广东省惠州市惠城区2026年初中学业水平数学模拟考附答案

初中学业水平数学模拟考一、选择题：本大题共10小题，每题3分，共30分．1．的倒数是（）A． B． C． D．20252．把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（）A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱3．下列运算正确的是（）A． B．C． D．4．如图，在舞台设计中，有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，那么与的面积之比是（）A． B． C． D．5．若，则下列结论一定正确的是（）A． B． C． D．6．如图，惠州金山湖湿地公园有两段平行的步道，为增添景观特色，在其间建了景观桥，桥和步道在同一水平面上，桥两端连接点在上，在上，且，若，则的度数为（）A． B． C． D．7．《九章算术》中有一道题：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一倾，价钱一万，问善、恶田各几何．意思是：好田一亩价值300钱，坏田7亩价值500钱，合买好田、坏田100亩，价值10000钱，设好田、坏田各买了亩和亩，可列方程组为（）A． B．C． D．8．电影《哪吒之魔童闹海》累计票房破百亿，排名全国影史票房榜第一位．第二名是《长津湖》，第三名是《战狼2》，第四名是《美人鱼》，若小惠想从这4部电影中随机选取2部，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是（）A． B． C． D．9．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对气缸顶部的活塞加压，加压后气体对气缸壁所产生的压强与气缸内气体的体积成反比例，关于的函数图象如图所示．当压强由（）时，气体体积压缩了A．加到 B．加到C．加到 D．加到10．如图，在中，，，，，的平分线相交于点，过点作交于点，则的长为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共5小题，每题3分，共15分．11．写出一个比大且比小的整数.12．如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度米．13．在平面直角坐标系中，点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点，则点的坐标是．14．不等式组的解集为．15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴正半轴上，顶点在轴负半轴上．若抛物线经过点，，则点的坐标为．三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．16．计算：17．如图，在中，是钝角．（1）实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）（2）应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小．18．惠州市落实中小学生每天综合体育活动时间不低于两小时，某校开展阳光体育运动，举行了跳绳比赛，各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．数据整理：小明将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成统计图．数据分析：小明对这两个小组的成绩进行了如表分析：

平均数（分）中位数（分）众数（分）方差优秀率甲组7.62574.4837.5%乙组7.62570.73请认真阅读上述信息，回答下列问题：（1）填空：________，________，________；（2）从方差的角度看，________组的成绩比较稳定．（填甲或乙）（3）小惠认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小明认为小惠的观点比较片面，请结合表中的信息帮小明说明理由．四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题10分，共30分．19．某学校为顺利开展九年级物理、化学实验操作考试，培养学生的动手操作能力，计划采购一批物理和化学实验器材，购买物理实验器材用了2430元，购买化学实验器材用了1440元，购买的物理实验器材的数量是化学实验器材的1.5倍，物理实验器材单价比化学实验器材单价贵6元．（1）求物理、化学实验器材的单价分别为多少元？（2）该学校计划再购买物理、化学实验器材共100套，再购买总费用不超过5000元，那么该校此次计划最多能购买多少套物理实验器材？20．如图，在中，过点作直线，过点作于点，过点作于点，且平分，．（1）若，求的度数．（2）求证：．21．综合与实践：主题：A4纸的研究在进行综合与实践活动时，学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上对关于纸张规格的一些知识．A系列中最大的规格为，面积约为1平方米，对半裁开得到；再对裁得到，…，以此类推得到，裁剪后得到形状是相似的矩形，如图所示．（1）【初步研究】查阅资料知纸张的规格如表：规格长1189841594420297宽841594420297210长与宽的比值（保留两位小数）1.411.411.41

请计算、纸的长宽比，并填在上面表中；通过查阅资料，可知系列纸的长宽比为一个固定的无理数．请你猜想这个无理数为________．设的长为毫米，宽为毫米，证明你的猜想．（2）【深入研究】已知矩形是一张纸，点、点分别为边、的中点，请判断的形状，并证明．五、解答题（三）：本大题共2小题，每题12分，共24分．22．实践与研究：（1）根据下面列表，在同一直角坐标系中画出函数和的图像．…123……42……0234……42…（2）观察两个函数图象，的图像可以由的图像怎么变换得到？（3）当动直线与在第一象限内只有一个交点时，交点坐标为，若与在轴右侧的图像无交点，试确定的取值范围．23．综合探究：（1）如图1，等圆与相交与点与点，连接，证明四边形为菱形．（2）如图2，已知的直径为10，以线段为折痕进行折叠，使得与直径相切于点，若折叠后与点重合，求此时的长度．（3）如图3，在题（2）中，改变与直径相切的切点的位置．若折叠后切点与圆心的长度，求折痕的长度．

