解析几何专题教案

解析几何专题教案

主讲人：刘景琨

17.1、圆锥曲线中的精要结论：

Y22

1.焦半径：⑴椭圆/十V3=1（4〉"0）：|P£|=a+e*尸闾=〃—小；（左

“+”右“-”）；

椭圆土^斗27=1(〃>/?>0):

b'a~

|PFi卜e(xQ+—)=d+ex^x0<0),|PF2|=e(--x0)=exQ-a(x0>0)

⑵双曲线£—£=]：

aI）-

“长加短减”原则：

pWFj=ex+a|M尸J=-ex-a

0构成满足/J-|M%|=Q

2a7

\MF2\=exQ-apV/T，1=-ex0+a

（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

22

双曲线x二-y二=1：

/?-a"

r

MFK=ey0-a\MF}\=-ey^+a

MF2=eyQ+a'2\=-ey(；-a

【注】：（1）焦点弦长：i.椭圆:\AB|=2a±e（x^x2）：

ii.抛物线：|A.=X]+—+〃=2f:

2b2

（2）通径（最短弦）：i.椭圆、双曲线：——；

a

ii.抛物线：2p.

3.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：〃21+肛，2=1（机,〃同时大于0时

表示椭圆，"7〃<0时表示双曲线）；

4.椭圆中的结论：

（1）内接矩形最大面积：2ab；

⑵忆。为椭圆上任意两点，且OPJLOQ,则一!f+—!>^='？+二；

|0P|2|0Q『//

(3)椭圆焦点三角形：

2

i.S.=btan—,(。1=41FPF,)；

ASP4FF2

IPMIci

ii.点M是△/¥；居内心，P"交片居于点N,则——-=-；

IMN|c

(4)当点、P与椭圆短轴顶点重合时ZF,PF2最大；

(5)共离心率的椭圆系的方程：椭圆=+4=1(。>〃”0)的离心率是

cJh2

22

e=£(c=Ja2_/),方程「+2T=«/是大于0的参数，”/>o)的离心率也是e=£,

aa-h-a

我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.

5.双曲线中的结论：

(1)双曲线巨_fi=l(。>0⑦>0)的渐近线：匚一f=o；

/b2a2b2

(2)共渐进线),=±2五的双曲线标准方程为£_亡=以4为参数，/W0)；

aa2b2

(3)双曲线焦点三角形：

.0

i.Si、arPF「F2=b'cot—2,(6=NF\1PF4、)；

X2y2

ii.P是双曲线彳一J"=l(a>0,4>0)的左(右)支上一点，百、内分别为左、

ab“

右焦点，则用的内切圆的圆心横坐标为—4,(。)；

(4)等轴双曲线：双曲线1_),2=±〃2称为等轴双曲线，其渐近线方程为),=±x(渐

近线互相垂直)，离心率6=后.

⑸共渐近线的双曲线系方程：W-匚-0)的渐近线方程为三一==0如果

『b2a2b2

双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为±-4=〃/1=0).

aba2b2

(6)共挽双曲线：以己知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线

的共规双曲线.£-工=4与£-汇=-2互为共轨双曲线，它们具有共同的渐近线：

/b2a1b2

♦2

(7)若p在双曲线二-二=1,则常用结论i：P到焦点的

a-b~

距离为m=n,则P到两准线的距离比为〃：〃.

1^11

简证：立=产1=

d2\PFj\n

e

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离

等于b.

(8)直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；

区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计

2条；

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、

4条.

若直线与双曲线•支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“△”法与

渐近线求交和两根之和与两根之积同号.

6.抛物线中的结论：

(1)抛物线y2=2/xv(〃>0)的焦点弦AB性质：

LX|%2=£；>'|%=一〃2；

112

ii.------1-----=—；

\AF\|BF|p

iii.以A/3为直径的圆与准线相切；

iv.以4尸(或8尸)为直径的圆与y轴相切；

VS-P

2sina

(2)抛物线V=2px(〃>0)内结直角三角形33的性质：

i...二4尸,必'2二-4"；

ii.恒过定点(2p,。)；

iii.AB中点轨迹方程：y2=p(x-2〃)；

iv.OMLAB,则M轨迹方程为：。一〃)2+/=〃2；

V.(Sg"in=4p2.

(3)抛物线V=2Px(p>0),对称轴上一定点八(40),则：

i.当时，顶点到点4距离最小，最小值为。：

ii.当〃时，抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小，最小值为

lap-p2.

