中共有3个正方形，图（2）在图（1）的基础上增加了4个正方形，图（3）在

图（2）的基础上增加了8个正方形，......,照此规律“生长”下去，图（6）应在图（5）的基础上增加的正方

形的个数是（）

D.128

【答案】C

【分析】通过观察已知图形可以发现：图（2）比图（1）多出4个正方形，图（3）比图（2）多出8个正

方形，图（4）比图（3）多出16个正方形，......,以此类推可得图形的变换规律.

【详解】解，由题可得，图（2）比图（1）多出4个正方形，2x2=2'4

图（3）比图（2）多出8个正方形，4x2=23=8;

图（4）比图（3）多出16个正方形，8X2=24=16;

图（5）比图（4）多出32个正方形，16x2=2$=32;

照此规律，图（"）比图（"1）多出正方形的个数为：T

故图（6）比图（5）多出正方形的个数为：26=64：故答案为：C.

【点睛】此题考查了图形的变化类问题，主要考核学生的观察能力和空间想象能力.首先应找出图形哪些

部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规

律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题.

2.（2022•浙江初三期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如

图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大

正方形内.若图2中阴影部分的面积为2,且A3+AC=8,则BC的长为（）

A

图1图2

r-2513

A.4j2B.6C.—D.—

42

【答案】B

【分析[设AC=a,AB=b,BC=c根据勾股定理得到c2=a?+b2,根据正方形的面积公式、长方形的面积公

式计算即可求解.

【解析】如图2:

设AC=a,AB=b,BC=c,则a+b=8,c2=a2+b2,HG=c-b,DG=c-a,

则阴影部分的面积S=HG・DG=(c-b)(c-a)=2,

22

*.*(a+b)2=a2+b2+2ab=64,/.ab=32-—，.*.S=c2-c(a+b)+ab=c2-8c+32--=2,

22

解得ci=6,C2=10(舍去).故选：B.

【点睛】本题考查勾股定理，如具直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.

3.(2023•浙江•杭州八年级阶段练习)如图，中，眦4C=90。,分别以0A8C的三边为边作正方形/WQE,

正方形BCFG,正方形AC”/,4/交C厂于点J.三个正方形没有重叠的部分为阴影部分，设四边形

・

的面积为S1,四边形C”〃的面积为S2,若S]S2=12,SA4BC=4,则正方形BCFG的面积为()

A.16B.18C.20D.22

【答案】C

【分析】设8C=a,AC=b,AB=c,由正方形面积和三角形面积得S兀云BC尸G-S正方形4C”/=16,即排

-炉=16,再由勾股定理得*-〃=〃，则/=16,求出c=4,求出人=2,则*=/+/=20,即可求解.

【详解】解：设8C=〃，AC=b,AI3=c,6S/=S正方形BCFG-S^ABC-S屈CJ,S?=S正方形ACHI-S&ACJ,

05/-S2=S正方形BCFG-S^\BC-S^ACJ-S正方形ACHI+S.ACJ=S正力影BCFG-4-5正方形ACHl=g

BS壬方彬BCFG-S正方形ACHl=\6,BPa2-b2=16,

困?回48c中，I3BAC=9O°,0a2-b2=c2,0c2=16,0c=4（负值已舍去），

05z/^C=ybc=2h=A,13Z?=2,0a2=/?2+c2=16+22=2O,

团正方形BCFG的面枳为20,故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理，设参数表示三角形的边长，根据已知条件求得/-〃=i6是解题的关键.

4.（2023春•湖北黄冈•八年级统考期中）“赵爽弦图〃巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学

的骄傲，设直角三角形较长直角边长为心较短直角边长为人若曲=8,大正方形的面积为25,则E尸的

C.3网D.3

【答案】C

【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答.

【详解】解：团三角形较长更角边长为〃，较短直角边长为b,团四个三角形的面积为2而,

肌力=8,大正方形的面积为25,回小正方形的面积为25-2"=25-16=9,

团小正方形的边长为3,0EF=V3:+32=>/18=372»故选C.

【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的

面积减去四个三角形的面积是解题的关键.