答案1．【答案】A【解析】【解答】解：∵，∴的倒数是。故答案为：A。

【分析】根据倒数的定义：乘积等于1的两个数互为倒数，然后再对各个选项逐一进行运算验证即可。2．【答案】D【解析】【解答】解：根据展开图可知这个几何体是一个三棱柱；故选：D．【分析】本题主要对几何体的展开图进行考查．3．【答案】D【解析】【解答】解：A，和不是同类项，不能合并，原计算错误，故本项不符合题意；B，，原计算错误，故本项不符合题意；C，，原计算错误，故本项不符合题意；D，，计算正确，故本项符合题意；故选：D．【分析】本题主要对合并同类项，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的除法进行考查．4．【答案】B【解析】【解答】解：∵有两个位似的三角形装饰图案和，位似中心为点，经测量它们的相似比是，∴与的面积之比是，故选：B．【分析】本题主要对位似图形的性质"位似图形的面积之比等于位似比的平方"进行考查．5．【答案】A【解析】【解答】解：∵∴∴，故A正确；∴，故B，C错误；∴∴，故D错误．故选：A．【分析】此题主要对不等式的性质进行考查．6．【答案】C【解析】【解答】解：如图，过点F作，∵，∴，∴；∵，∴，∴；故选：C．【分析】本题主要对平行线的性质，垂直的定义进行考查．7．【答案】C【解析】【解答】解：设好田、坏田各买了亩和亩，根据题意：，故选：C【分析】本题主要对二元一次方程组的应用进行考查，根据题意设好田买了x亩，坏田买了y亩列出二元一次方程组。8．【答案】C【解析】【解答】解：设《哪吒之魔童闹海》为A，《长津湖》为B，《战狼2》为C，《美人鱼》为D，将四部电影中随机抽取两部的所以可能，列表如下：ABCDABCD∴共有12种可能结果，其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的有2种，∴其中恰好是《哪吒之魔童闹海》和《战狼2》的概率是．故选：C．【分析】本题主要对用列表法求概率的应用进行考查，经事件的所有可能列表，对符合条件的事件进行筛选，再除以总数，得到所求概率．9．【答案】B【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，由图象知，反比例函数图象过点，则，∴；当时，；当时，；当时，；当时，；当压强由加到时，体积由减少到，则体积压缩了；当压强由加到时，体积由减少到，则体积压缩了；当压强由加到时，体积由减少到，则体积压缩了；当压强由加到时，体积由减少到，则体积压缩了；故选：B．【分析】本题主要对反比例函数的应用进行考查；首先根据待定系数法设出反比例函数解析式为，根据题意接触解析式，在带入各点数据完成判断．10．【答案】C【解析】【解答】解：如图，延长交于点，作于，于，∵，，∴，∵，∴四边形是矩形，∵平分，平分，∴，，∴四边形是正方形，在和中，，∴，∴，同理可得：，∴，设，则，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴，故选：C．【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理、正方形的判定与性质等知识点进行考查。根据题意先延长交于点，作于，于，进而有，，所以四边形是矩形，因为平分，平分，所以可得，，因此四边形是正方形，因为，所以可证，进而有，同理：，，设，则，，在中根据勾股定理可列出方程解得，最后可得．11．【答案】2或3【解析】【解答】解：∵，，∴比大且比小的整数是2或3.故答案为：2或3.【分析】根据估算无理数大小的方法可得1<<2，3<<4，据此不难得到比大且比小的整数.12．【答案】​​​​​​​【解析】【解答】解：由题意可得：，，，∴，解得：，故答案为：．【分析】本题主要对特殊的锐角三角函数的知识进行考查．根据题干信息找到各角与边的数据，在根据已知正切值完成求解。13．【答案】【解析】【解答】解：设点，∵点向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后得到点∴，，解得：，，则点，故答案为：【分析】此题主要对坐标的平移进行考查，根据坐标的平移规律可得，，，解得：，，所以点P．14．【答案】【解析】【解答】解：解不等式①得，解不等式②得，∴原不等式组的解集为，故答案为：．

【分析】本题主要对一元一次不等式组解法进行考查，先分别解两个不等式，再对两个解集取交集完成求解．15．【答案】【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为直线，在中，令，得，即；∵四边形是菱形，∴，，∴关于直线对称，∴，∴；∵，，∴由勾股定理得：，即，∴点D的横坐标为，∴．故答案为：．【分析】本题主要对二次函数的图象与性质，菱形的性质进行考查；根据抛物线解析式先得出抛物线的对称轴为，进一步得到，根据菱形的性质可得，在中根据勾股定理有，进而得到，最后可得出．16．【答案】解∶​​​​​​​【解析】【分析】本题主要对二次根式化简，特殊三角函数值，绝对值以及负指数幂的运算进行考查，先对各部分进行化简，，再进行求和原式．17．【答案】（1）解：垂直平分线即为所求：