17.2、两个常见的曲线系方程

⑴过曲线/(内)=。，〃儿y)=0的交点的曲线系方程是[(.0)+"。,)，)=0(/1为参

数).

22

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程=一+4—=1,其中Z<max{/,/).

cr-Klr-k

当A<mink/,/}时,表示椭圆；当min{^2,/r}<k<max{cz2,/?2}时，表示双曲

线.

17.3、圆

1、圆系方程

(1)过点4(X，y),8(%，%)的圆系方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+/l[(x-xl)(y1-y2)-(y-y1)(x1-x2)]=O

<z>(x-x1)(x-x2)+(y-)Q(y-y2)4-A(ar+/?y+c)=0，其中or+〃)，+c=0

是直线A8的方程，入是待定的系数.

(2)过直线/:4t+8)，+C=0与圆。：工2+),2+以+小，+/=()的交点的圆系

2

方程是x+J+Dx+Ey+F+“Ax+8)，+C)=0,人是待定的系数.

程为“0-&)(工一〃)+00-加(丁一份=，.特别地，若。=0；〃=0,切线方

程为与x+y()y=〃；

若P*"九)是圆(工一。)2+。，一份2=/外一点，由P(.,凡)向圆引

两条切线，切点分别为A,B则直线AB的方程为

(x()-a)(x(y0-/?)(y-b)=r~.特别地，若a=0;。=。，

»。+yy。=/

②圆/+)尸=r2斜率为攵的圆的切线方程为y=kx±T1+尸.

(3)过圆f+_y2+Or+Ey+F=o外一点(七,％)的切线长为

/=萩+城+%+取+尸.

17.4、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：

(1)给出直线的方向向量〃=(1,&)或〃=(孙〃)；

(2)给出。4+08与48相交，等于己知。4+08过48的中点；

在A45C中，给出AO=；(A8+AC),则AD是AABC中AC边的中线；

(3)给出PM+PN=0,等于已知P是MN的中点；

(4)给出AP+AQ=/iiBP+BQ),等于己知A8与PQ的中点三点共线；

(5)给出以下情形之一：①/W||AC；②存在实数4使X4=/lWc；

③若存在实数a,△且a+6=1,,使0c=aOA+"O5等于己知A,氏C三点共线.

(6)给出。。='"等于已知P是A8的定比分点，4为定比，即AP=2PB

1+2

(7)给出M4,M8=0,等于已知MA_LM8,即NAM8是直角，给出M4.M8=〃?<0,等

于已知N4W"是钝角，给出=等于己知NAM"是锐角；

(8)给出〃+=等于已知MP是N4W8的平分线；

\MA\网

(9)在平行四边形ABCD中，给出(A8+40)・(A8-A0)=0,等于已知是菱形；

(10)在平行四边形MCD中，给出|A3+AORA3-AOI，等于已知ABCD是矩形；

(11)设4内,凶),8(孙)，2),SMOB=-^xAyB-xByA\.

22

SMBC=g|AB||AC|sinA=；^\ABf\AC\-(ABAC);

(12)。为A43C内一点，贝ljSy04+SqM08+S&sOC=0；

(13)在AABC中，给出。。=。4+7(‘巴+/£)(%£/?♦),则而通过AABC的内

\AB\\AC\

心；

17.5、解题规律盘点

1、点

(1)交点

①直星与圆锥曲线交于不同的两点：直线与二次曲线联立，当二次项系数不为。时，

A>0A>0

«内+々=」，x=w与二次曲线联立，"y+必=…;

.•V”1*%二

二次项系数不等于0

②直线与圆锥曲线相切：直线与二次曲线联立,

△=（）

③直线与二次曲线有一个公共点：

{/矗=二次项系数为0,表示平行于渐近线的两条直线；二次项系数为0,△=（）

'直线/

=二次项系数为0,表示平行于对称轴的一条直线；二次曲线不为0,△=（）

抛物线

（2）定点处理思路;

22

⑶①设参数方程；椭圆二十:=1（。>b〉0）的参数方程是:

a~b~

x=acosO

（，为参数）;

y=bsin3

x=a+rcosO24、皿、

圆（X—々）2+（》-6）2=/的参数方程:,.八（夕^参数）

y=/?+rsin3

②抛物线）？=2px（pw0）上的动点可设为：,%）或P（2pt\2pt）或

%/，%），其中芯=2〃/，以简化计算•

2、直线

（1）设直线方程分斜率〃存在、左不存在两种情况讨论。如果什么信息也没有：讨论斜率不

存在情形，当斜率存在时，往往设为斜截式：y=kx+b,

巧设直线方程工-方二攵（），-%）回避讨论及运算等问题

当直线过定点（飞,为）时，若设成）-为二&（人-%）有时会出现下列情况：

（i）容易忽视斜率不存在的情形；（ii）运算较繁，有时还会陷入僵局.