5.12022•四川成都•模拟预测)勾股定理是人类最伟大的科学发现之•,在我国古算书《周髀算经》中早有

记载.如图1,以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再将较小的两个正方形分别绕直角三角形斜边

上的两顶点旋转得到图2.则图2中阴影部分面积等于()

A.直角三角形的面积B.最大正方形的面积

C.最大正方形与直角三角形的面积和D.较小两个正方形重叠部分的面积

【答案】D

【分析】根据勾股定理得到右2=〃+〃,再根据正方形的面积公式、矩形面积公式计算即可.

【详解】解：如图，设直角三角形的较短直角边为“，较长直角边为从斜边为c,

由勾股定理可得，C2=1+/『，阴影部分面积=C2-h2-a(c-b)=a2-a(c-b)=a(a+b-c),

较小两个正方形重叠部分的面积=a(a+〃-c),

回阴影部分面积=较小两个正方形重叠部分的面积.故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的知识，解题关键是利用数形结合的数学思想分析问题.

6.（2023春•广东潮州•九年级校考期末）我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图〃证明了勾股定理，标志着中国

古代的数学成就.如图所示的“弦图"，是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方

形.直角三角形的斜边长为13,一条直角边长为12,则小正方形A8C。的面积的大小为（）

C.49D.25

【答案】C

【分析】首先利用勾股定理求得另一直角边的长度，然后结合图形求得小正方形的边长，易得小正方形的

面积.

【详解】解：如图,

根据勾股定理，19AF=yjEF2-AE2=Vl32-122=5-所以=-5=7.

所以正方形A8C。的面积为：7x7=49.故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的另一直角边的长度.

7.（2023春•湖北武汉•八年级统考期末）大约公元222年我国汉代数学家赵爽为《周髀算经》一书作序时介

绍了“勾股圆方图”，亦称〃赵爽弦图"，如图，四个全等的直角三角形拼成大正方形48CO,中空的部分是小

正方形EFGH,连接EG,8。相交于点O,BO与HC相交于点尸，若GO=GP,则直角三角形的边CG与BG

之比是（）

C

A.；B.—C.x/2-1D.V3-5/2

【答案】C

【分析】先证明△%）。❷△G8。，得出。£=0G,再根据已知条件GO=GP,结合等腰三角形的性质、正

方形的性质求得NC8G=22.5o=/尸8G,进而证明BPGmCPG,得出PG=CG=OG,设

PG=CG=OG=BF=1,得到8G=8F+/G=&+1，进而求解.

【详解】解：团四边形K"G〃、是正方形，

@EH=FG,EH〃FG/EGP=45°,ZBGP=90°,NCBD=45。,

0ZDEO=/BGO,/EDO=ZGBO,

团四个全等的直角三角形拼成大正方形A8CO,

田DE=BG,BF=CG,由4EDO冬/XGBO,⑦OE=OG,

^GO=GP,NEGP=45。,0ZGOP=ZOPG=1(180°-45°)=67.5°,

0ZPBG=90°-67.5°=22.5°,0Z.CBG=22.5°=/PBG,

E/PGB=/CGB=90°,BG=BG,机BPG^CPG.^PG=CG=OG,

设PG=CG=OG=BF=l,则EG=2OG=2,0FG=^^=V2,

2

_CG_I=V2-1；故选:

团8G=3k+/G=0+1，?BG=V2+1C.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关

图形的性质定理、证明三角形全等是解题的关键.

8.（2023春・江苏泰州•七年级统考期末）大约在公元222年，赵爽为《周概算经》一书作序时，介绍了“勾

股圆方图"，亦称"赵爽弦图"（如图1）.某数学兴趣小组类比“赵爽弦图〃构造出图2：.S8C为等边三角形，

人。、BE、C尸围成的DEF也是等边三角形.已知点。、E、尸分别是战、CF、人。的中点，若4ABe

的面积为14,贝IJ./）所的面积是（）

图1图2

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】连接M,由题意知SAM=S”C=SSEC，再由点。、E、尸分别是朋、CF、4。的中点，可得

S驳F=SDEF，SBDF=SABF»即可得出5八*=75即•即可求解.