（2）解：∵为的垂直平分线∴，

∴，

∵，

∴，

∴​​​​​​【解析】【分析】本题主要对作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理进行考查．（1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D．（2）因为DE为AC垂直平分线，所以有，由三角形内角和定理有，所以有．（1）解：垂直平分线即为所求：（2）解：∵为的垂直平分线∴，∴，∵，∴，∴18．【答案】（1）（2）乙（3）解：平均数相等，但甲组的中位数大于乙组的中位数，优秀率高于乙组的优秀率，故甲组成绩比乙组成绩好．【解析】【解答】（1）解：甲组的分数按从低到高排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，中间两个数为7与8，则其中位数为：；乙组中分数7出现的次数最多，则；乙组的优秀率；故答案为：；（2）解：两组的平均数均为7.625，但乙组的方差0.73小于甲组的方差4.48，则乙组的成绩比较稳定；故答案为：乙；【分析】本题主要对方差，平均数，中位数和众数等知识进行考查．（1）先对所有数据进行排序，在根据中位数、众数与百分比的意义对问题进行求解，甲的中位数为7.5，乙的众数为7，乙优秀率为25%；（2）比较两组的方差，在平均数相同时，根据方差越小，数据的波动程度越小；（3）两组平均数相等，但甲组的中位数与优秀率均高于乙组，所以甲组成绩好．（1）解：甲组的分数按从低到高排列为：3，7，7，7，8，9，10，10，中间两个数为7与8，则其中位数为：；乙组中分数7出现的次数最多，则；乙组的优秀率；故答案为：；（2）解：两组的平均数均为7.625，但乙组的方差0.73小于甲组的方差4.48，则乙组的成绩比较稳定；故答案为：乙；（3）解：平均数相等，但甲组的中位数大于乙组的中位数，优秀率高于乙组的优秀率，故甲组成绩比乙组成绩好．19．【答案】（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据题意：，解得：，经检验，是分式方程的解，则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意有：，

解得：，

∵m为整数，

∴m最大取33，

即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．【解析】【分析】本题主要对分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用进行考查．（1）设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据题意列出方程，求解得，所以物理器材54元、化学器材48元．（2）设该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意列出一元一次不等式，解得，故最多购买33套物理实验器材．（1）解：设化学实验器材单价为x元，则物理实验器材单价为（x+6）元，根据题意：，解得：，经检验，是分式方程的解，则化学实验器材单价为48元，则物理实验器材单价为元（2）解：该校此次计划最多能购买m套物理实验器材，则化学实验器材能购买套，根据题意有：，解得：，∵m为整数，∴m最大取33，即该校此次计划最多能购买33套物理实验器材．20．【答案】（1）解：∵∴

∵平分，

∴

∵

∴

∴；（2）解：∵∴点A，C，B，N四点共圆

∴，

∵

∴

∵平分，

∴

∴

∴．【解析】【分析】本题主要对圆周角定理，圆内接四边形的性质，角平分线的概念，直角三角形的性质等知识进行考查。（1）根据题干可得，根据平分，可得，所以；（2）根据题干信息，所以A，C，B，N四点共圆，则有，，因为平分，所以，则．（1）解：∵∴∵平分，∴∵∴∴；（2）解：∵∴点A，C，B，N四点共圆∴，∵∴∵平分，∴∴∴．21．【答案】（1）解：，填表如下：规格长1189841594420297宽841594420297210长与宽的比值（保留两位小数）1.411.411.411.411.41猜想这个无理数为，证明如下：据题意，与为相似的矩形，故有，化简得：，即或（舍去）故的长与宽的比值为；（2）解：为直角三角形，证明如下：∵矩形是一张纸，

∴，，

∵点、点分别为边、的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴为直角三角形．【解析】【分析】本题主要对矩形的性质，相似三角形的性质与判定进行考查．（1）根据长除以宽补全表格数据，再根据猜想，因为与为相似的矩形，所以有，即可得到，所以的长与宽的比值为；（2）根据矩形ABCD是矩形，由折叠可得，，又因为点、点分别为边、的中点，所以有，则，进一步得到，所以，故可证明为直角三角形．（1）解：，填表如下：规格长1189841594420297宽841594420297210长与宽的比值（保留两位小数）1.411.411.411.411.41猜想这个无理数为，证明如下：据题意，与为相似的矩形，故有，化简得：，即或（舍去）故的长与宽的比值为；（2）解：为直角三角形，证明如下：∵矩形是一张纸，∴，，∵点、点分别为边、的中点，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴为直角三角形．22．【答案】（1）解：描点，连线，如图即为两函数图象

（2）解：将的图象向右平移1个单位，得到的图象．（3）解：因为的图象由的图象向右平移1个单位得到，此时动直线与函数图象的交点也向右平移1个单位得到，

将代入直线，得，

当时，，

∴的图象与y轴的交点为，

将代入直线得，

故要使得与在轴右侧的图像无交点，则．【解析】【分析】本题主要对反比例函数图象及性质，函数图象上点的特点进行考查．（1）根据表格中的x，y值在图中进行描点，再对各点进行连线；（2）观察两个函数，y值不变，x-1，根据平移左加右减可知，将的图象向右平移1个单位，得到的图象；（3）的图象由的图象向右平移1个单位得，将代入直线，求出，求出的图象与y轴的交点为，把代入直线，求出，要使得与在轴右侧的图像无交点，则。（1）解：描点，连线