（2）过x轴上一点（，几0）的直线一般设为/=）+"?可以避免对斜率是否存在的讨论

"?=0,（（M）,斜率不存在

⑶直线的方向向量（〃7,田=，％、仝I如九

，〃工0,（1,一）,斜率一

nim

（4）两解问题:

（1）余弦定理;

(2)到角公式：

(3)向量的夹角公式

4、直线与圆锥曲线

(1)直线与圆锥曲线问题解法：

1.直接法(通法)：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解.

【运算规律】：直线与圆锥曲线位置关系运算程式

(1)已知曲线±±二=1(+4/=1)与直线)，=6+方程联立得：

crIf

(b'±k'a')x-2mkci'x±a'in-a'b~=0

((A+Ba)x2-2Bmkx+Bm-1=0)

【注意工当曲线为双曲线时，要对与0进行比较.

A=)2-4(b2+k2a2)(a2m'-a'bz)=4a2b'-4lfa2m'+4.方

2mka'a'nf-a'b'

由根与系数关系知:xI,+x2=-.-2---.--2----2-;*x,1x2,=---,-2-------2--2--

b+kab+kra

【后话】：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解时，注意以下问题:

①联立的关于“x”还是关于“)，”的一元二次方程？②二次项系数系数为0的情

况讨论了吗？③直线斜率不存在时考虑了吗？④判别式验证了吗？

2.设而不求(代点相减法)一一处理弦中点与直线斜率问题

步骤如下：

r2.?2

已知曲线一"士一=,①设点4不》[)、8(9，)’2)中点为““0，%)，

a~b~

②作差得七8=之二2=……：ZABGM=]£乜；对抛物线r=2Px（p工0）有

X\~X2。佻

k-2P-p

<AB------

y+必）b

【细节盘点】

*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注

意对•参数分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其

它用弦长公式.

*2.在直线与篙锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”用关，“平行弦”问题的关键是“斜

率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小个直角三角形”或“点差法”、“长

度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式或“小小直用三角形”.

*3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先

验证因所设直线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立.关

于X的方程还是)，的方程，接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式

进行分析，即△=()时，直线与曲线相切，……

*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件(注意判别式失控情况)

是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“A20”.求解直

线与圆锥曲线的其它问题时，如涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与

“判别式”问题.

*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、

弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).

*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长；②判定曲线交点的个数；③求弦中点坐标；

④求曲线的方程.

(2)直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

22

|AB|=7u,-x2)+(y,-y2)

或卜41+公)[(占+%)22

-4X2-X1]=|X)-x21Vl+tana

2

=1y-y21yjl+cota=J1+.J(内+0)2-4中2

|AB|=J(l+2)()，2—必尸=3+

+32)2-4')，2

K

【注】：弦端点A（X］，M）,B（X2，y2），由方程F（X^）=O消去丫得到

a?+Z?x+c=O；△〉（），a为直线A8的倾斜角，k为直线的斜率，

X+J2-4XX

|x（-X2|=7（I2）I2•

（3）抛物线的切线方程

2

①抛物线y=2Px上一点尸（厮,y0）处的切线方程是yQy=p（x+x0）.

②过抛物线V二2px外一点P（x0Oo）所引两条切线的切点弦方程是

%产〃（1+%）•

③抛物线=2/求（〃>0）与直线Ar+By+C=（）相切的条件是pB-=2AC.

5、几何定值、极值问题

几何极值问题实际上就是以几何条件出现的极值问题，通常运用几何中的有关不

等式和定理解决，有时运用“对角”变换及局部调整法，有时运用三角方法，如有关

三角函数性质、正弦定理.、三角形面积公式等转化为三角极值问题解决.有关面积与

周长的极值问题除了运用有关面积的几何知识外，常常需要用如下结论：

①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大：

②周长一定的矩形中