【详解】解：连接M，如图所示:

‘点O、E、F分别是BE、CF、A。的中点，・'•S80F=SDEF,SBDF=SABF,

ABC为等边三角形，尸也是等边三角形，

二.AB=BC=AC,DE=EF=DF,ZABC=ZACB=Z.BAC=60°,/FED=ZFDE=4EFD=60°,

ZABD+/CBD=60°,Z.FDE是△ABD的一个外角，:.^BAD+ZABD=60°,

"ED是ABCE的一个外角，：./CBE+/BCE=60。，：./BAD=/CBE,ZABD=/BCE,

/BAD=NCBE

在△A3。和AACE中，\AB=BC,/.AABZ^Z\ACE(ASA),

/ABD=/BCE

同理，可得"血运/XCAr(ASA),...S.=S*C=S8EC，

=

•1•$ABD=S.&FC~SBEC~DEF»'$ABCSABD+SBCE+SAFC-SEDF=ISDEF,

丁5A8c=14,.'.ISDEF=SABC=14,解得&““.=2,故选：B.

【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形

外角性质，正确作出辅助线，得出SA8C=7S°b是解题的关键.

9.（2023•河北石家庄•校考二模）如图1,毕达哥拉斯树，也叫“勾股树〃，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所

画出来的一个可以无限重复的树形图形.在图2中，Z4CB=90°,分别以RlZ^ABC的三条边为边向外作正

方形，连接8E,DG,BE交AC于点、Q.若N8AC=30。，BC=叵,则四边形EQG。的面积是（）

【答案】A

【分析】先利用含30度角的直角三角形的性质求得AC,再证明，求得CQ,再利用梯形和三

角形的面积公式求解即可.

【详解】解：在Rt^AC8中，0Z4CT=9O°,N4AC=30°,BC=0，

团八8=24。=2及，则4C=JC*-8C2=瓜'

团四边形AS石是正方形，^AC//DE,CD=DE=AC=衣，

ITCQ.8解得=还二

"BCQ^ABDE,团口=—,CQ2®

DEBD

回四边形EQGD的面积为：S梯跣咧+S0cG=g地芳+Kx振+；x指xJ5=西口.

故选：A.

【点睛】本题主要考查正方形的性质、含30度角的直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定

理、梯形和三角形的面积公式等知识，熟练掌握正方形的性质和相似三角形的性质是解答的关键.

10.（2023•江苏扬州•统考中考真题）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图“，后人称

之为"赵爽弦图"，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如图，直角三角形的直角边长为a、

b,斜边长为c,若匕一。=4,c=20,则每个直角三角形的面积为.

【分析】由题意知，/+/=/,由人-。=4,c=20,可得/+（々+4）2=2（）2,计算求出满足要求的〃，然

后求人根据每个直角三角形的面积为;而，计算求解即可.

【详解】解：由题意知，a2+b2=c2,

\y.b—ci=4,c=20,+（〃+4y=20~,解得。=12,a=—16（舍去），@Z?=16»

团每个直角三角形的面积为:必二96,故答案为：96.

【点睛】本题考查了勾股定理.解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用.

11.（2022秋•四川成都•八年级校考期中）“勾股图〃有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊

发行了以"勾股图"为背景的邮票（如图1）,欧儿里得在《儿何原本》中曾对■该图做了深入研究.如图2,在

/WC中，Z4CB=90°,分别以.ABC的三条边为边向外作正方形，连接EB,CM,OG,CM分双与AB,BE相

DG

交于点P，。.若NA8E=30°,则R的值为.

【答案】6-1/-1+G

【分析】先用已知条件利用SAS的三角形全等的判定定理证出.£4段CAM,之后利用全等三角形的性质

定理分别可得NEBA=NCM4=30。，ZBPQ=ZAPM=,PQ=gpB,然后设AP=1,继而可分别求出

PM=2,PQ=弓」，所以QM=QP+PM=今工；证明RtAC8丝RtDCG（HL），从而得。G=AB=石，

DG

然后代入所求数据即可得的的值.

AE=AC

【详解】解：.•在一E43和..CAM中，，/E4B=NC4M,

AB=AM

.•.&EA哙CAM(SAS),,NEBA=NCMA=30°,

匕BPQ=NAPM=60°,•♦4BQP=90°,,PQ=；PB,

设AP=1，则AM=b，PM=2,PB=y[3-\,尸。二箕二,

•••QM=QP+PM=^^1+2=^^；

CG=BC

在RlAC8和RlDCG+Rt..4CB^Rt/X?G(HL),

AC=CD

DG-二Q]

:.DG=AB=6：.GM一国3.故答案为：x/3-1.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形全等的判定定理和性质定理，含30度角直角三角形的性质，解

题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

12.（2022春•安徽合肥•八年级合肥市第四十二中学校考期中）如图①，在即△ACB中（MCB=90。，分别以

AC.BC、AB为边，向形外作等边三角形，所得的等边三角形的面积分别为S/、S2、S3,请解答以下问题:

图①图②

（1）S/、S2、S3满足的数量关系是.

（2）现将△/1〃尸向上翻折，如图②，若阴影部分的5•6、5片5、S/4,则“八围=

【答案】S/+S2=S37

【分析】（1）利用等边三角形的面积公式以及勾股定理即可证明.

（2）设AACB面积为S,图②中两个白色图形的面积分别为a,b,根据（1）得到S»a+Sz+历Sg+a+加S,

整理之后即可代值求解.

【详解】解：（1）在用AC8中，aACB=90°,贝ljA82=AG+8C2,

如图，在等边△ACE中，AC边上的高

2

...5.=-AC^EH=-AC^—AC=—AC2

12224

E

同理：S2=BBO,5.?=—RS/+S2=S3；

44

（2）设AACB面积为S,图②中两个白色图形的面积分别为ab；

团S/+S2=S3,国S/a+S/+力=Sf^-a+b+S,团SS/=S咕S,05=6+5-4=7.

故答案为：（1）S/+S2=S3；（2）7.

【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，等边三角形面积计算.熟练应用勾股定理、正确计算

等边三角形面积以及会用割补法求三角形面积是解题的关键.

13.（2023•湖北孝感•统考三模）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以直角三角形的两直

角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名.假设

如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第五代勾股树

中正方形的个数为

笫一代勾股利第二代勾股M第三代勾股树

【答案】63

【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数.

【详解】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），

第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+于+23=15（个），

由此推出第五代勾股树中正方形有1+2+22+23+2,+25=63（个）故答案为：63.

【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键.

14.（2022•山东临沂•统考二模）中国古代的数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独

特的贡献和地位尤其是三国时期的数学家赵爽，不仅最早对勾股定理进行了证明，而且创制了“勾股圆方图

开创了“以形证数”的思想方法.在图中，小正方形ABC。的面积为1,如果把它的各边分别延长一倍得到正

方形A4/。。/（如图1）,则正方形的面积为：再把正方形的各边分别延长一倍得到正方

形A282c2。2（如图2）,如此进行下去，得到的正方形AnBnCnDn的面积为（用含〃的式子表示，〃

为正整数）.

【答案】55”

【分析】利用正方形48CD的面积为1,求出其边长为1,可求出正方形A/BQQ的边长为：#73=石，

2

面积为：5=（石『=5,再求出正方形4&。2。2的边长为：，（税）2+（26）2=5,面枳为：52=5,正方形

2

人/3。力3的边长为：J⑸2=5百,面积为：53=（5X/5）=I25=5\正方形的边长为：

小国+（10国=25,面积为：34=232=3'依次口」推出：止方形人〃即〃的面积为：V.

【详解】解：回正方形ABC。的面积为1,0其边长为1,

回把它的各边分别延长一倍得到正方形4出/。。八团正方形4小4/。的边长为：巧了=石，

团正方形A//C/D的面积：5,=（75）2=5；

因正方形AIBICIDI的各边分别延长一倍得到正方形A2B2C2D2,

2

回正方形A282c2。2的边长为：